多元函數極值的MATLAB解法

李 娜

（長春建筑學院基礎教學部，吉林 長春 130607）

在實際生產和生活中有很多問題都涉及到函數的最值和極值.利用高階偏導數或實二次型理論求解多元函數的極值，這種方法理論上對函數要求較高，并且計算過程繁難。MATLAB具有強大的計算和作圖功能，可以幫我們方便快捷的解決極值問題。

如果函數是可導的，我們可以用MATLAB命令先找到駐點，然后再利用等高線找出極值點，求出極值。具體的過程見例1

例1 求 f（x,y）=x3-y3+3x2+3y2-9x 的極值

輸入：Syms x y f=’x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x’;fx=diff（f,x）fy=diff（f,y）

輸出為偏導函數fx=3*x^2+6*x-9 fy=-3*y^2+6*y

再用解方程組的命令求出駐點

[x y]=solve（’3*x^2+6*x-9=0’,’-3*y^2+6*y=0’）

x=1-3 1-3 y=0 0 2 2

得到四個駐點的坐標，

然后輸入下面的命令，把函數的等高線的圖形畫出來（圖1）

〉 〉 [x,y]=meshgrid（-5∶0.1∶3,-3∶0.1∶5）;

z=x.^3-y.^3+3*x.^2+3*y.^2-9*x;

〉 〉 contour（x,y,z,20）

輸出如圖，因為在兩個極值點附近，函數的等高線是封閉的，在鞍點附近，等高線不封閉，從而可判斷極值點是（-3，2），（1，0）.

注：此法的缺點是無法判斷不可導點是極值的情形.

若函數高度非線性，沒有導數或者導數很難計算的情況，可以采用直接搜索法。先觀察圖形，給定一個初始點，同時設定一定的步長和搜索方向，就能對問題的參數進行更新，使得函數值變小（大），常用的直接搜索法有單純性法、最速下降法等.見例2

例 2 求 f（x1,x2）=（x1-x22）2+（1-x2）2的極值

輸入 ezmesh（’（x-y）^2+（1-y）^2’），畫出圖形（圖 2），觀察可能的極值點在（0，1）附近，

所以以（0，1）為初始點，進行搜索求極值點

x=fminunc（@（x） （x（1）-x（2））^2+（1-x（2））^2,[0;1]）

x=1.0000 1.0000

注：此法的缺點是初始點的選擇問題，還有可能不能求出全部的極值點.