挑戰“二次函數”之策略方法

2018-12-26 06:13:08楊春霞

初中生世界 2018年47期

關鍵詞：拋物線銷售

楊春霞

二次函數問題是《義務教育數學課程標準》（2011年版）要求掌握的基本問題，是中考的核心考點.那么中考中有哪些常見的考查方式呢？

從知識結構來看，初中學段的主要要求有：會畫二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質；會用配方法將二次函數的表達式化成頂點式，得到二次函數圖像的頂點坐標；能說出圖像開口方向，畫出圖像的對稱軸，并能解決簡單問題等.

從知識背景來看，現實社會中有很多的實際問題屬于二次函數問題.現代社會逐漸傾向于對同學們解決實際問題的能力和綜合素養的培養與考查.因此，應用二次函數模型解決實際問題是中考考查的趨勢所在.

從知識聯系來看，二次函數常常與三角形、四邊形等基本圖形相結合，綜合考查同學們利用數形結合、分類討論、方程建模、轉化等思想方法解決問題的能力.

下面，我們結合具體題目一起看一下在解決二次函數問題中常用的策略與方法.

一、抓住本質找聯系，數形結合不可少

例1在平面直角坐標系xOy中，已知

（1）若拋物線經過點（1，k2），求k的值.

（2）若拋物線經過點（2k，y1）和點（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范圍.

（3）若將拋物線向右平移1個單位長度得到新拋物線，當1≤x≤2時，新拋物線對應

【分析】（1）把點（1，k2）代入拋物線函數中，得到關于k的方程

（2）方法一：可以直接把點（2k，y1）和點（2，y2）分別代入拋物線表達式，得到y1=

再根據y1＞y2這個不等關系，得到關于k的不等式：

解這個不等式得k＞1.

方法二：也可根據二次函數的圖像分類解決問題.由函數表達式的式結構，可以得到圖像的形結構為開口向上，對稱軸為直線x=k-1，接下來由y1＞y2，可以得到兩種情況：

分別解上述兩個不等式組，也可求得k＞1.

（3）考查函數圖像的平移變換，根據“左加右減”，得到新的函數表達式為y=（x-也可先進行配方，得到頂點式y=［x-（k-1）］2再向右平移一個單位得到新的函.因此新拋物線的分1≤k≤2，k＞2以及k＜1三種情況討論.

【點評】函數圖像既可以通過點的坐標確定，又可以通過圖形變換得到，需要同學們抓住變換的本質——點變換，從而以不變應萬變.（2）（3）兩問都需要結合函數圖像進行分類討論，將問題轉化為不等式或方程問題.顯然，數形結合仍然是解決函數問題的有效工具.

二、函數模型架橋梁，理解題意是關鍵

例2 某鄉鎮實施產業扶貧，幫助貧困戶承包了荒山，種植某品種蜜柚.到了收獲季節，已知該蜜柚的成本價為8元/千克，投入市場銷售時，調查市場行情，發現該蜜柚銷售不會虧本，且每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數關系如圖1所示.

圖1

（1）求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

（2）當該品種蜜柚定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）某農戶今年共采摘蜜柚4800千克，該品種蜜柚的保質期為40天，根據（2）中獲得最大利潤的方式銷售，能否銷售完這批蜜柚？請說明理由.

【分析】（1）由函數圖像可知，銷售量y與銷售單價x之間滿足一次函數關系，因此可以利用待定系數法解決.設函數表達式為y=kx+b，代入兩點坐標（10，200）和（15，150），即可求得函數表達式為y=-10x+300，由于-10x+300≥0，所以x≤30，故x的取值范圍為8≤x≤30.

（2）要求利潤最大值，可以建立函數模型來解決.設利潤為W，根據題意，得W=（x-8）（-10x+300）=-10（x-19）2+1210，再根據二次函數的圖像與性質求出最大值，即當x=19時，利潤最大值為1210元.

（3）由（2）可知，當x=19即銷售單價為19元時，獲得最大利潤，此時每天銷售量為y=-10x+300=-10×19+300=110，110×40=4400＜4800，故不能銷售完這批蜜柚.

【點評】該實際問題利用了一次函數和二次函數模型進行解決，函數模型架起了一座從實際問題到數學問題的橋梁.其中，二次函數模型是求解實際生活中最值問題的常用的有效工具.一般解決步驟為：先根據題意建立兩個變量，找到實際問題中的等量關系并求出函數表達式；再利用配方或公式法求出頂點，從而求出函數最值；最后結合實際情況進行檢驗，確定實際問題的最值.