常見幾何體的表面展開圖

◎王長穎

（作者單位：南京市第一中學(xué)江北新區(qū)學(xué)校）

研究立體圖形的時(shí)候，我們可以通過研究平面圖形（如三視圖）的性質(zhì)來研究幾何體的性質(zhì).幾何體轉(zhuǎn)化為平面圖形還有一種方法，那就是將幾何體的表面展開，得到平面圖形.我們可以通過研究立體圖形的表面展開圖來研究立體圖形的性質(zhì)，但并不是所有幾何體的表面都可以展開成平面，如球的表面就不能展開成平面.這里我們列舉幾種常見立體圖形的表面展開圖供同學(xué)們學(xué)習(xí).

一、常見幾何體的展開圖

1.圓柱的表面展開圖.

圓柱的表面展開圖由兩個(gè)大小完全一樣的圓（底面）和一個(gè)長方形（側(cè)面）組成，如圖1.

圖1

友情提醒：圓柱展開圖得到的兩個(gè)圓的周長和長方形的一邊長相等，長方形的另一邊的長等于原來圓柱的高.

2.圓臺(tái)的表面展開圖.

圓臺(tái)的表面展開圖由大小不同的兩個(gè)圓（底面）和扇形的一部分（側(cè)面）組成，如圖2.

圖2

友情提醒：展開后的兩個(gè)圓的周長分別等于兩段弧的長度.

3.圓錐的表面展開圖.

圓錐的表面展開圖由一個(gè)圓（底面）和一個(gè)扇形（側(cè)面）組成，如圖3.

圖3

4.棱錐的表面展開圖.

棱錐的表面展開圖由一個(gè)多邊形（底面）和幾個(gè)三角形（側(cè)面）組成.三棱錐的表面展開圖如圖4，四棱錐的表面展開圖如圖5.

圖4

圖5

5.棱柱的表面展開圖.

直棱柱的表面展開圖由兩個(gè)完全相同的多邊形（底面）和幾個(gè)長方形（側(cè)面）組成.

直三棱柱的表面展開圖由兩個(gè)大小一樣的三角形和三個(gè)長方形組成，如圖6.

圖6

圖7

直四棱柱的表面展開圖由兩個(gè)完全一樣的四邊形和四個(gè)長方形組成，如圖7.

二、幾何體展開圖

1.正三棱錐的兩種展開圖之間的關(guān)系.

不同幾何體的表面展開圖不相同，同一個(gè)幾何體不同展開方式得到的平面圖形也有所不同，但組成這些圖形的基本圖形往往又是一致的.

例如：將圖8的正三棱錐沿AB、AC、AD三條棱剪開，得到的平面展開圖為圖9，若沿著AB、BC、AD三條棱剪開，得到的平面展開圖為圖10.

圖8

圖9

圖10

上述兩個(gè)三棱錐的表面展開圖，雖然形狀不同，但組成元素都是三角形.由此我們可以猜測由四個(gè)三角形組成的幾何體的展開圖可能是三棱錐.

無論是哪種形式的展開圖，只要能將其圍成一個(gè)立體圖形，它就是該立體圖形的平面展開圖.

2.正方體的十一種展開圖.

正方體的展開圖詳見本期第50頁文章《借用口訣識(shí)記正方體展開圖》.