有偏改正的正則化抗差方法

范 偉，潘國榮

(同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092)

在攝影測量附加參數的自檢校平差中，為了補償系統誤差，引入大量的附加參數地抵償系統誤差的影響。過度的引入附加參數，會導致附加參數之間或附加參數與基本參數之間存在近似的線性相關性，而導致法方程病態，嚴重影響計算結果的穩定性。同樣，在GPS載波相位測量和地球重力場計算中也會存在類似的現象。針對法方程病態問題，利用正則化方法，通過選擇合適的正則化參數和正則化矩陣，可有效地削弱法方程的病態性，增強解的穩定性。而傳統的正則化方法，沒有考慮觀測值含有粗差的情況，當觀測值含有粗差時，傳統的正則化方法無法消除或削弱含有粗差的觀測值對平差結果的影響，同樣會導致平差結果失真。為此，文獻[5-6]中提出具有抗差性的病態問題平差方法，即通過方差膨脹模型降低含有粗差的觀測值的權，以削弱粗差觀測值對平差結果的影響。

所有的方差膨脹模型都是通過觀測值的殘差建立起來的，即通過觀測值的殘差確定觀測值的權。但是，已知的病態問題抗差方法中，計算出的殘差均是有偏的，而使用有偏的殘差建立方差膨脹模型顯然是不合理的。因此，對殘差進行有偏性改正，建立有偏改正的方差膨脹模型，而所有的不適定問題解的表達都可以由Tikonov正則化原理導出，本文結合有偏改正的方差膨脹模型和正則化原理，提出了一種新的正則化抗差方法，即有偏改正的正則化抗差方法。

1 正則化抗差方法

設病態問題的觀測方程為

L=AX+Δ.

(1)

根據Tihonov正則化原理，得估計準則為

(2)

根據式(2)的估計準則，若觀測值中含有粗差，參數估值將受到嚴重影響，即式(2)中的估計準則不具備抗差性，文獻[6]提出了一種具有抗差性的估計準則：

(3)

式中：n為觀測值個數，Pi為第i個觀測值的權，ρ為任意選取的抗差迭代函數，Vi為平差后第i個觀測值的殘差。

由式(3)中的估計準則，可得參數的估值：

(4)

由式(4)可以發現，等價權矩陣的確定與殘差V緊密相關，殘差V能否有效的將直接影響平差結果的質量。利用正則化方法估計的參數是有偏的，根據有偏的參數計算得到的殘差必然也是有偏的，那么，利用有偏的殘差進行等價權矩陣的計算顯然不合理的。

2 有偏改正的正則化抗差方法

2.1 殘差V有偏性分析

根據式(3)和式(4)得殘差V的計算式為

(5)

(6)

其中

E(V)不等于0是由兩個原因造成的，一個原因是正則化參數α和正則化矩陣R引起的；另一個原因是Δ中含有粗差引起的。但此處可不考慮粗差的影響，而只考慮由正則化參數α和正則化矩陣R對殘差V的有偏性的影響。粗差對V的影響，可通過之后的選權迭代法來處理，以降低相應觀測值的權。

不考慮粗差的影響，對V求期望得

(7)

(8)

(9)

由式(9)可得殘差V的一次有偏量和二次有偏量為

(10)

對式(9)繼續使用上述的推導方法，可得V的更高次的有偏量。需要指出的是，通過計算分析，對V進行二次有偏量的改正，明顯改善解的穩定性。

殘差V的有偏改正結果為

(11)

2.2 有偏改正的正則化抗差模型

有偏改正的正則化抗差準則為

(12)

對X求導，并令其等于零可得

(13)

式中：Ai為系數陣A的第i行元素。

成等價權的形式：

(14)

其中

矩陣形式可得

(15)

有偏改正的正則化解為

(16)

有偏改正的正則化抗差方法與普通的正則化抗差方法，在解的表達形式上基本一致，不同的是，將式(4)中的等價權陣換成了式(16)中的等價權陣。式(16)中等價權陣的確定在理論上更加嚴密，推導過程更加嚴謹。

3 算例分析

本文取歷元間隔為2 s，觀測了5顆衛星，用4個歷元解算整周模糊度，誤差方程系數陣為

(17)

設參數的真值為

(18)

式中：Ni為整周模糊度參數，δx，δy，δz為坐標參數。

表1 模擬值

本文采用4種估計方法對實例進行估計分析，4種估計方法分別為最小二乘估計(LS)，正則化估計，正則化抗差估計，有偏改正的正則化抗差估計。其中，3種正則化方法中正則化參數α和正則化矩陣R的選取通過L-curve方法、GCV方法，截斷奇異值方法均無法取得良好的效果。根據單頻GPS觀測值的特點，本文3種正則化估計方法中正則化參數α和正則化矩陣R的選取使用MINE Ι方案；兩種抗差估計方法中ρ函數的選取使用IGG方案。

當觀測值中不含有粗差時，即直接利用表1中的Li行對應的觀測值，使用4種方案進行平差，獲得的參數估值，參數估值的均方誤差，以及已知的參數真值分別列于表2中。當觀測值中含有粗差時(本文在表1中Li行對應的觀測值中給第1個觀測值增加了-0.15的粗差，給第2個觀測值增加了0.25的粗差)，獲得的參數估值，參數估值的均方誤差，以及參數的真值分別列于表3中。

由表3的計算結果可知，當觀測值中不存在粗差時，3種正則化方法的結果幾乎沒有任何差異，但在均方誤差意義下遠遠好于最小二乘估計方法(LS)。當觀測值中含有粗差時，最小二乘估計方法(LS)的平差結果是災難性的；正則化估計方法和正則化抗差估計方法，在均方誤差意義下均受到粗差觀測值的明顯影響，但是正則化抗差估計方法相對于正則化估計方法受到粗差觀測值的影響較小。而本文提出的正則化抗差方法，在均方誤差意義下，幾乎不受粗差觀測值的影響，明顯優于另外3種估計方法。并且，通過多次實驗，有偏改正的正則化方法均能保證平差結果的穩定性，可以較好地消除粗差觀測值的影響。

表2 觀測值不含粗差的平差結果

表3 觀測值含有粗差的平差結果

4 結束語