混凝土內(nèi)部界面過渡區(qū)脫開過程的擴(kuò)展有限元模擬*

房寧志 夏曉舟 章 青

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院 南京 211100)

0 引 言

混凝土微觀結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)[1-2]和數(shù)值模擬[3-4]結(jié)果均表明：混凝土中骨料和水泥砂漿基體之間存在著物理力學(xué)性能截然不同的界面過渡層.界面過渡區(qū)對混凝土材料的宏觀力學(xué)性能及其破壞過程都有很大影響.考慮到界面過渡區(qū)對混凝土宏觀力學(xué)性能的決定性影響，數(shù)值模擬必須在細(xì)觀層面上展示混凝土內(nèi)部骨料界面過渡區(qū)的弱連接行為.最直觀的策略就是在骨料和水泥砂漿之間嵌入黏聚單元(cohesive element)[5]，并賦予黏聚單元的力-分離本構(gòu)行為，以實(shí)現(xiàn)界面過渡區(qū)的黏聚脫開模擬；但嵌入cohesive單元的方法涉及復(fù)雜的網(wǎng)格剖分和嵌入處理.基于擴(kuò)展有限元方法[6]中材料內(nèi)部的物理界面(含裂紋)的演變過程可在固定的有限元網(wǎng)格下實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢，本文在擴(kuò)展有限元法(XFEM)的框架下，引入強(qiáng)間斷的位移擴(kuò)充形函數(shù)以及界面力-界面相對位移的本構(gòu)描述來反映界面過渡區(qū)的傳力和變形特點(diǎn)[7]，建立混凝土試樣的界面過渡區(qū)擴(kuò)展有限元模型，以實(shí)現(xiàn)混凝土試樣在荷載作用下界面過渡區(qū)從粘聚到逐步脫開的全過程仿真.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行平均化處理，估算出混凝土材料的宏觀體積模量和宏觀剪切模量，并進(jìn)一步探究界面過渡區(qū)的力學(xué)行為對混凝土的宏觀力學(xué)特性的影響規(guī)律.

1 混凝土細(xì)觀擴(kuò)展有限元法建模

1.1 單元位移模式

XFEM的核心思想是在傳統(tǒng)有限元法的單元位移模式中引入能夠反映裂紋或材料界面對變形影響的擴(kuò)充項(xiàng)，即

(1)

式中：x為空間坐標(biāo)；u為單元內(nèi)x點(diǎn)的位移；NI為標(biāo)準(zhǔn)形函數(shù)；uI為單元結(jié)點(diǎn)位移；φJ(rèn)為反映不連續(xù)性的擴(kuò)充形函數(shù)；qJ為加強(qiáng)結(jié)點(diǎn)的附加位移.對于混凝土內(nèi)部界面過渡區(qū)，大部分學(xué)者按弱連續(xù)模式定義其擴(kuò)充形函數(shù)[8]為

φJ(rèn)=NJf(x)

(2)

式中：f(x)是水平集函數(shù)，定義為

(3)

圖1 貫穿單元

為此，本文采用強(qiáng)不連續(xù)的位移模式來反映界面過渡區(qū)的相對位移，其擴(kuò)充形函數(shù)定義為

φJ(rèn)=NJH(f(x))

(4)

式中：H(x)為階躍函數(shù)，定義為

(5)

這種強(qiáng)不連續(xù)的位移模式要求界面過渡區(qū)的本構(gòu)模型必須納入到界面力-界面相對位移關(guān)系的框架下進(jìn)行描述.

1.2 界面過渡區(qū)的粘聚脫開行為

當(dāng)界面應(yīng)力達(dá)到界面強(qiáng)度時，界面開始損傷，進(jìn)入界面斷裂能釋放階段，至完全脫開，界面處的應(yīng)力為零.與裂紋不同的是：界面處位移雖然不連續(xù)，但能傳遞力，假定骨料界面力-界面相對位移滿足雙線性關(guān)系，見圖2，引入損傷變量，使雙線性關(guān)系統(tǒng)一成一個表達(dá)形式，即

(6)

(7)

圖2 界面力與界面相對位移之間的關(guān)系

1.3 反映界面過渡區(qū)特性的擴(kuò)展有限元列式

1.3.1控制方程

(8)

圖3 界面問題中的各類邊界條件示意

1.3.2積分弱解形式

試探函數(shù)空間定義為

(9)

測試函數(shù)(權(quán)函數(shù))空間定義為

U0={δu(x)|δu(x)∈C0,δu(x)=0

(10)

代入幾何方程和本構(gòu)方程，則弱解形式可表述為

(11)

式中：D為彈性矩陣.

1.3.3區(qū)域離散化

對式(11)進(jìn)行區(qū)域離散化，即

(12)

式中：Ne為單元總數(shù)目；[u]為骨料界面相對位移.根據(jù)位移模式(1)和式(4)，獲得

[u]=nA(uA-uB)=

nANae(h(d(xA))-h(d(xB)))

(13)

將式(1)和(13)式代入式(12)，獲得

(Nφ)TF)dΩ+

gDcohnAN(h(d(xA))-h(d(xB))aedΓ=0]

(14)

將單元結(jié)點(diǎn)自由度用結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)自由度為

ue=guu,ae=gaa

(15)

式中：gu,ga為選擇矩陣.所以式(14)化為

(16)

令：

所以，離散方程的弱解形式(15)式可寫為

δW=δuT(Kuuu+Kuaa-fext)+

(17)

因?yàn)棣膗、δa是任意的，所以式(17)等價為

(18)

化為矩陣形式：

(19)

由于骨料界面力與界面位移之間的關(guān)系是非線性的，因此上式改為增量形式，即

(20)

1.4 單元積分方案

對于含界面過渡區(qū)的擴(kuò)展有限元單元，由于涉及骨料和水泥砂漿等多種材料，單元積分不能按照高斯積分的策略進(jìn)行，即便是加密高斯積分點(diǎn)[9]，也會引起較大的積分誤差，而必須按材料子域進(jìn)行積分[10-11].本文采用材料子域的三角形子劃分策略，在每個三角形子劃分中按Hammer積分進(jìn)行，見圖4.

圖4 三角形子域積分示意圖

當(dāng)界面過渡區(qū)與網(wǎng)格邊界或網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)靠得很近時，其子劃分可能會導(dǎo)致某些三角形面積過小或形狀過于尖銳，從而降低積分精度，為此，本文采用了網(wǎng)格局部調(diào)整的策略以確保高精度積分，見圖5.

圖5 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)調(diào)整

2 數(shù)值算例

2.1 中心含圓骨料的平板分析

2.1.1可靠性驗(yàn)證

圖6 圓夾雜板單軸拉伸

q=3 MPa時兩種數(shù)值方法得到的豎向應(yīng)變云圖見圖7，由圖7可知，二者分布基本相同，最大豎向應(yīng)變分別為1.38×10-4和1.37×10-4，相差甚微.q=21 MPa時骨料界面過渡區(qū)的法向相對位移見圖8，由圖8可知，骨料的頂部和底部已脫開，二者的法向相對位移也十分接近.驗(yàn)證了本文擴(kuò)展有限元模型的可靠性.

圖7 豎向應(yīng)變分布對比

圖8 圓形骨料界面過渡區(qū)的法向相對位移

2.1.2界面過渡區(qū)的損傷脫開狀態(tài)分析

為追蹤界面過渡區(qū)的損傷脫開過程，對圖6中平板上部逐步施加均布荷載q.取q=6，12和21 MPa時的豎向應(yīng)變云圖，見圖9，由圖9可知，隨著均布荷載的增加，界面過渡區(qū)相對位移逐漸w增大，變形局部化特征愈發(fā)明顯，當(dāng)q達(dá)到21 MPa時，骨料頂部和底部的界面過渡區(qū)出現(xiàn)大范圍的脫開，高應(yīng)變區(qū)集中在骨料周圍.

圖9 應(yīng)變隨荷載變化的演變

在荷載q=21 MPa作用下界面過渡區(qū)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力見圖10，由圖10可知，法向應(yīng)力呈對稱分布，而切向應(yīng)力呈反對稱分布，且頂部大部分應(yīng)力都已釋放，處于完全脫開狀態(tài)，但骨料兩側(cè)處于受壓狀態(tài)，且相互侵入，侵入量見圖8左右兩側(cè)出現(xiàn)的相對位移負(fù)值，界面的初始法向剛度取得越大，侵入量就越小，就越接近實(shí)際情況.

圖10 圓形骨料界面過渡區(qū)的法向和切向應(yīng)力

2.2 混凝土試樣受拉分析及宏觀模量的估算

以二級配混凝土為例，按級配理論在試樣中隨機(jī)分布大、小橢圓骨料，骨料體積分?jǐn)?shù)為31%.上部均布荷載q逐步施加到15 MPa時獲得混凝土試樣的豎向應(yīng)變云圖見圖11，由圖11可知，大骨料的界面脫開位移大于小骨料的界面脫開位移，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同.

圖11 二級配混凝土網(wǎng)格模型與豎向應(yīng)變云圖

為進(jìn)一步分析界面過渡區(qū)性質(zhì)對混凝土宏觀力學(xué)性能的影響，提取數(shù)值計(jì)算結(jié)果，在應(yīng)變能等效的原則下，估算出混凝土宏觀的體積模量和剪切模量，見表1～2.

表1 混凝土細(xì)觀各組份的體積模量和剪切模量

表2 隨荷載變化模量變化(界面剛度=10×104 MPa/mm)

由表2可知，當(dāng)荷載達(dá)到3 MPa時，界面進(jìn)入應(yīng)力釋放狀態(tài)，此后，隨著荷載的增加混凝土的宏觀體積模量K和宏觀剪切模量G而減小，當(dāng)荷載達(dá)到20 MPa之后，宏觀體積模量K與宏觀剪切模量G減小更為明顯，體現(xiàn)了界面過渡區(qū)對混凝土宏觀力學(xué)性能的削弱效應(yīng).

表3為界面初始剛度對混凝土宏觀有效模量的影響，由圖3可知，混凝土宏觀體積模量K和剪切模量G隨初始界面剛度的增加而增大.當(dāng)初始界面剛度超過5×107MPa/mm時宏觀模量增加不明顯.

表3 混凝土宏觀模量隨界面剛度的變化規(guī)律

3 結(jié) 論

1) 建立的混凝土細(xì)觀擴(kuò)展有限元模型由于采用了力-分離的本構(gòu)描述模式來反映界面過渡區(qū)的力學(xué)特性，使得強(qiáng)不連續(xù)的位移模式能夠把界面粘聚、損傷和完全脫開三種狀態(tài)統(tǒng)一起來，無需進(jìn)行弱不連續(xù)到強(qiáng)不連續(xù)的切換，就能在擴(kuò)展有限元框架下實(shí)現(xiàn)界面過渡區(qū)從粘聚到脫開的全過程仿真.

2) 擴(kuò)展有限元的最大優(yōu)勢就是求解域中的物理邊界(如界面過渡區(qū)、裂紋)始終獨(dú)立于有限元網(wǎng)格，這使得有限元網(wǎng)格劃分變得簡單而規(guī)整，且單元精度要高于三角形或四面體單元精度.網(wǎng)格劃分的優(yōu)勢雖然對二維細(xì)觀模擬不是很明顯，但對三維細(xì)觀模擬將展示其巨大的潛力.

3) 對混凝土宏觀體積模量和剪切模量隨界面過渡區(qū)的初始剛度增大而增大，當(dāng)初始界面表剛度超過5×107MPa/mm時，無論是初始粘聚還是后期損傷或脫開狀態(tài)，宏觀模量的增大都不是很明顯.實(shí)際上，界面過渡區(qū)處于粘聚狀態(tài)時是沒有相對位移的，當(dāng)初始界面剛度取得越大，粘聚狀態(tài)的相對位移就越小，取到無窮大時，粘聚相對位移為零，消除了粘聚狀態(tài)的誤差，但另一方面又加劇了線性方程組的病態(tài)性，導(dǎo)致求解的收斂速度變慢.