解 析二次函數(shù)中的常見錯誤

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.有些同學由于概念不清、方法不明，經(jīng)常在解決二次函數(shù)相關(guān)問題時出錯.現(xiàn)對二次函數(shù)的典型易錯題進行舉例并剖析，以供同學們學習時參考.

一、忽略二次項系數(shù)不為0

例1 若y=（m2+m）x||m-1+（m-3）x+m2是二次函數(shù)，則m的值為_______.

【錯解】令 ||m-1=2，解得m1=-1，m2=3.

【剖析】本題考查二次函數(shù)的定義.錯因是對概念理解不透徹，忽略了二次項系數(shù)a≠0.

【正解】由 ||m-1=2，得m1=-1，m2=3.又∵m2+m≠0，即m≠0且m≠-1.

∴應(yīng)取m=3.

【點評】y=ax2+bx+c是二次函數(shù)的一般形式，必須滿足二次項系數(shù)不等于0.同學們解題時，不能看到“二次”就只顧“指數(shù)”，實際上，還需考慮a≠0，這樣就符合我們對二次函數(shù)的一般定義.同學們在平時對二次函數(shù)等概念學習時，不僅要“看樣子”，還要“講條件”.

二、圖像平移變換錯誤

例2 把拋物線y=2x2-4x+3向左平移1個單位長度，得到的拋物線的解析式為_____.

【錯解1】y=2（x-1）2-4x+3.

【錯解2】y=2x2-4x+4.

【錯解3】將y=2x2-4x+3化為頂點式，得y=2（x-1）2+1，向左平移1個單位長度，得y=2（x-1-1）2+1=2（x-2）2+1.

【剖析】本題考查二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律.將二次函數(shù)化為頂點式，按照“左加右減，上加下減”即可，也可利用數(shù)形結(jié)合求解.錯解1只考慮了二次項變化，忽略一次項；錯解2表示的是向上平移1個單位長度；錯解3將規(guī)律記成“左減右加”，導致錯誤.

【正解】將y=2x2-4x+3化為頂點式，得到y(tǒng)=2（x-1）2+1，向左平移1個單位長度，得y=2（x+1-1）2+1=2x2+1.

【點評】拋物線的平移不改變形狀，只改變圖像的位置.同學們可以借助畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，也可記住平移規(guī)律，確定頂點坐標，按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進行平移，即可得到正確答案.

三、忽視分類討論

例3 在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A，將點B向右平移5個單位長度，得到點C（5，4）.若拋物線與線段BC恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍.

【錯解】因為A（-1，0），拋物線過點A，所以b=-2a.當拋物線過點C時，25a-10a-3a=4，解.根據(jù)a的值越大，拋物線開口越大，得

【剖析】本題考查拋物線與直線（線段、射線）的交點問題.題目中拋物線函數(shù)的二次項系數(shù)a的正負性未知，需分類討論.由于本題拋物線表達式不確定，需特別注意，當a為負數(shù)時，拋物線頂點在線段BC上的情況.

同時，不能厘清a的大小和拋物線開口大小的關(guān)系，也是同學們經(jīng)常會犯的錯誤.我們知道，二次項系數(shù)與拋物線開口大小關(guān)系應(yīng)是：a的絕對值越大，拋物線開口越小.

【正解】因為A（-1，0），拋物線過點A，所以b=-2a，拋物線對稱軸為x=1.①a＞0，當拋物線過點C時，25a-10a-3a=4，解得a=.根據(jù)a的絕對值越大，開口越小，得a≥

③a＜0，當拋物線頂點在BC上時，此時頂點為（1，4），∴a-2a-3a=4，解得a=-1.

【點評】解決拋物線交點問題，常常需要分類討論，常見的是對二次項系數(shù)a的分類.同學們應(yīng)細心關(guān)注題目中的隱藏線索，并牢記拋物線二次項系數(shù)a與圖像開口大小的關(guān)系：a的絕對值越大，圖像開口越小.

四、忽視實際意義

例4 如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.求矩形菜園ABCD面積的最大值.

【錯解】設(shè)AD=x米，∴SABCD=x（100-x）=-（x-50）2+1250，則x=50時，SABCD的最大值為1250.

【剖析】本題考查二次函數(shù)最值問題.同學們解題時習慣性認為二次函數(shù)最值是頂點坐標的縱坐標，未考慮實際問題中自變量的取值范圍.

【點評】二次函數(shù)是刻畫實際問題的一個有效模型，解決此類問題要注意問題對變量的限制.