ARMA模型擬合甘肅省GDP淺析

火富昌

（蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

一、引言

國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是給定時(shí)期的經(jīng)濟(jì)內(nèi)生產(chǎn)的所有最終產(chǎn)品和服務(wù)的市場價(jià)值。GDP常常被認(rèn)為是對(duì)經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)狀況的最佳衡量指標(biāo)。GDP的目的是用一個(gè)單一的數(shù)字來匯總所有數(shù)據(jù)，它代表了某一給定時(shí)期經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的貨幣價(jià)值。在GDP核算過程中，包括四部分內(nèi)容：消費(fèi)、投資、政府購買和進(jìn)出口。消費(fèi)有家庭在產(chǎn)品與服務(wù)商的支出構(gòu)成；投資由為未來使用而購買的產(chǎn)品構(gòu)成；政府購買是政府購買的產(chǎn)品和服務(wù)；凈出口是一國賣給其他國家的產(chǎn)品與服務(wù)的價(jià)值減去外國賣給該國的產(chǎn)品與服務(wù)的的價(jià)值。

在市場機(jī)制的作用下，長期中的經(jīng)濟(jì)增長會(huì)呈現(xiàn)一定的趨勢規(guī)律，使得某一國家或者某一區(qū)域的GDP具有一定的可測性。國內(nèi)生產(chǎn)總值既能反映某個(gè)經(jīng)濟(jì)體的周期性變化，即經(jīng)濟(jì)的增長與誰退，同時(shí)可以反映出經(jīng)濟(jì)增長的幅度。本文擬應(yīng)用甘肅省2008-2016年季度GDP數(shù)據(jù)，對(duì)趨勢變量和季節(jié)虛擬變量進(jìn)行回歸，引入ARMA模型來反映GDP的動(dòng)態(tài)變化，并利用該模型對(duì)2017年的季度GDP預(yù)測。最后通過淺析甘肅省經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)及其發(fā)展變化給出政策建議。

二、方法介紹

ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model），即自回歸移動(dòng)平均模型，是研究時(shí)間序列的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR模型）與移動(dòng)平均模型（簡稱MA模型）兩種最基本的模型結(jié)合起來，就產(chǎn)生了自回歸移動(dòng)平均模型。由于ARMA模型只是解釋時(shí)間序列自身變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，不考慮其他相互因素的變動(dòng)，只要掌握了模型識(shí)別的關(guān)鍵步驟，該預(yù)測方法借助統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)起來比較簡單。該預(yù)測方法的缺陷是未考慮其他因素的影響即沒有自變量與因變量之間的因果關(guān)系，只是通過實(shí)踐序列自身的變化規(guī)律及趨勢預(yù)測。

ARMA模型的三種基本形式：

（一）自回歸模型AR（p）

上式模型為p階自回歸模型，記為AR(p)，其中c為常數(shù)，αt為自回歸參數(shù)，隨機(jī)誤差項(xiàng)εt是均值為0，方差為σ2的白噪聲序列。

（二）移動(dòng)平均模型MA（q）

上式模型為q階移動(dòng)平均模型，記為MA(q),其中c為常數(shù)，θi為移動(dòng)平均參數(shù)，是模型的待估計(jì)參數(shù)。εt是均值為0，方差為σ2的白噪音過程。

（三）自回歸移動(dòng)平均模型ARMA（p，q）

上式模型為（p,q）階自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)其中c為常數(shù)，αt和θi分別為自回歸參數(shù)和移動(dòng)平均參數(shù)。εt是均值為0方差為σ2的白噪聲序列。

將上面的三個(gè)式子寫成滯后算子的表示形式為：

滯后算子多項(xiàng)式需滿足：

從上述關(guān)系可得，自回歸AR（p）模型和移動(dòng)平均MA（q）模型均是 ARMA（p，q）模型的特例。

三、實(shí)證分析

（一）初始模型建立

1.原始數(shù)據(jù)。2008-2016年GDP季度數(shù)據(jù)時(shí)序如圖1所示（單位：億元）。

圖1 GDP時(shí)序圖

通過時(shí)間序列圖，可以明顯得出該時(shí)間序列具有一個(gè)整體向上的線性趨勢，同時(shí)通過時(shí)序圖可以判斷出原時(shí)間序列具有明顯的季節(jié)性。結(jié)合他人的研究經(jīng)驗(yàn)，季度GDP均表現(xiàn)出明顯的積極性，因此判斷2008—2016年甘肅省GDP季度數(shù)據(jù)為一非平穩(wěn)時(shí)間序列。

2.原始數(shù)據(jù)處理。由于原始GDP季度序列有很強(qiáng)的趨勢成分和季節(jié)成分，因此數(shù)據(jù)處理的目的是消除趨勢以及進(jìn)行季節(jié)性調(diào)整。

圖2 消除季節(jié)因素的GDP時(shí)序圖

圖3 去除季節(jié)因素的GDP對(duì)數(shù)序列

對(duì)圖2消除季節(jié)因素的GDP取對(duì)數(shù)，得到結(jié)果，如圖3所示。

通過對(duì)圖2及圖3，發(fā)現(xiàn)序列是有趨勢的非平穩(wěn)序列，運(yùn)用差分法嘗試消除趨勢，使其平穩(wěn)。對(duì)取對(duì)數(shù)之后的序列進(jìn)行一階差分，得到新的序列如圖4所示。

圖4 GDP對(duì)數(shù)一階差分時(shí)序圖

3.實(shí)證結(jié)果。根據(jù)AIC最小準(zhǔn)則對(duì)其建立ARMA（1，2）模型，即運(yùn)用eviews6.0得出實(shí)證結(jié)果，如圖5所示：

圖5 DLNGDP 的 ARMA（1，2）過程估計(jì)

得到回歸方程如下：

預(yù)測擬合圖如圖6所示，

圖6 殘差值、實(shí)際值和預(yù)測值

對(duì)DLNGDP殘差序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)：

圖7 殘差A(yù)DF檢驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)圖7所示，殘差序列是平穩(wěn)的，在1%、5%、10%的顯著性水平下均能拒絕原假設(shè)，殘差序列不存在相關(guān)性。

（三）預(yù)測結(jié)果，如圖8所示

圖8 DLNGDP的一階差分預(yù)測序列

四、結(jié)論

（一）經(jīng)濟(jì)解釋

利用ARMA模型對(duì)甘肅省季度GDP進(jìn)行了實(shí)證，預(yù)測及擬合。通過ARMA模型可以得到，在對(duì)甘肅省2008—2016年季度GDP進(jìn)行回歸后，模型的預(yù)測值和實(shí)際中核算的GDP能夠很好的擬合，對(duì)甘肅省季度GDP的增長規(guī)律有了進(jìn)一步的探索和發(fā)現(xiàn)。

（二）對(duì)于甘肅省經(jīng)濟(jì)發(fā)展的建議。

1.根據(jù)甘肅省各地區(qū)差異，尋找適合區(qū)域發(fā)展的獨(dú)有主題功能區(qū)。各地區(qū)的主體功能區(qū)協(xié)調(diào)發(fā)展，合理統(tǒng)一地推動(dòng)全省經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展。

2.貫徹落實(shí)中央、甘肅省“十三五”規(guī)劃，持續(xù)推進(jìn)西部大開發(fā)戰(zhàn)略。提升城鎮(zhèn)化建設(shè)速度，實(shí)現(xiàn)農(nóng)村富余勞動(dòng)力向城鎮(zhèn)化建設(shè)的轉(zhuǎn)移。在大力發(fā)展鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)，積極鼓勵(lì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)私營企業(yè)的發(fā)展，擴(kuò)大農(nóng)村勞動(dòng)力需求，實(shí)現(xiàn)規(guī)模化農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，提高農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)化水平。

3.加強(qiáng)人文素質(zhì)教育，進(jìn)一步建設(shè)教育基礎(chǔ)設(shè)施，尤其是邊遠(yuǎn)山區(qū)和少數(shù)民族聚居地區(qū)的文化教育，大力發(fā)展職業(yè)教育，大量培養(yǎng)技術(shù)型人才。針對(duì)科技密集型企業(yè)要鼓勵(lì)引進(jìn)和培養(yǎng)科研、創(chuàng)新人才，使人力資本有效的轉(zhuǎn)換為生產(chǎn)技術(shù)的革新。提高整體人口人文科學(xué)素質(zhì)，為經(jīng)濟(jì)持續(xù)良好發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。