基于多體系統理論的數控內外圓磨床的綜合誤差分析及數學模型的建立

（北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，北京 100124）

0 引言

隨著現代制造技術的不斷發展和對產品質量要求的提高，機械制造工業向高精度、高速度、高效率的方向飛速發展，精密磨削和超精密磨削加工技術已經成為行業競爭中取得成功的關鍵技術。數控內外磨床是大工件磨削機床和磨削中心，適用于大批量生產，寬廣的加工范圍讓這種磨床可以作為高靈活性多功能的靈活磨床使用。作為加工孔類零件和軸類零件的主要加工工具，數控內外圓磨床的磨削質量和精度穩定性至關重要。

本文以多體系統理論[1]為基礎，通過分析熱誤差和幾何誤差之間的相互耦合關系[2]，對數控內外圓磨床的幾何誤差和熱誤差[3]進行分析和研究。

1 數控內外圓磨床結構分析與誤差描述

以某機床廠的數控內外圓磨床為研究對象，通過三維建模，可建立如圖1所示的機床三維結構圖，從圖中可以得知，本機床是以加工外圓為主的數控磨床，主要有床身、頭架、卡盤、Z向導軌、X向導軌以及回轉砂輪架等主要部件。按照機床運動規律，可將其分為“床身-工件”運動鏈和“床身-刀具”運動鏈兩個分支。如圖1所示，0-1-2為“床身-工件”運動鏈；0-3-4-5為“床身-刀具”運動鏈。

其中，0為床身；1為卡盤；2為工件；3為Z向導軌；4為X向導軌；5為砂輪。

通過分析可知，對于數控內外圓磨床主要有一個旋轉軸（C軸）、移動軸X和移動軸Z。空間內單個物體具有6個自由度，分別是三個位移和三個轉動，因此，此機床具有9個線位移誤差和9個角位移誤差，另加3個垂直度誤差。具體如表1所示。

表1 數控內外圓磨床幾何誤差參數

在數控機床的加工過程中，幾何誤差和熱誤差是影響加工精度的主要因素。數控機床的熱誤差是隨溫度變化的函數，主要體現在X、Y、Z三個方向上的熱位移。而溫度對于物體的轉動誤差影響甚微，故此處不予考慮。通過分析可知，本機床主要存在以下熱誤差參數，具體如表2所示。

表2 數控內外圓磨床熱誤差參數

2 建立數控內外圓磨床綜合誤差模型

為了精確描述機床的磨削運動，需要借助各個運動部件的相對運動坐標變換矩陣，將復雜的運動轉換為直觀的數學模型。由圖1可知，機床的兩條運動鏈中只包含相對運動和相對轉動兩種運動形式[4]。通過多體系統理論構建此機床的多體系統拓撲結構圖，如圖2所示。圖中，P為磨削點，機床通過兩條運動鏈共同作用于點P，由此完成數控指令到運動軌跡的變換。

圖2 數控內外圓磨床拓撲結構圖

3 建立數控內外圓磨床運動學模型

此數控機床由雙層工作臺支撐，可根據工藝需要加工圓錐、凹槽、內外圓等結構，本文研究只針對一種加工工藝的誤差分析，其他加工誤差可以此推演得到。本文以加工外圓為例進行誤差建模分析。

設工件坐標系為Ow-XwYwZw，刀具坐標系為Ot-XtYtZt，機床坐標系為Oo-XoYoZo，通過以上分析，P是砂輪磨削點，則點P按“床身-工件”分支在慣性體坐標系中的位置矩陣表達式為：

點P按“床身-刀具”分支在慣性體坐標系中的位置矩陣表達式為：

式中：{rw}w為點P在工件坐標系Ow-XwYwZw中的位置矩陣表達式，{rt}t為點P在刀具坐標系Ot-XtYtZt中的位置矩陣表達式。

在機床加工磨削過程[5]中，工件外圓輪廓是由砂輪和工件之間的相對運動復合而成，砂輪在工件上走出設計形狀軌跡，必須嚴格控制刀具中心的實際運動軌跡總是與刀具路線重合，從而實現精密加工磨削，因此可得機床精密加工約束方程為：

4 精密加工約束方程的求解

確立了各運動部件之間的相互聯系之后，進而需要明確各個部件之間的轉換關系。首先，對數控機床的各個運動部件分別建立相應的子坐標系，然后確定相鄰運動體變換矩陣表達式。首先確定各個坐標系的方向和位置，以機床坐標系為基準方向，床身坐標系為慣性坐標系，令Z向導軌、X向導軌和卡盤的體運動參考坐標系與其相鄰的低序體的體參考坐標系重合，工件體參考坐標系和主軸參考坐標系方向一致，令床身參考坐標系繞X軸轉過垂直度εyz后的方向為Z向導軌的體參考坐標系的方向，Z向導軌分別繞Z軸、Y軸轉過垂直度εxy、εxz后的方向為X向導軌的體參考坐標系的方向，工件坐標系原點位于工件中心，砂輪坐標系原點位于砂輪中心，其余坐標系原點均位于主軸端面中心處。

根據數控機床相應坐標系的運動特性，建立相鄰體間的變換矩陣。各幾何誤差變換矩陣如下：

在幾何誤差的基礎上，需要加上熱誤差才能得到綜合誤差。熱誤差只考慮X、Y、Z三個方向上的位移誤差，可以體現在不同的變換矩陣上[6]。

將式(1)和式(2)中的相應誤差矩陣分別用以上各式進行替換，其中，[T01]se替換[S01]se，[T03]se替換[S03]se，[T34]se替換[S34]se，便可得到數控內外圓磨床的綜合誤差變換矩陣。通過對該機床的運動結構的分析和機床的坐標系的設定和磨削特點可知：

其中，r為工件截面半徑 R為刀具砂輪半徑。

分別將各式代入式(3)中，并略去單位矩陣，運用MATLAB求解矩陣相乘并整理消去高階無窮小，可得如下：

在實際加工過程中，實際刀具中心點應與工件坐標系上的理論刀具中心點在任意時刻重合，這是實現精密加工的必要條件，將上述計算結果帶入公式中，即：

便可求出該數控磨床的精密加工約束方程。在已知精密加工約束方程的情況下，只需對其相關參數進行測量和辨識，包括幾何誤差和熱誤差兩部分。然后誤差參數代入建立的刀具路線和數控指令以及數控指令和實際刀具軌跡之間的映射關系來修正數控指令以達到誤差補償的目的。

5 結論

1）通過對數控內外圓復合磨床進行三維建模，對其進行結構分析，利用多體系統理論對機床結構進行描述，將機床分為兩個分支、多個部件，確立每個運動部件的體參考坐標系。

2）通過分析數控磨床運動結構，得出該機床共有21項幾何誤差和9項熱誤差（忽略熱誤差對轉角的影響）。

3）在多體系統理論的基礎上，推導出該機床各個運動部件間的相對運動坐標變換矩陣，通過分析熱誤差特性，揭示了熱誤差和幾何誤差之間的耦合關系，進一步建立該機床的綜合誤差數學模型，為后續的誤差補償奠定了基礎。