概率論在保險與再保險中的應用

摘 要：本文利用概率論知識以及中心極限定理，分析保險理論計算小概率事件發生的概率、實際賠償金額與期望賠償金額之間的差距、保險公司保費的制定方法以及參保人數對于保險公司虧本概率的影響。最后介紹再保險制度，以及再保險制度如何提高保險公司的安全墊，降低保險公司虧本的概率。

關鍵詞：中心極限定理；保險；再保險；保費計算

一、概述

在概率論中，根據大數定律，獨立同分布試驗次數越多，試驗結果越穩定，均值更加接近于期望。而當試驗次數不夠時，結果就不太穩定，很容易受個別事件的影響。對于個體而言，人有旦夕禍福，一場大病就能夠讓一個中產家庭重返赤貧，風險的巨大摧毀力讓個體無法承擔。保險與精算行業的出現則是為了分攤風險，設計保險規則將分散的風險集中起來，利用大數定律平攤風險。這樣充滿不確定性的風險平均后的損失就是確定的，只要個體之間是獨立的，個體數量越多，平均損失就越接近于預期損失。

所以保險公司在開發新產品時，就要通過調研大量歷史數據來估算這種新產品包括在內的風險損失。大數定律告訴我們當個體人數越多時，平均損失接近預期損失，但是沒有解釋如何計算偏差。中心極限定理則提供工具，即當樣本數量服從大數定律時，隨機樣本的平均損失服從正態分布，再通過調整使其服從標準正態分布。通過這個工具，保險公司可以根據保費費率、參保人數、保證金精確計算自己資不抵債倒閉的概率。

當保費無法增加，在市場因素下參保人數會降低，參保人數達到瓶頸后，保險公司為了進一步降低倒閉的概率，可以參見再保險計劃，保險公司之間再平攤風險。

二、定理

Lindeberg-Levy中心極限定理：設樣本X1，X2，…，Xn，…是一列相互獨立同分布的隨機變量，滿足EXk=μ，VarXk=σ2，0<σ2<

SymboleB@ ，則隨機變量∑nk=1Xk-nμσn依分布收斂到標準正態分布，即limn→

SymboleB@ P∑nk=1Xk-nμσn≤t=∫t-

SymboleB@ 12πe-x22dxφ（t），標準正態分布的分布函數可以通過查表或者計算機軟件輕松獲得。

三、應用

例1.現有50萬個人參加某年齡段的意外險，一年內每個人事故的概率為萬分之一，可以從保險公司領取100萬元，每個人發生事故是獨立的事件，安全附加系數為30%，保險公司的固定支出每年為100萬。問（1）保險公司有多大概率虧錢呢？（2）保險公司需要準備多少保證金才能保證履行兌付責任的概率不低于99%？如果是99.9%，99.99%呢？（3）如果保險公司在安全附加系數為30%基礎上保證99%的概率不虧本，它至少需要擴展業務到多少份保單？（4）如果只有50萬份保單，保險需要把安全附加系數提高多少才能將不虧錢概率提高到99%？

解：記ξi=1，第i個人一年內出事故0，第i個人一年內沒出事故，則ξi獨立同分布且Pξi=1=10-4，S=∑ni=1ξi，n=5×105，Eξi=10-4，Varξi=9.999×10-5。每個人繳納的保費為106×10-4×1.3=130，所以保險公司收到的保費為6500萬，除去固定支出后還剩6400萬。

（1）當S>64時保險公司會出現虧損，由中心極限定理PS-ESσn≤t～φt，PS>64=1-PS≤64=1-PS-nEξiσn≤64-5010050×9.999×10-5～1-φ1.98～2.39%；

（2）設保險公司準備的保證金為x，則當S≤64+10-6x時保險公司能夠完全兌付，由中心極限定理PS≤64+10-6x=

PS-nEξiσn≤14+10-6x10050×9.9999×10-5～φ14+10-6x50>99%，即14+10-6x50>2.326，x>2.45×106元；如果要求不低于99.9%概率能夠完全賠付，即4+10-6x5>3.09，x>7.85×106元；如果要求不低于99.99%概率能夠完全賠付，即4+10-6x5>3.719，x>1.23×107元，所以當保險公司準備1230萬元準備金時，就可以保證99.99%的概率能夠完成賠付，這也是中國政府要求保險公司必須繳納足夠的準備金在監管部門的理由。

（3）根據大數定律與中心極限定理，當樣本數量增加時，Sn越接近Eξi，而且保險公司前期調研，辦公等固定支出可以隨著參保人數的增加而稀釋。所以參保人數越多，保險公司的賠錢的風險越小，越能夠穩穩地賺錢。當參保人數為m時，130m106（S+1），即S≤1.3m×10-4-1時保險公司不虧，通過中心極限定理，PS≤1.3m×10-4-1=PS-nEξiσn≤1.3m×10-4-1-m×10-4m×9.9999×10-5～φ3m×10-5-1m×10-4>99%，設t=m×10-4，則要求3t2-1010t>2.33，推出t>8.17，所以m>6.67×105，需要將參保人數提高16.7萬可將保本概率從97.61%提高到99%；

（4）如果市場份額已經到達極限，那么保險公司可以提高安全附加系數，也就是增加保費來獲利。設安全附加系數修改為θ，則公司收到的保費為5×107（1+θ），除去固定開支后出事故人數S≤501+θ-1是保險公司保本，要使得PS-nEξiσn≤50θ-110050×9.9999×10-5～φ50θ-150>99.9%，即要求50θ-150>3.09，即安全附加系數至少要45.7%，每份保單價格提高15.元保險公司就能夠將保本概率從96.3%提高到99.9%。

例2.當單個保險公司規模較小時，且對于風險的敏感度很高，可以加入再保險公司，按照第（2）問中計算的保險公司需要準備785萬保證金才能保證99.9%的概率能夠兌付，保險公司為了對沖這千分之一的風險，有100家保險公司加入再保險計劃，每家保險公司繳納40萬元，有千分之一的概率保險公司虧損800萬，就能夠獲得再保險公司賠償800萬，求再保險計劃能夠賠付的概率。

解：按照例1中的模型，當S≤5時再保險計劃能夠賠付，由中心極限定理，PS≤10=PS-nEξiσn≤5-100×10-310×9.99×10-4～φ15.49～100%所以再保險計劃能夠兌付保險公司800萬的損失。

參考文獻：

[1]岳金健.中心極限定理和大數法則在保險中的應用[J].江蘇教育學院學報（自然科學版），2007，24（04）：134-136.

[2]王穩，陳琛，汪風.小概率高損失事件的忽略——對中國發展巨災保險的意義[J].保險研究，2009，（12）：15-20.

作者簡介：

康子璇，北京交通大學附屬中學。