幾何畫板在培養高中學生數形結合思想中的應用

齊旭東

摘 要：幾何畫板軟件有著簡單易學，動態演示，互動反饋集一身的優秀品質，特別是幾何畫板輔助教學的數形結合特點，如果能借助幾何畫板，培養高中學生的數形結合思想，這將有利于貫徹高中數學課程標準，有助于解決目前教學困境。本文通過探討幾何畫板與高中數學內容的融合，幾何畫板與數學課堂教學模式的整合，從而轉變數學教學方式和評價標準，改變學生學習數學的困境，最終達到培養高中學生的數形結合思想的目的。

關鍵詞：高中數學課程 幾何畫板 數形結合思想

建構主義學習理論認為，學生是課堂的主體、真正意義上的主動建構者，而非被動接受者和被灌輸的對象。換句話說，建構主義倡導者布魯納認為學習就是通過學生的自主探索，開展信息加工活動，自己主動形成知識結構的過程。而幾何畫板既能以“畫板”的角色，構造各種幾何圖形，展現數學圖形之美，發現事物內在之規律，又能提供度量運算功能，解決數學中代數統計問題。這樣幾何畫板與數學內容的融合，學生可以利用幾何畫板的強大功能，自主探究，形成對客觀事物的認識和解決實際問題的方案，作出的新“發現”，獲得新的“領悟”，從而達到培養學生的數形結合思想的目的。

一、在代數教與學中，利用幾何畫板培養學生的數形結合思想

函數是高中代數學習的重點，可以說函數思想滲透在數學學習的每一個領域，而數形結合思想在函數的教學學習中體現的淋漓盡致。在有關函數的傳統教學中多以教師手工在黑板上或紙上畫圖，但手工畫圖有不精確、速度慢的不足，利用幾何畫板快速作出圖像，并可保持設定的幾何關系，以繪圖，軌跡，追蹤及顯示等功能可以避免上述現象的發生，大大提高課堂效率，培養學生的數形結合思想。比如在函數奇偶性教學中，我們利用幾何畫板作出幾個特殊函數的圖象，學生觀察圖象，對函數奇偶性有個感性的認識，然后制作有關圖像上點坐標的表格，探究點的坐標滿足的數量變化規律。還可以啟用幾何畫板的運算功能，驗證發現的數量規律。利用幾何畫板工具創設如下的教學情境，會使數與形的結合表現得更加自然。

二、在空間立體幾何的教與學中，利用幾何畫板培養學生的數形結合思想

學習立體幾何必須具備空間想象能力，也就是從平面二維空間向立體三維空間的思維發展過程，這對初學者來說是一個難題。由于幾何畫板畫出的圖形，某些元素可以適當移動，但還保持設定的關系，一個“活”的立體圖形展現在眼前，可以幫助初學者較快掌握這種能力。

例如，在講解旋轉體圓柱、圓錐、圓臺的概念時，不妨利用幾何畫板的旋轉功能，制作平面圖形矩形繞一邊旋轉一周、直角三角形繞一直角邊旋轉一周、直角梯形繞直角腰旋轉一周，形成空間封閉幾何體，然后利用幾何畫板動態演示功能，發現平面圖形與幾何體的關系，為后續研究幾何體打下基礎。這樣使學生在圖形的變化中形象的認識幾何體，學習新概念，極大的提高學生學習的主動性，積極性。

三、在概率統計的教與學中，利用幾何畫板培養學生的數形結合思想

從確定性關系的學習研究，延伸到不確定性學習研究中，學生需要有思維轉變，也要有學習方法的改變。在概率統計教學中，大綱要求學生具備這種不確定性的數學思維，通過不確定性問題研究，找到確定性關系，從而解決當前問題。傳統教學工具缺少對大量有效數據進行篩選、統計、分析、歸納、擬合、驗證。而幾何畫板正好有相關數據處理功能，學生在幾何畫板課件的幫助下就能更好地促進理解這些概念，無形中滲透了數形結合思想。

課本出示學生非常熟悉的擲硬幣的實例，學生可以分組動手實驗，并隨時記錄結果，教師引導學生體會隨機事件發生的隨機性和發生過程中的規律性。實驗要求：首先要求實驗結果的隨機性；其次要求實驗的次數，次數越多，頻率越趨于穩定。但是學生實際操作中，受各種因素的影響，誤差很大，加上時間有限，實驗次數少，得到的數據有偏差，得到的結論往往是理論化的。為了得到更清晰，更有說服力的數據，教師可以制作幾何畫板課件，點擊投擲按鈕，模擬擲硬幣實驗，圖中表格顯示出頻率的變化。這樣的教學設計，學生當堂親自演示，達到大家一直的共識，進而完成教學目標。

四、在解析幾何教與學中，利用幾何畫板培養學生的數形結合思想

17世紀，解析幾何的出現，標志著代數與幾何完美結合，體現了數形結合的重要數學思想。人教版選修2-1中《圓錐曲線與方程》這章內容是解析幾何的重點，要求必須掌握圓錐曲線的基本幾何性質，可見也是高考的必考內容。加之學生學習起來也比較抽象，所以我們可以利用幾何畫板制作課件，調動學生學習圓錐曲線的積極性，很有必要。在介紹本章內容時，首先展示同頂點的兩個圓錐模型，然后從用一個平面去截圓錐面談起。老師可以向學生提問：用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，在兩圓錐表面截得的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？根據模型特點，學生很快回答到：圓。接下來老師又問：改變平面與圓錐軸線的夾角，那么截口曲線又是什么呢？這時候學生相互討論，有的學生在紙上比劃起來，大家的答案不盡相同。最后老師展示課前早已做好的幾何畫板課件，課件中的截面是由三點確定，允許學生拖動其中任何一點做實驗，就可以改變平面的位置，導致截面與圓錐面的交線的變化。

總之，幾何畫板課件與高中數學內容的整合，使得高中數學中復雜的、抽象的、多維的、不確定的問題，以形象直觀，可操作，可演示的，可探究等簡潔的形式呈現出來，幫助學生理解和證明，培養學生的數形結合思想。

參考文獻

[1]陶維林.幾何畫板實用范例教程（第3版）[M].清華大學出版社，2013（9）.

[2]繆亮，盤俊春.幾何畫板5.X課件制作實用教程[M].清華大學出版社，2012（4）.

[3]教育部.基礎教育課程改革綱要（試行）[N].中國教育報，2001（7）.