基于振動特性的碼垛機器人結構優化

萬英和，吳連松，武冰昕，陳 芳，楊金鵬

（1.北京機械工業自動化研究所有限公司，北京 100120；2.北京萬集科技股份有限公司，北京 100193）

0 引言

隨著機器人技術的發展，尤其是向高速、高精度、重載應用領域的拓展，對機器人動態特性（振動特性）要求越來越高，同時也要求機器人更加精密化與輕型化。機器人結構的輕量化會導致構件的柔性加大，結構固有頻率降低，高速化導致慣性力激振頻率升高，容易造成較大的彈性振動與運動誤差[1]。對高速重載碼垛機器人而言，更高的加速度性能與更好的振動特性是一對相互矛盾的量。因此，如何在保證較高的加速度性能的前提下，通過結構優化減小系統振動與誤差，進而改善振動特性，變得尤為重要。

Sunada和Dubowsky將有限單元法成功的應用于串聯機器人的KED研究[2]，劉鴻飛、馬香峰、王生澤、廖道訓等人也為機器人彈性動力學建模以及振動系統模態分析做了很多研究[3,4]。梅江平，曹家鑫等人基于靜力學分析，對機器人靜剛度薄弱環節提出了優化意見[5]。李瑞峰、仝勛偉、趙欣翔、王占軍等人基于模態分析，以提高低階固有頻率為目的，對碼垛機器人進行了結構優化[6～8]。這些研究中的結構優化主要是以提高靜態剛度、動態剛度、低階固有頻率等為目的，不能直觀體現出結構優化對于機器人系統振動特性尤其是機器人末端振動的影響。因此本文提出了基于機器人系統振動特性的結構優化方法，在不增加重量的前提下，以減小機器人末端振動為優化目標，對機器人結構參數進行優化。以所設計的四自由度高速重載碼垛機器人為研究對象，建立其柔體動力學模型，對其末端振動進行分析與求解。為使機器人具有更合理的結構和動態特性，利用三維建模軟件SolidWorks建立碼垛機器人的三維模型，并導入ANSYS Workbench中進行模態分析，找到機器人振動薄弱的部位，為結構的優化設計提供可靠的理論依據，針對振動最薄弱的部分提出了一種基于碼垛機器人末端振動特性，對其構件結構尺寸參數進行優化的方法。以大臂優化為例，通過截面尺寸優化，在不增加重量的前提下，使機器人振動特性尤其是碼垛過程中末端振動的最大振幅得到一定的改善。

1 碼垛機器人各構件建模

1.1 碼垛機器人描述

此款碼垛機器人是一款用于貨物碼垛的新型四自由度高速重載搬運機器人，其實物圖如圖1所示。碼垛機器人主要由機架、腰座、轉臂、大臂、小臂、姿態保持架、大臂連桿1、大臂連桿2、小臂連桿、姿態保持架等構件組成，對各構件進行編號（1-10），碼垛機器人三維模型如圖2所示。在結構簡圖中建立靜坐標系O-XYZ。各主要構件之間通過轉動副進行連接。碼垛機器人主要實現四種運動：腰座回轉、大臂回轉、小臂回轉、末端手腕體執行器回轉運動。碼垛機器人含有3個平行四邊形閉環結構，如圖2所示。平行四邊形機構Ⅰ、Ⅱ起到保持末端手腕體水平姿態的作用；含有轉臂的平行四邊形機構Ⅲ在保證轉臂與小臂具有相同轉速的同時，可以將小臂的驅動電機安裝到腰座上面，使得機器人的動力學性能得到改善[9～11]。

圖1 碼垛機器人樣機

圖2 碼垛機器人三維模型圖

1.2 空間梁單元與機器人各構件建模

對于圖3所示的空間梁單元[12]，節點位于兩端，每個節點有三個位移與三個扭轉共六個自由度。

圖3 空間梁單元

圖1所示梁單元運動微分方程為：

參照梁單元，可以對碼垛機器人機架、腰座、大臂等各構件列寫式(1)形式的微分方程，但是由于碼垛機器人各構件形狀較為復雜，無法直接求解剛度與質量矩陣，本文采用ANSYSY軟件對各構件進行有限元建模，將復雜構件看成一個柔性特殊單元（超單元）處理，在軟件中提取其剛度與質量矩陣。以機架為例，其具體分析處理過程可分為如下三個步驟：

1）將機架三維模型導入ANSYSY軟件中，對機架賦予材料屬性、進行網格劃分（選取三維十節點四面體實體Solid92單元類型）；

2）將機架下底面螺栓孔與地面固聯，并將與腰座連接表面設置為剛性區域，最后建立機架超單元結構，如圖2所示。

3）求解并提取6×6剛度與質量矩陣。

提取的機架剛度與質量矩陣如圖5所示。

圖5 機架剛度與質量矩陣

同理，對于其他構件將其三維模型導入ANSYS中設置超單元結構并求解，均可以提取6n×6n的質量與剛度矩陣，其中n為該構件運動副個數。例如對于2號構件腰座，因其運動副個數為3（與大臂、小臂、連桿連接處有各有一個轉動副），因此在ANSYS軟件中可以對腰座提取18×18的剛度與質量矩陣。在求得第j個構件的剛度與質量矩陣之后可以列寫其運動微分方程：

上式中：Mj、Kj、Cj為j構件6n×6n的質量、剛度、阻尼矩陣；為j構件6n×1節點彈性位移、速度、加速度；Fj為j構件所受的所有外力（力矩）。

碼垛機器人各構件材料均為鋼材，在只考慮比例粘性阻尼的前提下，參考文獻[7,13]將阻尼矩陣設為：

2 碼垛機器人整機運動微分方程與求解

將碼垛機器人所有構件運動微分方程統一到靜坐標系O-XYZ下，并組裝到一起。由式(2)、式(3)可得碼垛機器人整機運動微分方程如下：

本文采用模態分析法求解碼垛機器人整機運動微分方程。模態分析方法是利用振型矩陣（系統特征值、特征向量為基礎組成的矩陣），把描述系統運動的坐標，從一般的廣義坐標變化到主做標，把運動方程變換成一組n個獨立自由度方程，求得每個主做標的響應，然后，再得到系統在一般廣義坐標下的響應[13]。

應用模態分析法對式(4)進行求解可得系統各節點坐標振動表達式為：

上式中：

其中，[u]為系統特征向量組成的矩陣；對于初始時刻節點位移、速度均為零的碼垛機器人系統，rη可以表示為時間的函數，如下：

上式中，ξ為系統阻尼比，wdr為第r階有阻尼固有頻率；Nr可以表示為時間的函數：

至此，碼垛機器人系統72自由度的強迫振動微分方程求解完畢。由式(5)可以求得機器人任意節點振動位移。

3 碼垛機器人模態分析

將碼垛機器人三維模型導入ANSYS Workbench中進行模態分析。限于篇幅有限，本文僅給出了兩種典型位姿（機器人抬舉到最高點、一般碼垛點）下的前兩階固有頻率模態分析，如圖6所示。

圖6 兩種典型位姿下的前二階振型圖

由圖5分析可知，兩種位姿下，前兩階振型基本相同。第一階模態表現為大臂、小臂和手腕體在腰座的轉動方向上整體的搖擺振動，其中手腕體處擺動最為強烈；第二階模態主要表現為在豎直平面內小臂、手腕體的點頭現象，其中手腕體處點頭現象最為嚴重。

通過模態分析以及機器人實際碼垛效果來看，碼垛機器人最容易發生的振動形式是腰座回轉過程中機器人末端手腕體與小臂、大臂等一起繞腰座小幅度擺動（振動），振動形式與模態分析第一階振型相同。這種振動對于機器人末端誤差影響很大，嚴重影響碼垛質量的提高。機器人產生這種振動的原因主要是由于大臂與小臂連接處的關節柔性以及小臂、大臂桿件柔性和手腕體的柔性引起的。

4 碼垛機器人結構優化

由“3碼垛機器人模態分析”可知，腰座回轉過程中產生的振動形式不僅對碼垛質量影響很大，并且是最容易發生的振動。因此，針對腰座回轉過程中產生的振動，進行重點研究，并基于機器人系統末端振動方程，在不增加重量的前提下，以減小機器人末端振動為優化目標，對機器人結構參數進行優化。

首先給定機器人運動來模擬機器人碼垛過程中腰座回轉運動：機器人在圖1所示的位姿下，只讓腰座驅動關節轉動，其他驅動關節不動，設腰座初始時刻轉角為零，機器人繞腰座轉動過程角加速度表達式如下：

由給定的運動以及式(5)可以求得機器人末端振動方程。基于機器人系統末端振動方程，對機器人結構參數進行優化。具體優化過程如圖7所示。

圖7 機器人結構優化過程

圖8 大臂三維模型截面圖

限于篇幅有限，本文以大臂截面尺寸參數優化過程為例，對碼垛機器人結構優化進行說明。大臂結構比較簡單，其沿大臂長度方向截面圖，如圖8所示，大臂截面尺寸主要有：大臂高度h、寬度b、側板厚度t1、上下板厚度t2。

首先研究大臂截面尺寸對于機器人末端振動最大振幅的影響，在大臂截面四個尺寸大臂高度h、寬度b、側板厚度t1、上下板厚度t2中，只改變單一變量，看其對機器人末端振動最大振幅的影響，截面尺寸參數初始值如表1所示。由前面給定的腰座回轉運動以及式(5)，可以求得末端振動最大振幅與大臂截面尺寸之間的關系，如圖9所示。

圖8 大臂截面尺寸與末端最大振幅關系

由圖9可知，大臂側板厚度對末端振動最大振幅影響最顯著，隨著大臂厚度增加其影響效果逐漸減小。上下板厚度對末端振動最大振幅影響非常微弱。大臂高度、寬度的增加都會使末端振動減小。對于大臂截面尺寸，為了避免優化的盲目性，對截面尺寸優化參數設置一定的優化范圍，如表1所示。

表1 大臂截面尺寸參數初始值與優化范圍

按照圖7所示優化過程，在不增加大臂重量的前提下，按照表1所示的截面尺寸優化區間，以減小系統末端振動為優化目標，在相應MATLAB程序中可以得出一組最優解如下：b=296mm；h=281mm；t1=6mm；t2=9.5mm；

優化前后碼垛機器人末端振動隨時間變化關系如圖10所示。

圖10 優化前后末端振動隨時間變化情況

分析圖10可知，優化之前腰座回轉過程中機器人末端最大振幅為14.21mm，運動停止后末端最大余振振幅為0.41mm，在1.0s之后停止運動；優化之后腰座回轉過程中機器人末端最大振幅為12.79mm，運動停止后末端最大余振振幅為0.35mm，在0.85s之后停止運動；

機器人大臂在質量不增加的情況下，通過優化使系統末端最大振幅減小了10.02%，同時在碼垛機器人腰座運動停止后，末端余振最大振幅減小12.5%，并且在更短的時間內停止余振，優化效果明顯。

5 結論

本文以所設計的四自由度高速重載碼垛機器人為研究對象，基于有限元建模法與AYSYS軟件建立了其柔體動力學模型，對其末端振動進行了分析與求解。對整機進行模態分析，找到機器人振動薄弱的部位，針對這些振動薄弱部位提出了一種基于碼垛機器人末端振動特性，對其構件結構參數進行優化的方法。以大臂截面尺寸優化為例，在給定運動下，首先研究了大臂截面尺寸對于末端振動最大振幅的影響，之后對截面尺寸進行了優化，優化之后的碼垛機器人振動得到了明顯改善。這也證明了該優化方法的可行性與正確性。這種方法對高速重載高精度的機器人結構尺寸優化具有普遍應用意義。