《曲面積分》的教學方法探索

摘 要：本文首先分析傳統的曲面積分教學方法存在的三個弱點：學生學習主動性差、知識結構混亂和不能解決實際問題，然后提出按照“問題—數學模型—計算—應用”組織教學內容，從“示范、模仿、討論與練習、總結、應用探究”五個方面完成以課堂討論為主的教學方法。多次教學實踐結果表明該教學辦法能夠提高學生自主學習的能力、計算能力和解決應用問題的能力，從而提升教學效果。

關鍵詞：曲面積分 討論式學習 數學模型

一、存在的問題分析

曲面積分是高等數學的重點和難點，在通行的教材[1]中將它分解到對面積的曲面積分、對坐標的曲面積分和高斯公式（含通量與散度）三節中，教師講課時，基本上采用老師臺上講、學習課上（后）練的教學方法，勤奮的同學能夠學會解特定類型的數學計算問題，很多同學一團糟，即使考試通過也不會用，達不到學以致用的目的。

通過與學生和專業課教師交流和分析試卷后，我們發現以下問題：（1）學生不是課堂的主角，學習主動性很差；（2）老師講得太快，學生跟不上教師的節奏，從而放棄；（3）會算某些題，但遇到應用問題就束手無策；（4）解題思路混亂，計算中錯誤百出。

分析這些問題，我們發現按照教程常規教學中的一些弱點：（1）學生不能主動融入課堂教學過程，課堂學習效果有折扣；（2）學生沒能有效地形成知識的組織結構，故會解題思路混亂；（3）講授背景知識來源單一或對后續課程了解較少或不知如何應用，只在高等數學的圓圈里轉，因此學生也就不會應用。針對這些問題，經過幾年的教學探索與實踐，認為可以引入以討論式學習為主的教學方法和數學建模內容，可以部分避免這些弱點，提升教學效果。

二、教學方法與實踐過程

（一）依照教學目標，重新設計教學過程

曲面積分的教學目標是希望學生學習完成后不僅能夠計算書后的題目，還能從實際問題中建立曲面積分模型，然后利用曲面積分的計算方法得到結果。因此，我們將教材[1]中的三節內容作為一個整體來進行教學設計，沿著“問題—數學模型—計算—應用”四個部分的進行內容組織，按照“示范、模仿、討論與練習、總結、應用探究”五個方面完成教與學，并以課堂討論與總結為主要形式。

示范：教師主講，學生主學。教師利用元素法建立2-3個曲面積分模型，同時強調兩類曲面積分之間的區別與聯系，學生主學。

模仿：學生動口動手動腦，教師指導。學生課堂討論并模仿老師的步驟建立2-3個曲面積分模型，并小結建模過程及關鍵點。

討論與練習：學生為主，教師引導。在教師引導下，學生由簡到繁、由特殊到一般的次序討論曲面積分的計算問題，動手實際完成計算過程，并小結計算步驟和注意細節。

總結：教師與學生共同參與，學生為主，教師補充。先由學生在課堂上總結模型建立和求解的方法與步驟，教師補充完善，尤其注意計算方法的總結要細致、指導性強。

應用探究：依照“問題-模型-求解”的流程，學生分組完成1-2個課外研究題目，并提交電子文檔；此階段學生為主完成，教師指導和監控進度。

（二）組織課堂討論，促使學生主動學習

課堂討論分為模型建立和模型求解即曲面積分的計算兩個階段。建模的題目可以涉及多個方面，如不規則曲面的壓力計算問題，球面的面積，圓環的表面積問題，具有特殊電荷分布的電場強度，通過某個曲面的光通量，通過水閘口的水流量等等，總之，通過對這些問題的討論，學生能夠模仿教師的示例建立曲面積分模型。在模型建立的時候不要直接選擇直角坐標系，而是讓學生根據具體問題來進行選擇。

曲面積分的計算是重點討論內容，需要時間較多，要求每個學生都參與其中。具體過程：（1）教師不要直接要求學生去解決一個題目，而是引導學生分析所得的模型，全面了解曲面積分計算涉及的多個影響因素：被積函數、曲面及其方程、面積元素以及坐標系；（2）教師引導學生討論并確定平面、圓柱面、圓錐面、球面、旋轉拋物面和一般曲面在不同坐標系下的標準方程、法向量和面積元素表達式，建立起計算曲面積分的基本量及其相互的影響，并考慮被積函數的影響；（3）對教師給出的精選的例題進行實際計算，強化通過討論獲得的知識。整個討論過程，教師要適當引導但又不能操之過急，在學生討論情緒高漲時不要打斷它們，只需要提醒它們別偏離方向太遠就行。

通過積極的課堂討論，可以促使學生主動學習，形成曲面積分的自己獨特的知識結構。

（三）注重總結，完善學生的知識結構

總結有利于形成知識結構，是數學知識內化為學生的能力的重要步驟。學生必須參與知識、方法和步驟的總結過程，以完善學生的知識結構。總結可在完成相關內容的課堂討論以及每完成一部分教學內容（如建模、計算）后進行。先由學生進行簡短的總結，然后由教師要對他們的總結進行點評、提升和完善，因此總結是多方面、多階段完成的。

（四）增加課外探究題目，提升學生綜合能力

為了鞏固課堂學習效果，提升學生綜合能力，除了必備的計算題目外，我們還增加了多個課外探究題目，如利用曲面積分證明阿基米德浮力定律，利用曲面積分計算的電場強度、空間立體角等實際應用性較強的題目，也有游泳圈的表面積、球面上多邊形的面積計算等數學味道的應用題。對這些題目，讓學生分組討論完成，并提交電子文檔，提升學生的綜合應用數學知識的能力以及人際交流能力和計算機能力。

三、教學效果

與傳統教學方法比較，學生通過本文的教學過程的收獲更多：“更深刻地理解了dS、dxdy、dydz、dzdx之間的關系，更深入地體會如何根據曲面選擇合適的坐標系計算曲面積分”，“通過探究題目，對高斯公式有了更深層次的理解”，“對曲面積分的應用有了深刻了解，學會了用曲面積分知識去處理一些應用問題”等；同時，學生在期末考試中曲面積分的題目的平均得分率也提升了近20%。因此，實行這種教學方法整體上是有一定效果的。

四、問題與思考

教學實踐中也遇到一些問題：（1）由于增加了不少課堂討論和探究內容，占用學時數會增加；（2）合適的探究題目的選擇難度較大，不易把控；（3）由于傳統考試中不能考察學生的建模與應用能力，只能增加平時成績的比例；（4）課堂討論需要學生先期預習或者自學相關內容，有少部分學生辦不到，會降低他們課堂討論效果；（5）大多數同學容易接受該教學方法，但有少量學生確實不適應，它們在期末考試中成績極低，如何兼顧這少量的學生需要更有效的辦法。

針對教學實踐中出現的這些問題，我認為可以在教材編寫、學習效果考核、學生選課前的指導方面進行改變，可能會部分消除這些問題。

參考文獻

[1]同濟大學數學系編.高等數學第七版下冊[M].高等教育出版社，2014：7.

作者簡介

張興元（1971.04—），男，漢族，籍貫：重慶忠縣，碩士，副教授，現就職于西南交通大學數學學院（峨眉），研究方向：數學建模與數學教學。