平面應力狀態的解析法和應力圓法詳解

陸仁強

摘要：材料力學是土木類專業學生必修的一門專業基礎課，對于后續專業課程的學習具有重要的基礎作用。但是材料力學由于其力學研究過程的復雜性和抽象性，使得學生在學習過程中存在較大的困難，而且感覺枯燥無味。筆者通過對材料力學課程的多年講授，總結了一套簡單易懂的教學方法，本文以“平面應力狀態任意方向面上應力”的求法為例，通過例題講述及結論分析，教學效果反思發現能夠讓學生很容易的理解該部分內容。本文的教學成果和方法，對于地方高校應用型專業課程的講授具有一定的示范作用，可值得同類課程的借鑒采用。

關鍵詞：平面應力狀態;解析法;應力圓法

1 平面應力狀態的概念及表示

研究一個點的應力狀態，通常圍繞該點作一微小單元體，稱為單元體，一般情形下，微元的不同方位面上的應力各不相同，用任意截面把該微元體截開，則截開面上也存在正應力和切應力，過一點處的所有方位面的應力集合，稱為該點的應力狀態。

平面應力狀態：微元各個面上所受應力的作用線都處于同一平面內，這種應力狀態稱為平面應力狀態。根據立體幾何知識可知，圖1所示的空間應力狀態要轉變為平面應力狀態，則σx、σy、σz三者中至少有一個為0，即（τzy、τzx）、（τxy、τxz）、（τyx、τyz）三對中至少有一對為0，由于通常習慣于用x、y平面，故假設σz和（τzy、τzx）等于0，這樣，圖1的空間應力狀態就可以表示為圖2所示的平面應力狀態了。

2 平面應力狀態的解析法

如圖3所示，假設用任意一個截面把圖中的平面應力狀態截開以后，得到右邊部分，截開面稱為方向面，設方向面的法線方向為n。

根據微元的局部平衡，列靜力學平衡方程：∑Fx=0∑Fy=0

畫應力圓的技巧：1）若知道圓心坐標和半徑，可畫圓;2）若知道任何一條直徑的兩個端點也可以畫圓。

假設某應力狀態為下圖4a圖，畫出的應力圓為圖4b圖，也就是說圖4a和圖4b是等價的。下面先說明應力圓與方向面（即圖4a和圖4b）之間的對應關系：

（1）點面對應關系。在應力狀態中指的是方向面，而到了應力圓中指的是點。比如（σx、τx），對應的是圖4a中的左側面，而對應到圖4b的應力圓，找到坐標值為（σx、τx）的點為A點，也就是應力圓中的A點對應應力狀態中的左側面。同理，圖4a中（σy、τy）所在的下側面，對應到圖4b應力圓中的B點。

（2）二倍角關系。圖4a中的左側面（σx、τx）和下側面（σy、τy）為垂直關系，即夾角為90°，而到了圖4b所示的應力圓中，其所對應的A點和B點卻在同一條直徑上，即夾角為180°，這就是所謂的“二倍角關系”，即：在應力狀態中兩個方向面的夾角若為α，則在應力圓中所對應的兩個點所在半徑的夾角將是2α。

（3）轉向一致關系。在圖4a所示的應力狀態中，若以左側面（σx、τx）為參考面，則下側面（σy、τy）與之呈逆時針旋轉的90°關系，對應到圖4b所示的應力圓中，A點所在半徑繞圓心逆時針旋轉180°即到了B點所在的半徑，這叫做“轉向一致”，即：應力狀態中兩個方向面的位置與應力圓中對應的兩個點的位置關系是一致的。

簡記為：點面對應、轉向相同、夾角兩倍。

下面以例題為例說明應力圓的畫法及應用：

例題在圖示xy坐標系下，單元體的最大主應力σ1大致指向（）。

（A）第一象限，靠近x軸（B）第一象限，靠近y軸

（C）第二象限，靠近x軸（D）第二象限，靠近y軸

解：

（1）確定應力圓的畫法方式，可通過一條直徑畫圓，也可以通過圓心坐標及半徑值畫圓，本題采取第一種方式，由圖可知，左側面與下側面呈90°，在應力圓上就恰好對應一條直徑上的兩個端點;

（2）已知左側面上的應力值（σx>0、τ<0），在應力圓坐標系上找到相應坐標點設為A點，已知下側面上的應力值（σy<0、τ>0），在應力圓坐標系上找到相應坐標點設為B點;

（3）連接AB點便得到應力圓的一條直徑，將該直徑繞中點轉一圈便可得到應力圓，如圖。

通過應力圓可得到的一些信息：

應力圓與橫坐標軸的兩個交點C、D對應的方向面即為主平面（因為其切應力τ=0），左邊交點C的正應力對應最小主應力σ3，右邊交點D的正應力對應最大主應力σ1。

根據上述應力圓可知，從A點逆時針轉到最大主應力σ1所對應的D點，轉動的角度肯定小于90°，而對應到應力狀態中就肯定小于45°（根據二倍角關系）。故可得答案選A（注：題目問的單元體的最大主應力σ1大致指向，指的是最大主應力σ1所在的方向面的方向角）。

4 總結

本文以“平面應力狀態的解析法和應力圓法”為例，通過例題講解了應力圓法的繪制及應用解題的具體過程。該教學方法通俗易懂，沒有太多的理論講授，將理論貫穿于例題講解的過程中，學生聽起來不覺得枯燥乏味，也簡單易懂。故本文提出的教學方法值得同類地方本科院校應用型課程的教學借鑒和推廣采用。

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基金項目：2016年湖南科技學院教學改革研究項目“基于‘卓越工程師培養的‘大土木專業《理論力學》課程改革與實踐”