“數形結合”巧解二次函數問題

一、原題呈現

蘇科版《數學》九年級下冊第25頁例題：

不畫圖像，判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點.

【解析】此題考查的是對二次函數的圖像與x軸公共點的認識情況，涉及由函數模型到方程模型的轉化.要想判斷二次函數y=ax2+bx+c的圖像和x軸的公共點個數，只需將這個二次函數先轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0，再根據一元二次方程的根的情況來判斷即可：（1）b2-4ac＞0，一元二次方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個公共點；（2）b2-4ac=0，一元二次方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有一個公共點；（3）b2-4ac＜0，一元二次方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有公共點.此題答案是：沒有公共點.

那么除了采用“根的判別式”法判斷之外，有時解方程是更加直接的方法.我們再看本頁練習的第一小題：

不畫圖像，判斷二次函數y=x2-x的圖像與x軸的公共點的個數.

解法一：∵一元二次方程x2-x=0的根的判別式b2-4ac=（-1）2-4×1×0＞0，

∴方程x2-x=0有兩個不相等的實數根.

∴二次函數y=x2-x的圖像與x軸有兩個公共點.

解法二：∵一元二次方程x2-x=0的根為x1=1，x2=0，

∴二次函數y=x2-x的圖像與x軸有兩個公共點.

【總結】x軸其實可以看作是直線y=0，所以要想判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點，其實也就是判斷拋物線y=-x2+5x-8和直線y=0是否有公共點，也就是的解的情況，于是得到方程-x2+5x-8=0.從解析式入手，借助方程組倒是一個可以解決二次函數的圖像和直線（一次函數）的公共點問題的通法.

二、變化延伸

教材上的例題是專家們精心琢磨的數學范例，它就像一粒種子，蘊藏著巨大的能量.近幾年來，二次函數的圖像與x軸的公共點個數問題成為中考的熱點.而將參數引入二次函數，二次函數的圖像與坐標軸、直線、線段等的公共點問題是這個例題最常見的生長方向.

延伸1

例1 已知二次函數y=kx2-2x-1的圖像與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為_____.

例2 若二次函數y=x2+mx+4的圖像如圖所示，則m的值為 .

【解析】考題中經常將二次函數的圖像和x軸的公共點個數作為條件，通過文字或者圖像等方式給出，要求求出參數的值或者范圍.

在第一題中，由二次函數的圖像與x軸有兩個交點，聯想到一元二次方程有兩個不相等的實數根，從而列出不等式b2-4ac＞0，解出k的范圍，另外，要注意二次項系數不可以為0；觀察第二題的圖像，不難發現拋物線與x軸只有一個公共點，可根據b2-4ac=0，計算出m的值，需要注意的是，此題還需要考慮二次函數圖像的隱藏條件：對稱軸在y軸的左側.此題在考查知識的同時，還滲透著數形結合的數學思想.

解：1.∵二次函數y=kx2-2x-1的圖像與x軸有兩個交點，

∴一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數根，

∴b2-4ac＞0，

∴（-2）2-4·k·（-1）＞0，

∴k＞-1，

又∵k≠0，

∴k＞-1且k≠0.

∴m=4.延伸2例3 已知二次函數y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數）.

（1）求證：不論m取何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.

（2）當m取何值時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

【解析】考題中經常出現含參的二次函數，并要求判斷該函數的圖像與x軸的公共點情況.這道題給出的二次函數的形式很特別，所以我們在解決問題時，既可以像往常一樣，化成一般形式，從總有公共點聯想到一元二次方程總有實數根，從而借助根的判別式進行判斷.需要注意的是，在配方時，二次項的系數不可以直接去掉.當然，我們也可以將該二次函數轉化成方程形式2（x-1）（x-m-3）=0，直接解出兩個根，以根的具體形式進行討論.

第二題主要考查了對二次函數的圖像與y軸交點的認識情況，難度不大，但方法很多，既可以根據與y軸交點的橫坐標特征為0，求出交點縱坐標來研究，也可以借助圖像來判斷m+3與0和1的大小關系，或者根據對稱軸的位置求出m的范圍，滲透著數形結合、分類討論等數學思想.

證明：（1）方法一：令y=0，得2（x-1）（x-m-3）=0，

整理得：2x2-2（m+4）x+2m+6=0，

∵b2-4ac=［-2（m+4）］2-4×2（2m+6）=4m2+16m+16=4（m2+4m+4）=4（m+2）2≥ 0，

2.∵二次函數y=x2+mx+4的圖像與x軸只有一個公共點，

∴一元二次方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數根，

∴b2-4ac=0，

∴m2-4×1×4=0，

∴m=4或-4，

∵對稱軸在y軸左側，

∴不論m取何值，該方程總有實數根，

∴不論m取何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.

方法二：令y=0，得2（x-1）（x-m-3）=0，

解這個方程得，x1=1，x2=m+3，

∴不論m取何值，該方程總有實數根，

∴不論m取何值，該函數的圖像與x軸總有公共點.

解：（2）解法一：當x=0時，y=2m+6，

∴由2m+6＞0，得m＞-3，

∴m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方.

解法二：2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

若m+3＜0，如下圖，不符合題意，∴舍去.

若m+3=0，如下圖，不符合題意，∴舍去.

若0＜m+3＜1，如下圖，符合題意，∴-3＜m＜-2.

若m+3=1，如下圖，符合題意，∴m=-2.

若m+3＞1，如下圖，符合題意，∴m＞-2.

綜上，m＞-3.

∴m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方.

解法三：2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

∴該函數的對稱軸是直線x=2+0.5m，

∵函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方，

∴2+0.5m＞0.5，

∴m＞-3，

∴m＞-3時，該函數的圖像與y軸的交點在x軸的上方.

延伸3

例4 若函數y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點，則b的取值范圍是（ ）.

A.b＜1且b≠0 B.b＞1

C.0＜b＜1 D.b＜1

【解析】根據二次函數的圖像特征，它與y軸必有一個公共點.而題中y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點，也就意味著該函數圖像與x軸有兩個公共點，接下來可以根據二次函數所對應的一元二次方程的根的判別式Δ＞0列出不等式，求出b的范圍.但是，需要注意的是，當b=0時，拋物線與x軸的交點和與y軸的交點在原點處重合，不符合題中與坐標軸有3個交點的條件，故需舍去.

解：∵函數y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點，

∴函數y=x2-2x+b的圖像與x軸有兩個交點，

∴一元二次方程x2-2x+b=0有兩個不相等的實數根，

∴Δ＞0，

∴（-2）2-4×1·b＞0，

∴b＜1.

∵函數y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點，當b=0時，拋物線與x軸的交點和與y軸的交點在原點處重合，

∴b＜1且b≠0.

故選A.

延伸4

例5 在平面直角坐標系中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

（1）求點C的坐標.

（2）求拋物線的對稱軸.

（3）若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結合函數圖像，求a的取值范圍.

【解析】（1）（2）略.在第三題中，由于線段BC是有范圍的，且與拋物線只有一個公共點，所以通過函數圖像找出不等關系，運用數形結合思想，分類討論，即可求出a的取值范圍.

解：（1）∵A（-1，0），B（0，4），∴C（5，4）.

（3）∵拋物線始終經過點A（-1，0），且對稱軸為直線x=1，由拋物線對稱性，可知拋物線一定經過點A關于對稱軸的對稱點（3，0）.

∴只需對a進行分類討論即可.

①當a＞0時，如下圖，

把x=0代入拋物線解析式得y=-3a，把x=5代入拋物線解析式得y=12a.

③當拋物線頂點在線段BC上時，頂點為（1，4），如下圖，

把點（1，4）代入拋物線解析式，得a=-1.

總之，要解決二次函數的圖像公共點問題，我們只需抓住方程、不等式、函數之間的聯系，關注二次函數的“式結構”和“形結構”，留意題中的隱含條件，就可以做到一通百通.