三軸轉臺系統姿態變化下指向誤差建模與分析

（中國洛陽電子裝備試驗中心，洛陽 471003）

0 引言

三軸轉臺是雷達對抗半實物仿真系統中的重要環境模擬設備之一，用于承載主/被動雷達導引頭、反輻射無人機等負載設備，并模擬其在實際飛行過程中的姿態變化，具有仿真精度高、穩定性好、通用性強等特點[1]。但受制造、裝配、變形等因素影響，轉臺不可避免的存在垂直度誤差、傾角回轉誤差等誤差分量，由此產生的綜合性指向誤差將直接影響仿真試驗中負載設備的測角、定位和攻擊精度。因此，建立三軸轉臺系統指向誤差模型，研究各誤差分量對指向誤差的影響規律，對提高三軸轉臺精度具有十分重要的意義。

近年來國內外學者對轉臺指向誤差進行了廣泛的研究。其中幾何法、矢量法、機構運動學等[2,3]被運用進行轉臺誤差建模，但這些方法存在適用范圍小、建模困難、通用性差等問題。李凡[4]等人利用多體系統理論約束條件少、易解決復雜系統運動問題、準確性高等優點，建立了三軸標定轉臺指向誤差模型；趙玉華[5]等人研究了三軸轉臺有誤差情況下的運動規律，并詳細分析了不同幾何誤差對轉臺精度的影響；孫致月[6]等人則是基于臥式五軸轉臺結構及運動原理，建立了五軸轉臺誤差分析模型，并進一步提出了相關的誤差評價參數。

上述文獻的研究對象往往只是三軸轉臺本身，并沒有從包括負載設備的整個轉臺系統的角度考慮，導致所建指向誤差模型中缺乏負載設備安裝角度誤差分量，有失嚴謹；此外，實際仿真試驗中轉臺姿態的變化使指向誤差也是動態變化的，而目前的研究主要是針對轉臺在特定姿態角下的指向誤差，并沒有考慮在轉臺姿態變化下研究各誤差分量對指向誤差的影響規律。針對上述問題，本文建立了從轉臺基座到負載設備的三軸轉臺系統多體拓撲結構，將負載設備安裝角度誤差分量引入特征矩陣，完善了指向誤差模型。基于建立的模型，在轉臺姿態變化情況下，研究了不同誤差分量對系統指向誤差的影響規律，從而為三軸轉臺的設計裝調、誤差分配及補償提供了理論依據。

1 三軸轉臺系統原理模型

1.1 三軸轉臺系統結構及運動原理

本文以某三軸立式仿真轉臺為研究對象，其結構為U-O-O型，由外框、中框及內框組成，如圖1所示。其中外框作繞z軸的偏航運動（轉動角度α）；中框作繞y軸的俯仰運動（轉動角度β），內框作繞x軸的橫滾運動（轉動角度γ）。負載設備沿內框回轉軸安裝在轉臺上，即負載設備電軸與內框回轉軸線重合。

圖1 三軸轉臺結構示意圖

1.2 三軸轉臺系統誤差描述

三軸轉臺系統指向誤差是一種空間角度誤差，定義為負載設備電軸上的單位矢量經過轉臺姿態變化后，預期指向與實際指向之間的角度偏差[7]。三軸轉臺系統中影響最終指向誤差的誤差分量包括：垂直度誤差、傾角回轉誤差、回轉位置誤差以及負載設備安裝角度誤差。其中，垂直度誤差定義為實際回轉軸線與理想軸線間的角度偏差[8]；傾角回轉誤差為回轉軸的角度位置變動量；回轉位置誤差是指轉臺各運動軸受運動控制誤差、電機誤差、編碼器分辨率等因素引起的轉角誤差；負載設備安裝角度誤差為設備電軸與內框回轉軸線之間的角度偏差。

2 三軸轉臺系統指向誤差模型的建立

2.1 多體系統運動學理論

多體系統運動學理論是進行誤差建模的重要方法，其原理為：首先將研究對象抽象為一個多運動體系統并用拓撲結構概括和提煉，然后采用低序體陣列進行數字化描述，最后通過建立理想無誤差和實際有誤差條件下的特征矩陣，獲得系統中任意運動體間的位姿變換關系及誤差傳遞關系[9]。

在多體系統中，通常設定大地慣性坐標系為B0體，然后沿遠離其方向，按自然數增長序列對各運動體編號，并定義任意體Bk的n階低序體算子為：

式中：L為低序體算子，k為運動體序號，i為其n階低序體序號。設定存在運動體Bk和其相鄰低序體Bj，則兩者的低序體算子表達式為：

運動體Bk和Bj間相對運動關系如圖2所示，其中和Os分別為Bk在Bj體坐標系（Ojxjyjzj）內的理想運動參考點和實際運動參考點，相應的理想位置矢量為實際位置矢量為位置誤差矢量為分別表示Bk體坐標系原點在其實際運動坐標系（Osxsyszs）中的理想運動位置和實際運動位置，相應的理想位置矢量、實際位置矢量和位置誤差矢量分別為

圖2 相鄰運動體間相對運動關系示意圖

根據圖2中描述的運動關系，可獲得Bk內任意一點P在Bj體參考坐標系內的位置矢量

式中：Tjk,p和Tjk,s分別為理想無誤差情況下的靜止特征矩陣和運動特征矩陣；Tjk,pe和Tjk,se分別為實際有誤差情況下的靜止誤差特征矩陣和運動誤差特征矩陣。則兩相鄰運動體之間理想特征矩陣Tjk,ideal和實際特征矩陣Tjk,actual的表達式為：

當多體系統存在n組相鄰體時，可獲得整個多體系統的理想特征矩陣Tideal和實際特征矩陣Tactual的表達式[11]：

2.2 三軸轉臺系統多體拓撲結構

基于多體系統運動學理論可將三軸轉臺系統抽象為多個各運動體，并依照它們間的固連關系構建如圖3所示的開環鏈路結構。以往的研究并沒有考慮負載設備，因此轉臺拓撲結構只建立到內框，本文基于負載設備和轉臺內框之間的固連關系，在原有鏈路結構中增加了負載設備環節。進一步設定基座為慣性參考坐標系編號B0，沿著框→中框→內框→負載設備的方向，對各運動體進行編號并建立相應的坐標系，可獲得三軸轉臺系統多體拓撲結構。

圖3 三軸轉臺系統多體拓撲結構圖

依據上文中轉臺系統誤差描述和圖3中各運動體坐標系，對影響系統指向誤差的各誤差分量進行標號，如表1所示。

表1 三軸轉臺系統誤差分量

表中垂直度誤差分量以S(z1x0)為例，它表示圖3中外框z1軸與基座x0軸間的垂直度誤差；其余誤差分量中以εx(z1)為例，表示外框z1軸轉動過程產生的在x方向上角度誤差分量。建立三軸轉臺系統拓撲結構后，依據公式定義的低序體陣列對其進行數字化描述，如表2所示。

表2 三軸轉臺系統低序體陣列

2.3 相鄰運動體間特征矩陣

結合三軸轉臺系統中相鄰運動體間的相對運動關系，并將各誤差分量引入其中，可推導出相應的特征矩陣。以中框和內框為例，其特征矩陣為：

以往的研究中常常簡單地以轉臺內框回轉軸線表征負載設備電軸，忽視了兩者之間存在的負載設備安裝角度誤差分量，有失嚴謹。因此，本文在完善轉臺系統拓撲結構的基礎上，進一步將負載設備安裝角度誤差分量引入內框和負載設備間的特征矩陣，表征二者之間的位姿變化關系和誤差傳遞作用關系：

2.4 指向誤差模型

三軸轉臺系統拓撲結構及各運動體間特征矩陣建立后，進一步根據公式和可獲得整個系統理想特征矩陣Tideal和實際特征矩陣Tactual：

實際研究中為了便于分析，通常將負載設備坐標系x軸上的單位矢量表示為負載設備電軸指向。基于已建立的三軸轉臺系統理想和實際特征矩陣，可獲得負載設備電軸的實際指向向量和預期指向向量

根據三軸轉臺系統指向誤差的定義，其表達式為：

3 仿真結果分析

基于上文所建三軸轉臺系統指向誤差模型，仿真計算轉臺姿態變化時不同誤差分量對指向誤差的影響規律。仿真時，三軸轉臺模擬某負載設備實際姿態變化軌跡如圖4所示。其中轉臺外框偏航軸做周期性的正負向偏擺；中框俯仰軸作同外框同周期的規律運動，且兩軸在同時刻達到極限位置；內框橫滾軸做周期轉動，但變化規律與另外兩軸不同。

圖4 三軸轉臺姿態變化軌跡

為了便于分析，在仿真計算時將目標誤差分量大小設定為10″，其余誤差分量置0。不同誤差分量對指向誤差影響的結果如圖5～圖8所示。

圖5 垂直度誤差對指向誤差影響

圖6 傾角回轉誤差對指向誤差影響

圖7 回轉位置誤差對指向誤差影響

圖8 負載設備安裝角度誤差對指向誤差影響

由圖中結果可知，在誤差分量S(z1y0)、S(y2z1)、S(y2x1)、εx(z1)及εz(z1)作用下，指向誤差呈與轉臺外框α、中框β角姿態軌跡相對應的周期變化，與內框γ角無關，且指向誤差在特定姿態角下達到極值，如表3所示：在S(z1y0)、S(y2z1)和εx(z1)作用下，當轉臺α、β角最大時，系統指向誤差最大為8.7″，當α、β角最小時，指向誤差最小為5.2″；而當S(y2x1)和εz(z1)作用時，指向誤差在α、β角最小時達到最大為8.6″，在α、β角最大時指向誤差最小為5.1″。

表3 不同誤差分量引起的指向誤差極值

相較于其他誤差分量，指向誤差受S(z1x0)、S(x3y2)、S(x3z2)、εy(z1)、εz(y2)、εy(y2)、εy(x3)、εz(x3)、εy(x4)和εz(x4)影響作用較大，當誤差分量大小為10″時指向誤差也達到10″，即在上述誤差分量作用下產生的指向誤差大小與誤差分量本身大小相同。此外，由圖中結果可知隨著轉臺姿態的變化，指向誤差不發生改變。

由仿真結果可知當誤差分量εx(y2)、εx(x3)及εx(x4)作用時，系統指向誤差為0，即εx(y2)、εx(x3)及εx(x4)對指向誤差無影響，這主要是由于將負載設備坐標系x軸方向上的單位矢量表示為電軸指向造成的。在進行轉臺設計和誤差補償時，上述誤差分量可不用考慮。

4 結論

基于多體系統運動學理論，建立了完善的三軸轉臺指向誤差模型。在轉臺姿態變化下，仿真獲得了不同誤差分量對系統指向誤差的影響規律：

1）在外框與地基y向垂直度誤差、中框與外框垂直度誤差、外框x向傾角回轉誤差及回轉位置誤差作用下，指向誤差呈與轉臺外框和中框姿態軌跡相對應的周期變化，且在特定姿態角下達到極值。

2）指向誤差受中框回轉位置誤差、負載設備y向安裝角度誤差等誤差分量影響作用較大，其大小與誤差分量相同，且不隨轉臺姿態變化。

3）中框x向傾角回轉誤差、內框回轉位置誤差及負載設備x向安裝角度誤差對系統指向誤差無影響。