基于拓撲優化技術的成型機軸承座動剛度特性改進設計

（廣東機電職業技術學院 先進制造技術學院，廣州 510550）

0 引言

隨著制造業水平不斷提高，工程師在機械產品研發過程中，對結構改進設計提出了更高的要求。隨著環保理念的不斷提升，憑借工程師經驗的傳統設計方法已不適用于產品設計，引入一種可行性的現代設計方法，改善結構性能且降低結構材料使用率已成亟待解決的問題。

立式軸承座是機床中的重要組成部分，也承載著重要的零部件，軸承座結構的合理性和性能的優良性對機床運行的對板料成型過程中上下軋輥的轉動平穩性具有直接影響。近年來，已有工程師對于機床相關軸承座結構進行了靜動載荷受載下的仿真分析，但對結構的改進設計成果還較少。如王征兵等[1]運用有限單元法對不同構型的軸承座進行了受力分析，驗證了基于傳統方法設計的結構進行正確性和可行性。李曉磊[2]等對皮帶運輸機中的鑄鐵軸承座進行了結構強度分析和優化改進設計。然而，因結構靜、動態特性具有不一致性和不可共度性[3]，現有的研究對結構減材并改進其結構性能的研究幾乎空白。

本文以某科技股份有限公司成型機項目中的軸承座為研究對象，因成型機軸承座為成型機生產線中關鍵的支撐件，對板料成型過程中上下軋輥的轉動平穩性具有直接影響。提出一種可行的現代優化設計方法[4]對軸承座的設計實現結構輕量化，同時，使其具有足夠剛度且又具有抑制振動能力是亟待解決的問題。

本文引入動力學理論并結合拓撲優化技術[5～7]，對成型機軸承座結構進行頻率響應的拓撲優化設計，使其實現結構輕量化的同時，改進軸承座結構的動態性能。首先，對于憑傳統方法設計的成型機軸承座，采用SolidWorks對其CAD模型的構建運用HyperMesh進行有限元前處理，并分析軸承座的工況條件；其次，依據SIMP材料插值模型，對成型機軸承座構建以受載節點動位移最小化為優化目標函數，以優化前后體積比為約束條件構建成型機軸承座的頻率響應的優化模型；然后，基于OptiStruct對該優化模型進行求解；最后，基于OSSmooth對優化結果的CAD模型提取和再分析。該方法在實際工程結構輕量化設計和改善結構動力學性能具有重要的參考意義。

1 成型機軸承座有限元前處理

1.1 成型機軸承座CAD模型

本文根據某科技股份有限公司成型機項目的設計要求，已知軸和軋輥總重共為100kg，即F1=F2=1000N；兩軸承的跨度L=1280mm。運用SolidWorks對成型機軸承座進行CAD模型的設計，并作為本文的研究對象，如圖1所示。

圖1 成型機軸承座幾何模型

1.2 成型機軸承座工況條件

以圖1成型機一側的軸承座為研究對象，軸承座底部四個約束孔固定于機架；大孔處與下軸裝配，依據《理論力學》的受力分析，該處受到垂直向下的集中載荷F′1=0.5F1=500N和轉動朝機架中心的扭矩M1=0.25.F1.L=320000N.mm。同理，成型機軸承座上表面兩個安裝孔處受到垂直向下的集中載荷F′2=F′1和轉動朝機架中心的扭矩M2=M1。

1.3 成型機軸承座有限元模型

根據該項目中對成型機軸承座的結構設計要求，對圖1的成型機軸承座CAD模型進行幾何修復處理。運用HyperMesh對其以尺寸為4mm的六面體單元進行網格離散化，可得到39352個的六面體網格數和45887個單元網格節點，如圖2所示。

圖2 基于HyperMesh的軸承座有限元模型

軸承座的材料為HT250，該有限元模型進行材料屬性的賦值，如表1所示。

表1 軸承座材料屬性參數

2 成型機軸承座頻響分析

2.1 動力學剛度理論

一般而言，傳統方法設計的結構性能優良，常基于材料胡克定律并根據其受力情況分析結構的剛度特性。然而，實際工程結構中，結構件除了需有一定的承載剛度，還需具備一定的抗振動能力以致抑制外界激勵產生影響。考慮到外界激勵對結構的影響，使得對結構從靜力學問題上升到動力學問題的求解，因此，結構的動態特性分析乃至優化對結構件的設計尤為重要。結構動態特性是結構在動態載荷作用下，結構固有頻率對其產生的相對位移變化，以動剛度衡量。依據動力學可得單自由度系統的振動方程：

式中，[M]、[C]、[K]為結構質量、阻尼和剛度矩陣；F(t)為隨著時間變化的外載荷，為F(t)=F0.cos(ωt)；x為結構節點位移矩陣，依據文獻[8]得：

式中，ω為結構的激勵頻率；ωn為結構固有頻率，取ωn=[K]/[M]。

2.2 軸承座頻響分析

根據第1.2節的力學分析和圖2的成型機軸承座有限元模型，基于OptiStruct對軸承座進行頻率響應分析，可得成型機軸承座頻率帶的最大相對位移量，即是結構動剛度特性，如圖3所示。

圖3 基于OptiStruct的軸承座動態特性曲線

圖3可得，軸承座在1018～2016Hz振動頻帶，外界激勵對其產生的最大相對位移量是Y方向；在20～1018Hz振動頻帶中，外界激勵對其產生的最大相對位移量是Z方向；相關性能參數如表2所示。

表2 軸承座動態特性參數

3 拓撲優化理論

3.1 SIMP材料插值模型

為了改善成型機軸承座的動態性能的同時，實現軸承座結構的輕量化設計。本文引入結構優化設計中較高層次的拓撲優化技術，對成型機軸承座進行結構輕量化設計。

本文主要運用變密度法的固體各向同性材料懲罰模型[9]（SMIP模型）對成型機軸承座構建數值優化模型。SIMP模型是將單元網格作為人為材料密度，并引入懲罰因子對中間密度材料進行懲罰，關于人為材料密度與彈性模量的關系式為：

式中，Ee為第e個單元的楊氏模量；為第e個單元的人為材料密度，為空洞處的密度值，為了避免優化求解過程中出現奇異性；Ee0為材料初始彈性模量；p為密度懲罰因子，懲罰因子p的取值為：

式(3)為顯性非線性關系，懲罰因子p對優化結果的中間密度值能有效地進行(0 1)的二值化處理，大大改善了優化結果的邊界清晰度。

基于SIMP材料插值模型的優化數值問題可構建為：

3.2 優化準則法

優化準則法在1904年由Michell對桁架優化問題的研究中[10]提出，因受限于當時的理論研究體系而未能很好地發展。然而，隨著數學理論體系地不斷完善和計算機水平地不斷提高，使得優化準則法得以發展并廣泛應用于結構的優化設計。

選取合理的優化算法求解數值優化模型是優化問題的核心，本文對成型機軸承座的頻率響應優化設計為單目標優化問題，主要采用優化準則法。它是依據優化問題中的目標函數和約束條件聯立一個拉格朗日函數，并對函數中每個變量求偏導構建相應的Kuhn-Tucker條件（K-T），從而通過優化移動因子對優化問題的設計變量和Lagrangian乘子進行不斷地更新，在迭代過程中搜尋出該優化問題的最佳解。

依據第3.1節的式(5)，可構建拉格朗日函數為：

依據單元剛度矩陣對稱性可得：

依據不動點迭代法，得到簡化的優化準則法的迭代函數：

Sigmund教授[11,12]根據式(10)的優化準則法迭代函數，構建了關于設計變量的啟發式調整法：

式中，m為正向移動極限系數 ；η為阻尼系數，為了保證數值計算的收斂穩定性，常取η=5；上式中的

式中，L為Lagrangian乘子，運用Bi-sectioning算法求得。

4 頻響優化結果

本文依據成型機軸承座的設計要求，依據第3節的材料插值模型構建軸承座的SIMP優化模型：

式中，dispfrf為受載點的動態位移；V為優化后的結構體積；f為優化前后的體積比；V0為軸承座的初始體積；為第e個單元密度，e=1，2，…，N為單元數量；F為受載點所受載荷；K為結構整體剛度矩陣；U為結構整體位移矩陣；為單元最小密度，為避免優化計算過程中整體剛度矩陣出現奇異性，常取

依據式(13)并運用OptiStruct對成型機軸承座進行優化求解。經過77步拓撲優化迭代，得軸承座優化結果和優化后的動剛度特性曲線，如圖4、圖5所示。優化前后動態特性參數，如表3所示。

圖4 基于OptiStruct的軸承座優化結果

圖5 基于OptiStruct的軸承座優化后動態特性曲線

從圖5可得，優化后的軸承座在外界激勵下在Y方向的最大相對位移量，其振動頻率帶提高到6008～7006Hz；在Z方向的最大相對位移量，其振動頻率帶提高到1018～2016Hz；基于頻響拓撲優化軸承座的相關性能參數，如表3所示。

表3 軸承座優化前后動態特性參數

由表3可知，軸承座質量從23.805kg下降到8.753kg，優化后的軸承座節省材料63.23%。優化后的軸承座在Y方向的動剛度從149.39增大到440.21，對應的一階固有頻率由1940.45Hz大大地提高到6760.12Hz，提高了70.30%；在Z方向的動剛度從174.22增大到395.90，對應的一階固有頻率由440.63Hz大大地提高到1360.3Hz，提高了67.61%；基于頻率響應拓撲優化技術的軸承座實現了結構的輕量化設計，還大大地提高了軸承座結構動態剛度特性。

5 優化結果仿真分析

5.1 基于OSSmooth的CAD模型

OSSmooth是一個半自動化工具，在HyperWorks中能將優化結果的有限元模型轉成CAD模型，便于直接導入CAD軟件中對優化的結構進行修改設計。基于OSSmooth模塊的設置，如圖6所示；運用OSSmooth提取優化結果的CAD模型，作為參考并采用SolidWorks對CAD模型進行修整，如圖7所示。

圖6 OSSmooth界面

圖7 基于OSSmooth&SolidWorks的CAD模型

5.2 優化結構頻響分析

基于OSSmooth&SolidWorks的成型機軸承座優化模型，采用HyperMesh進行有限元前處理，如圖8所示。

圖8 有限元模型

對圖8的有限元模型設定一致的材料屬性，如表1所示；依據第1.2節的邊界工況條件，運用OptiStruct進行頻率響應分析所得的軸承座動態特性曲線，如圖9所示，光滑處理后結構的動態特性參數如表4所示。

圖9 基于OptiStruct的軸承座動態特性曲線

表4 優化處理后力學性能參數對比

從圖9和表4中可得，優化結果處理后的成型機軸承座，根據力學分析，X方向的受力可忽略，故該方向的動剛度可忽略；因Y和Z方向的一階固有頻率提升到6620.3Hz和1140.9Hz；Y和Z方向的動剛度也分別增大到836.69和1156.87。基于頻率響應拓撲優化技術對成型機軸承座動態性能的提升具有明顯的效果，且OSSmooth的引入便于對優化結果的CAD模型提取、修改和再分析。該方法大大地提高了工作效率，縮短了結構的研發周期。

6 結束語

本文對成型機軸承座結構基于頻響拓撲優化技術的輕量化設計。首先，對憑經驗設計的軸承座進行幾何修復，分析其工作狀況并采用HyperMesh對其進行有限元前處理。其次，對軸承座受載點的頻響位移最小化為優化目標，以體積分數為約束條件構建SIMP材料優化模型，運用OptiStruct優化求解。最后，利用OSSmooth對優化結果進行CAD模型提取并運用OptiStruct進行頻率響應分析。

優化結果表明：成型機軸承座較優化前的質量從23.805kg下降到8.753kg，實現了結構輕量化；Y和Z方向一階固有頻率由1940.5Hz、440.6Hz提升到6620.3Hz、1140.9Hz；Y和Z方向動剛度也分別由149.39、174.22增大到836.69和1156.87大大地改善了軸承座的動態特性。該方法大大地提高了工作效率，縮短了結構的研發周期，對考慮振動條件下的結構剛度改進等具有重要的借鑒意義。