非擴散洛倫茲系統的周期軌道?

董成偉

(中北大學理學院物理學科部,太原 030051)(2018年8月23日收到;2018年10月22日收到修改稿)

混沌系統的奇怪吸引子是由無數條周期軌道稠密覆蓋構成的,周期軌道是非線性動力系統中除不動點之外最簡單的不變集,它不僅能夠體現出混沌運動的所有特征,而且和系統振蕩的產生與變化密切相關,因此分析復雜系統的動力學行為時獲取周期軌道具有重要意義.本文系統地研究了非擴散洛倫茲系統一定拓撲長度以內的周期軌道,提出一種基于軌道的拓撲結構來建立一維符號動力學的新方法,通過變分法數值計算軌道顯得很穩定.尋找軌道初始化時,兩條軌道片段能夠被用作基本的組成單元,基于整條軌道的結構進行拓撲分類的方式顯得很有效.此外,討論了周期軌道隨著參數變化時的形變情況,為研究軌道的周期演化規律提供了新途徑.本研究可為在其他類似的混沌體系中找到并且系統分類周期軌道提供一種可借鑒的方法.

1 引 言

1963年,洛倫茲[1]在研究大氣熱對流問題時提出了著名的洛倫茲系統.自此以后,越來越多的研究者投身到非線性科學的研究中,這些年來取得了長足的進步.研究者們不僅關注于洛倫茲系統的動力學性質,也對其在混沌控制、混沌同步和保密通信等諸多領域的應用做了大量的研究[2].與此同時,人們也提出了一些關于洛倫茲系統的拓展,例如只含有一個非線性項的勒斯勒系統[3]、四維超混沌洛倫茲系統[4]以及大氣物理中的一類擾動洛倫茲系統[5].目前,已經發現洛倫茲系統、陳系統[6]和呂系統[7]能夠形成統一的洛倫茲混沌族[8].2000年,Schrier和Maas[9]提出了非擴散洛倫茲系統:該系統是洛倫茲模型的簡化,僅由一個參數來決定.自那以來,人們對該系統做了許多研究工作.文獻[10]以李雅普諾夫穩定性理論為基礎,針對非擴散洛倫茲系統,提出了一種三個耦合的恒等系統的全局混沌同步方案.文獻[11,12]介紹了非擴散洛倫茲系統在保密通信領域的應用,該系統可被用作發送器和接收器,并已在計算機仿真和電子實驗電路中得到了驗證.文獻[13,14]研究了分數階非擴散洛倫茲系統的混沌動力學性質及其控制.文獻[15]采用解析的方式研究了非擴散洛倫茲系統的重要軌道,如周期軌道和同宿軌道.文獻[16]提出了利用周期參數擾動的方法來控制非擴散洛倫茲系統的混沌行為,文獻[17]則采用計算機數值模擬和實驗手段,研究了周期參數擾動的非擴散洛倫茲系統動力學行為.

在混沌系統中,當研究長時間的非線性動力學行為時,由于混沌運動和初始條件緊密相關,想要精確預言出物理量的值是行不通的[18].然而,由于動力學運動具有各態歷經行為,原則上能夠算出物理量的平均值.周期軌道理論是分析混沌體系動力學行為的一種強有力工具,軌道展開能夠有效計算動力系統物理量的平均值[19?21].該理論通過將找到的一定拓撲長度以內的所有周期軌道有序排列,進而計算出混沌系統的長期平均值.如果系統是均勻雙曲的,只計算短的周期軌道忽略長的周期軌道也可以得到很好的精度,軌道展開隨著周期軌道長度的增加快速收斂.應用周期軌道理論的關鍵是建立合適的符號動力學[22],否則的話,即便發現了一些軌道,也不知道它們到底存在多少條以及彼此間是如何相關聯的.忽略掉一條短的周期軌道也將對計算精度產生影響.對于非擴散洛倫茲系統,周期軌道理論將會繼續起著重要的作用.目前為止,還沒有相關的研究工作對該系統的周期軌道開展系統的研究.本文提出了一種普適的方法用來系統地計算非擴散洛倫茲系統的周期軌道,基于軌道在相空間的拓撲結構建立合適的符號動力學,借此實現對所有短周期軌道進行分類.

本文首先討論了非擴散洛倫茲系統的動力學性質,計算非線性耗散系統的周期軌道需要采用數值方法;其次,簡要介紹變分法,并采用此方法來計算系統的周期軌道;然后,討論了如何建立一維符號動力學,這在分類一定拓撲長度內的周期軌道時起著關鍵作用;最后,討論了周期軌道隨著參數變化時的演化情況.

2 非擴散洛倫茲系統的動力學

非擴散洛倫茲系統是由3個微分系統構成的,其形式如下:

圖1 時間t=500時非擴散洛倫茲系統的混沌行為(R=1) (a)x-z平面、(b)x-y平面和(c)y-z平面相圖;(d)變量x、(e)變量y和(f)變量z的時間序列圖Fig.1.Chaotic behaviors of the diffusionless Lorenz system at time t=500(R=1):Phase diagrams of(a)x-z plane,(b)x-y plane,and(c)y-z plane;time series diagrams for(d)x variable,(e)y variable,and(f)z variable.

式中R為系統的參數;xz和xy為兩個非線性項.如同洛倫茲系統一樣,非擴散洛倫茲系統進行如(2)式的變換后保持不變:

即系統是關于z軸對稱的.非擴散洛倫茲系統的兩個不動點分別為

系統軌道的演化情況對初始條件的選取非常敏感.圖1展示了當參數R=1時,非擴散洛倫茲系統復雜的演化軌道在不同二維空間上的投影以及不同變量的時間序列圖,選取的初值為[0.9,1.0,?1.0].此時系統的雅可比矩陣為

雅可比矩陣的本征值和不動點給出了此混沌系統更進一步的信息.本征值滿足的特征方程為

由此可得到本征值為

通過本征值可以計算出軌道在不動點附近旋轉的周期大約是T≈|2π/ω(1)|=5.2211.始于不動點附近的一條軌道每旋轉一周遠離及靠近的特征乘子分別為Λ1≈exp(μ(1)T)=2.5143,Λ3≈exp(λ(3)T)=8.5×10?4.系統的奇怪吸引子由無數條稠密覆蓋的周期軌道構成,為了系統地計算出這些不穩定的周期軌道,第3節將會介紹一種用來計算混沌系統周期軌道的強有力方法.

3 變分法計算周期軌道

變分法是一種計算周期軌道的新穎方法[23].這種方法既保留了多點打靶法魯棒性的特點,當搜尋過程已經足夠接近于真實的周期軌道時,同時又具有收斂速度快的特點.變分法的物理思想是:首先要對想要尋找的不穩定周期軌道作出整體拓撲上的一個粗糙的圈猜想,然后應用變分法來驅使初始猜想的圈朝著真實的周期軌道逐漸演化.該方法為了保持魯棒性,不是只猜某一條周期軌道上的若干個點,而是先猜出整條軌道;為了實現數值方法的穩定性,采用牛頓下降法代替牛頓-拉弗森迭代法.

變分法能夠高效地計算低維耗散動力學系統的周期軌道,對于這類系統,相空間的體積在演化過程中不斷收縮,因此存在吸引子.哈密頓系統和高維復雜體系的周期軌道同樣可以利用變分法進行計算.當前,我們面臨著許多大自由度的非線性復雜體系,由于需要使用多個變量來描述大量的自由度,在數值計算時就需要占用大量的計算機內存,而與之相關的龐大計算會使得計算速度變得很慢.即使投入了大量的資源得到一些零散的結果,常常也難以發現其中蘊含的規律,得出富有洞察力的理解.因此對于高維系統甚至流體系統而言,如何有效地簡化變分法,降低計算所需的時間成本,還需要做進一步的研究.

偏微分方程(7)描述了利用變分法計算時,初始圈猜想朝著真實周期軌道的演變過程:

式中v為流矢量,定義了動力系統=v(x);圈的微分=d/ds為矢量,與由s∈[0,2π]參數化的初始猜想圈相切;λ=λ(τ)為用來控制軌道周期的參數,τ為虛擬的演化時間,控制迭代次數;A=?v/?x為速度場的梯度矩陣.

方程(7)所具有的重要特性是,當猜想圈逐漸朝著周期軌道演化時計算得到的成本函數F2[]單調遞減:

每進行一步迭代,圈的切速度方向和動力系統流的速度方向的差別就在減小.當τ→∞時,圈的切速度=λv就和動力系統的流矢量一致,此時圈猜想收斂到動力系統流=v(x)定義的真實周期軌道上.一旦計算出周期軌道,其周期可通過(9)式得出:

此外,既然此時已經找出這條周期軌道,也可以取周期軌道上的一個點作為初始點,直接對動力系統進行積分來計算軌道的周期.

數值計算時,采用有限差分方法來離散化圈猜想.為了保證數值穩定性,可將圈猜想離散成(10)式的形式:

進行數值計算時采用五點法近似:

其中h=2π/N.這里的每個矩陣元代表著一個d×d的矩陣,空白處代表零,其中的兩個2d×2d矩陣

分別位于右上角和左下角,用來滿足周期性的邊界條件.

這樣,(7)式可以寫成以虛擬時間步長δτ作為迭代的離散化形式:

在之前的工作中,我們應用變分法研究了耗散系統以及存在排斥子系統的周期軌道,例如Kuramoto-Sivashinsky系統及其穩態解[25?27],勒斯勒系統[28]以及洛倫茲混沌族[29,30].變分法也可以用來計算保守系統的周期軌道,例如交叉電磁場中的里德伯原子系統[31].顯然這里也可以用變分法來研究非擴散洛倫茲系統的周期軌道.

4 拓撲方式分類非擴散洛倫茲系統的周期軌道

4.1 初始化和符號動力學

本節首先討論如何對非擴散洛倫茲系統所有的短周期軌道進行計算及分類.我們采用變分法計算,參數取R=1.隨后也將討論改變參數R時,周期軌道的演變情況.兩條短的周期軌道可以被用作基本的組成單元,據此成功建立了一維符號動力學,找到了一定拓撲長度內的所有周期軌道.

圖2 變分法找到的非擴散洛倫茲系統最短的周期軌道(R=1) (a)藍線是初始猜想的軌道,紅線是系統中真實的周期軌道;(b)周期軌道01的二維投影,圖中標出了軌道片段相對應的符號序列Fig.2.Shortest periodic orbit of diffusionless Lorenz system found by variational method(R=1):(a)Blue line denotes the loop guess,and red line represents the periodic orbit;(b)two-dimensional projection of periodic orbit 01;the sequences of symbols corresponding to the orbit fragments are also labeled.

應用變分法時,有許多種初始化圈猜想的方法.例如,為了得到非擴散洛倫茲系統的周期軌道,首先對動力系統(1)式進行長時間的數值積分,這可以讓我們對態空間里軌道密集的區域有一定的了解,進而從中摘取出接近周期的軌道.我們選擇那些接近閉合的軌道片段,通過快速傅里葉變換使之平滑,變成波數表示,然后去掉高頻部分,做快速傅里葉逆變換到態空間就得到了一個閉合的初始化圈.通過這種初始化的方式,經過一些嘗試后,可以計算出系統具有簡單拓撲結構的周期軌道.圖2展示了利用變分法找到的一條拓撲結構最簡單的周期軌道.

為了找到非擴散洛倫茲系統一定拓撲長度以內的所有周期軌道,可以借助于符號動力學的序列.對于一維單峰映射,在區間內只有一個極值點,因此可以用兩個符號來建立系統的符號動力學.根據迭代,任何軌道都對應著惟一一段無窮的符號序列,那么周期軌道就可以通過一個周期序列給出.以符號序列標記的周期軌道0,1,001等都是素周期軌道,而0101就不是素周期軌道.長度為2的周期軌道可以由序列010101···來描述,將該軌道標記為01.由于這條軌道的拓撲長度為2,其符號序列用兩個符號來表示.這樣就可以用不同的符號序列來表示不同拓撲長度的周期軌道.

遺憾的是,非擴散洛倫茲系統的回歸映射是比較復雜的,并非一維單峰映射,因此通常的方式很難建立一維符號動力學來系統地計算周期軌道.需要使用更多的符號序列來表示,這帶來了一定的難度.如何在非單峰映射中有效建立符號動力學是開放式的問題.本文提出一種針對非擴散洛倫茲系統建立一維符號動力學的新方式:利用周期軌道的拓撲結構.后文還將介紹到計算此混沌體系周期軌道的另一種初始化方法.

4.2 非擴散洛倫茲系統周期軌道的計算

在系統計算非擴散洛倫茲系統的周期軌道時,初始化過程為:首先對動力系統進行數值積分,然后找到那些接近閉合的軌道片段,并且手動的把它連接成為閉合的圈.即便圈猜想不足夠光滑,變分法也可以把猜想圈逐漸修正成為系統真實的周期軌道.通過觀察計算出短周期軌道的拓撲結構,可以建立一維符號動力學.圖2(b)展示了圖2(a)的軌道在二維平面的投影.我們把在不動點S?附近旋轉的軌道片段記為符號0,把在不動點S+附近旋轉的軌道片段記為符號1.因此,標記圖2(b)所示的軌道為01軌道,其拓撲長度為2,有最短的周期T=10.769012,分別繞著兩邊的不動點旋轉了一周,計算該軌道時取100個點.這兩條軌道片段能夠被用作計算其他復雜軌道的組成單元.應用變分法計算繞著兩個不動點旋轉多圈的復雜周期軌道時,需要更精確的初始猜想,否則很可能尋找失敗.通過對計算出的短周期軌道進行剪切以及黏貼來作為長軌道的猜想圈,對于非擴散洛倫茲系統,這種方法為長軌道的初始圈猜想提供一種系統化的方式.即使手動連接軌道片段使之閉合,變分法也通常會收斂.

表1 非擴散洛倫茲系統拓撲長度5以內的所有周期軌道Table 1.Cycles up to topological length of 5 for diffusionless Lorenz system.

通過這種方式,可以借助于一維符號動力學的符號序列對更長的周期軌道進行初始化.圖3(a)展示了拓撲長度為3的011軌道,它由3個基本的軌道片段構成,即兩條1軌道片段以及一條0軌道片段.圖3(b)展示了一條拓撲長度為4的0001軌道,它繞著左邊的不動點旋轉了三次,而繞著右邊的不動點旋轉了一周.圖3(c)和圖3(d)展示了拓撲長度為5的兩條周期軌道.在一維符號動力學的幫助下,能夠系統地找到一定拓撲長度以內的所有周期軌道:首先基于符號動力學構建初始猜想圈,利用變分法使之朝著真實的周期軌道演化,以此來驗證該符號序列的周期軌道是否存在.

總共找到了12條拓撲長度5以內的周期軌道,表1列出了這些周期軌道的相關信息,即軌道的拓撲長度、符號序列、周期以及周期軌道上一點的坐標x,y,z,不存在的周期軌道用符號“—”表示.利用變分法計算拓撲長度為3和4的周期軌道時我們取了150個點,而計算拓撲長度為5的周期軌道時使用了200個點.計算發現0軌道和1軌道并不存在.從表1可以看到,軌道001和011是互相對稱的,它們有著相同的周期,軌道00011和00111是互相對稱的,而軌道0011則是同自身共軛.上述規律是由系統的z軸對稱性所決定的.

圖3 非擴散洛倫茲系統的四條周期軌道 (R=1,“+”表示兩個不動點S?和S+的位置) (a)011軌道;(b)0001軌道;(c)00011軌道;(d)00101軌道Fig.3.Four periodic orbits of diffusionless Lorenz system for R=1(two fixed points S?and S+are marked with“+”):(a)011 orbit;(b)0001 orbit;(c)00011 orbit;(d)00101 orbit.

4.3 參數變化時周期軌道的演化情況

利用已知軌道的同倫演化也可以方便地進行初始化.如果動力系統和參數值相關,當參數值有小的改變時大多數短的不穩定周期軌道變化很小,所以在某一參數下存在的一個周期軌道,可以被選作附近的新參數值的初始猜想圈.實際應用變分法時,通常只需要少量的迭代計算就可以找到新的周期軌道.

現在研究改變參數R時,周期軌道的演化情況.以01軌道為例,通過不斷增大R值獲取形變后的新軌道.在計算時,前一個R值的周期軌道被用作下一個R值周期軌道的猜想圈,這樣就能夠連續形變01軌道.圖4展示了4個不同R值對應的01軌道及軌道周期的演化情況,可見01軌道的周期隨著R值的增大逐漸減小.從圖4可以看到,R值越小,01軌道越接近于兩邊的兩個不動點S?和S+.當參數R取很小的值時,軌道不再繞著兩個不動點旋轉,因此01軌道將不再存在.我們也利用變分法進行了計算,發現當R<0.5時,01軌道不再收斂.

圖4 01軌道4個不同R值情況下的形變Fig.4.Deformation of cycle 01 with four different R values.

5 結 論

本文利用變分法提出了一種新方式來系統地計算非擴散洛倫茲系統的周期軌道.基于相空間軌道的拓撲結構,兩條基本的軌道能夠被用作初始化圈猜想的組成單元,我們成功地建立了一維符號動力學實現了對所有短周期軌道的分類;并研究了當參數值發生變化時,01軌道的形變情況,獲取了軌道周期隨著參數變化的演化規律.對于非擴散洛倫茲系統,計算得到的這些周期軌道能夠通過周期軌道理論被用來估算動力學量的平均值,對于更長的周期軌道來講,它們僅會對結果起到小的修正.本文為系統地研究洛倫茲混沌族等低維耗散系統的周期軌道提供了一種普適的方法.仍然需要對一些問題進行進一步的研究,例如,為了有效地獲取動力學性質,應該分析系統的連接軌道等其他的不變集合.拓撲的分析方法或許可以為我們系統地分類連接軌道以及分析它們彼此間的關聯提供一種新途徑.另外,系統隨著參數變化時的各種分岔行為也值得將來做進一步的研究.