含過約束的串聯機器人受力分析與動力學建模

武冰昕，吳連松，萬英和，汪 旸，陳 芳

（1.北京機械工業自動化研究所有限公司，北京 100120；2.北京萬集科技股份有限公司，北京 100193）

0 引言

機器人的受力分析是機器人驅動器、關節軸承、零件結構等設計的前提和基礎。對機器人各個零件的校核、強度分析以及振動特性研究，都必須已知機構的運動副約束反力[1]。

機器人運動確定以后，可以由運動學分析得到機構各桿件的速度、加速度，進而求出慣性力與慣性力矩。對于運動確定的具有閉環結構的多關節機器人，在求解運動副約束反力與驅動力時，常常由于未知數的個數多于獨立平衡方程的個數，導致未知數無法全部求解，出現靜不定問題。韓先國、趙燕、李鐵民等人[2～4]對于并聯機構受力分析時出現的靜不定問題進行了分析與研究。然而對于桿件結構復雜的串聯機構受力分析時，出現的靜不定問題，相應的研究卻很少。本文以新型碼垛機器人為例，對此類具有閉環結構的串聯機器人受力分析時出現的靜不定問題進行分析與研究，建立相應的變形協調補充方程，完成動態下碼垛機器人動力學模型。

1 碼垛機器人動態下出現靜不定問題的本質

1.1 碼垛機器人描述

此款碼垛機器人是在ABB、川崎碼垛機器人基礎上研發的一種用于貨物碼垛的高速重載搬運機器人，其實物圖與結構示意圖如圖1所示。機器人主要實現四種運動：腰座回轉運動、大臂前后運動、小臂上下運動、手腕體末端執行器回轉運動（本文中暫不考慮此種運動）。

碼垛機器人含有三個閉環，均是平行四邊形閉環。平行四邊形機構Ⅰ、Ⅱ起到保持末端手腕體水平姿態的作用；含有轉臂的平行四邊形機構Ⅲ在保證轉臂與小臂具有相同轉速的同時，可以將小臂驅動電機安裝到腰座上，使機器人的動力學性能得到改善[5]。

圖1 新型碼垛機器人實物圖與三維模型圖

1.2 動態下出現靜不定問題本質

此款碼垛機器人主體部分（不包含機架）共有9個構件，構件之間通過轉動副進行連接，共有12個轉動副。當大、小臂與腰座轉動時（動態下），每個轉動副具有5個約束，分別是3個約束力與2個約束力偶。對新型碼垛機器人動態下任一瞬時進行受力分析，求解關節力、關節力矩、驅動力矩（大臂、小臂、腰座驅動力矩）。碼垛機器人共有12×5+3=63個未知數，碼垛機器人主體9個桿件共有9×6=54個獨立方程，獨立方程個數比未知數個數少9個，動態下新型碼垛機器人屬于9次超靜定結構。碼垛機器人動態下求解關節力、關節力矩、驅動力矩屬于靜不定問題。

出現靜不定問題主要原因是3個平行四邊形閉環機構存在過約束。機構由于公共約束等因素的存在而發生過約束，由于其過約束的存在，使得其約束數目計算重復[6]，從而導致未知數個數多余獨立方程個數。現對平行四邊形機構進行分析。平行四邊形機構結構簡圖如圖2所示。在圖中坐標系下，由螺旋理論知識[7]，可以得到機構4個轉動副的運動螺旋為：

對于平行四邊形機構4個轉動副，可以求得其運動螺旋系的秩為3。機構的運動螺旋表示機構允許的運動，運動螺旋的反螺旋表示機構的約束[7]。對于平行四邊形機構的反螺旋系則表示機構的公共約束。

由螺旋與反螺旋互易積為零，可以求得平行四邊形機構反螺旋系為：

由反螺旋系可知平行四邊形機構存在3個公共約束：沿X軸方向的移動；沿y軸方向的轉動；沿z軸方向的轉動。對于新型碼垛機器人中存在的3個平行四邊形機構，共有9個過約束，因此動態下，對碼垛機器人進行受力分析時，機器人是9次超靜定結構。

圖2 平行四邊形機構結構簡圖

2 碼垛機器人受力分析

2.1 碼垛機器人運動分析與慣性力計算

碼垛機器人結構簡圖如圖3所示。在結構簡圖中建立靜坐標系o-xyz動坐標系o1-x1y1z1，動坐標系與腰座固聯，隨著腰座一起轉動。在已知手腕體末端運動規律的情況下，可以通過運動學反解求出碼垛機器人各個桿件的運動規律，這里不再討論。設靜坐標系下各桿件角速度、角加速度、質心點速度、質心點的加速度分別為0ωi、0αi、0vi、0αi（i=1、2、3，…）。

圖3 碼垛機器人結構簡圖

在靜坐標系o-xyz下各桿件的慣性力與慣性力矩為：

在動坐標系o1-x1y1z1下各桿件的慣性力與慣性力矩可以表示為：

2.2 碼垛機器人驅動力和運動副約束

運動副約束可以分為約束力與約束力偶。在不考慮手腕體末端轉動的情況下，新型碼垛機器人驅動力矩為：腰座驅動力矩T1、轉臂驅動力矩T2、大臂驅動力矩T3。在動坐標系o1-x1y1z1下，對于i（i=1，2，3，…，9）桿進行受力分析，對于質心點Pi可以列寫牛頓—歐拉方程：

以1桿受力分析為例，如圖4所示。對1桿質心P1點，根據牛頓—歐拉方程：

展開可以得到6個獨立牛頓-歐拉方程。

圖4 1桿受力分析

圖4中，設在動坐標系下，i桿對j桿的作用力：Fij=(Fijx，Fijy，Fijz)；作用力矩：Mij=(Mijx，Mijy，Mijz)。

對于新型碼垛機器人主體中的9個桿件，每個桿件都可以列寫6個獨立的牛頓-歐拉方程，共有9×6=54個獨立方程。對新型碼垛機器人動態下任一瞬時進行受力分析，求解關節力、關節力矩、驅動力矩（大臂、小臂、腰座驅動力矩）時，碼垛機器人共有12×5+3=63個未知數，獨立方程個數比未知數個數少9個，因此需要引入9個獨立變形協調方程。

3 引入變形協調補充方程完成動力學建模

由第1節可知，3個平行四邊形閉環中每個閉環存在3個過約束，因此對于每個平行四邊形均建立3個相應的變形協調補充方程。動態下任一瞬時為便于計算，進行如下假設：1）轉動副均被鎖住成了剛體并且不考慮各轉動副的間隙；2）各桿件均是彈性小變形。

3.1 建立平行四邊形機構Ⅰ的變形協調補充方程

由新型碼垛機器人實物圖可知，對于平行四邊形機構I，動態下D點的變形遠大于其他點處的變形。5桿受力如圖5所示。

圖5 5桿受力分析

假設某一時刻解除5桿D端的約束，C端約束仍然不變。則在G5，f5x，f5y，f5z，M5x，M5y，M5z，F45x，F45y，F45z，M45y，M45z的作用下5桿上D點必定會產生一個微小位移Δ1與微小轉角dθ1。當F65x、F65y、F65z、M65x、M65z單獨作用于5桿D端，則5桿D端也會有一個微小位移Δ2與微小轉角dθ2。

由于碼垛機器人任一瞬時均處于動態平衡狀態，因此：Δ1=-Δ2；dθ1=-dθ2。

設Δ1x為Δ1沿X1方向的位移分量；δ11、δ12、δ13、δ14、δ15分別表示F65x、F65y、F65z、M65x、M65z為單位力（力矩）且分別單獨作用時，D端點沿X1方向的位移。

設dθ1y為在外力G5，f5x，f5y，f5z，M5x，M5y，M5z，F45x，F45y，F45z，M45y，M45z作用下，5桿D端點沿Y1轉動方向的微小轉角；δ21、δ22、δ23、δ24、δ25分別表示F65x、F65y、F65z、M65x、M65z為單位力（力矩），且分別單獨作用時，D端點沿Y1轉動方向的微小轉角。

設dθ1z為在外力G5，f5x，f5y，f5z，M5x，M5y，M5z，F45x，F45y，F45z，M45y，M45z作用下，D端點沿Z1轉動方向的微小轉角；δ31、δ32、δ33、δ34、δ35分別表示F65x、F65y、F65z、M65x、M65z為單位力（力矩），且分別單獨作用時，D端點沿Z1轉動方向的微小轉角。

由上面三個式子可以建立一組獨立方程組：

3.2 建立平行四邊形機構Ⅱ、Ⅲ的變形協調補充方程

同理，對于4桿I點與7桿F點可以建立平行四邊形機構Ⅱ、Ⅲ的變形協調補充方程組：

式(4)、式(5)、式(6)總共建立了9個獨立變形協調補充方程，加上之前建立的54個各桿件牛頓—歐拉方程，總共63個獨立方程，獨立方程個數等于未知數個數，至此動態下新型碼垛機器人動力學模型建立完畢。

4 實例計算與動力學仿真

對于新型碼垛機器人任意給定運動，如表1所示。在MATLAB編制新型碼垛機器人動力學模型相關程序。對于給定的運動，可以計算出新型碼垛機器人任意時刻兩個桿件之間的關節力與關節力矩。限于篇幅原因，本文只給出小臂與手腕體連接處C關節點的關節力與關節力矩，如圖6所示。

表1 給定運動

將新型碼垛機器人三維模型導入ADAMS軟件中進行動力學仿真，對驅動關節給定運動，如表1所示。輸出C關節處關節力與關節力矩如圖7所示。

圖6 C關節處關節力與關節力矩

圖7 C關節處關節力與關節力矩動力學仿真結果

對比圖6動力學模型理論計算結果與圖7ADAMS仿真結果可以看出二者變化趨勢基本一致，最大誤差不超過10%，因此可以認為動力學模型建模正確。

5 結論

本文以具有并聯結構的碼垛機器人為例，應用螺旋理論分析了具有閉環結構的串聯機器人出現靜定問題的本質。

采用拆桿法建立機構動態下的靜力學平衡方程，并基于小變形疊加原理建立相應的變形協調補充方程，進而完成新型碼垛機器人動態下的受力分析并建立動力學模型。

利用MATLAB編制新型碼垛機器人動力學模型相應程序，進行關節力與關節力矩求解，并與三維模型ADAMS仿真結果進行對比，證明了動力學模型的正確性。這也為其他類似含過約束串聯機器人動力學建模提供了參考。