巧用轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展思維能力

謝秀慧

【摘 要】隨著課程改革的不斷深入與反思，小學數(shù)學教育不僅繼承了注重“雙基”的傳統(tǒng)，而且更重要的是提出了使學生理解和掌握“基本的數(shù)學思想和方法”，獲得“基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”。作為小學數(shù)學教師，要巧用轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展學生思維能力。

【關鍵詞】轉(zhuǎn)化；思想方法；發(fā)展；思維能力

數(shù)學思想方法是人們在建立數(shù)學理論或解決數(shù)學問題時所用到的一些思想方法。可以說數(shù)學思想方法產(chǎn)生數(shù)學知識，而數(shù)學知識又蘊載著數(shù)學思想方法，二者相輔相成，密不可分。正是數(shù)學知識與數(shù)學思想方法的這種辯證統(tǒng)一性，決定了我們在傳授數(shù)學知識的同時必須重視數(shù)學思想方法的教學。

轉(zhuǎn)化思想方法是數(shù)學最基本的思想方法之一，是把待解決的問題從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，使人較易于解決。以下結合自己的教育教學實踐活動淺談對這方面的認識。

一、特殊化轉(zhuǎn)化思想方法

有的數(shù)學問題所要求的結論，在一般情況下不容易推導出來，但在特殊情況下非常容易解決，并且在很多時候，特殊情況對一般情況的解決有奠基或橋梁的作用，因此，把一般問題轉(zhuǎn)化為其特殊問題，常有助于問題的解決。運用特殊化轉(zhuǎn)化思想解決一般性問題的關鍵在于能否找到一個或幾個最佳的特殊問題。

將此例推廣到其它問題的解決，從中讓我們明白：特殊情形相對于一般情形而言比較簡單、直觀和具體，且易于找到解題途徑或思路，發(fā)展學生的思維。因此，特殊化思想是探索一般性問題解題途徑的重要思想之一。

二、一般化轉(zhuǎn)化思想方法

當我們遇到某些特殊問題感到很難解決時，不妨適當放寬條件或改變一些條件的限制，把待處理的特殊問題放在一個更廣泛、更為一般的問題中加以研究，先解決一般情形，再把解決一般情形的技巧、方法或結果應用到特殊問題上，最后獲得特殊問題的解決，這種用來指導解決問題的思想稱之為一般化思想。

例如：一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16把，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60條，那么有幾把椅子和幾條凳子？此類題目老師們很熟悉，有人把它稱為“雞兔同籠”的變型。對此題孩子們感到很難解決，到底是幾把椅子和幾條凳子才同時符合兩個特定條件呢？教學中以常見的“四條腿的椅子、三條腿的凳子”簡單背景為研究素材，轉(zhuǎn)化為一般情況“如果椅子和凳子各8把，腿數(shù)合起來是56條，這樣總腿數(shù)少了，說明四條腿的椅子少了……”通過學生的觀察、猜想、實驗，發(fā)現(xiàn)“每減少一把椅子就要增加一條凳子，腿的總數(shù)就要減少4-3=1。”學生在一般情形下嘗試不斷地歸納出此題的特殊規(guī)律，抽象出數(shù)學模型，并在此基礎上推廣到其他同類問題的研究中。

學生經(jīng)歷了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動，得出數(shù)學結論。經(jīng)歷了數(shù)學化的學習過程，體會并感悟到從特殊到一般的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，為后續(xù)學習數(shù)學做好充分的準備。

三、變換轉(zhuǎn)化思想方法

人們在解決問題時，對未解決的問題進行一系列變換，將它逐步轉(zhuǎn)化為已知的問題，達到化繁為簡、化難為易的目的，這種用來指導解題的思想就是變換轉(zhuǎn)化思想。利用變換轉(zhuǎn)化思想解題的關鍵有兩個：一個是“變什么”，即確定變換的對象；另一個是“怎樣變”，即確定采用什么樣的變換。

在教學求圓柱體的表面積時，學生要先明白圓柱的表面積包括兩個底面積和一個側(cè)面積。兩個底面積就是兩個圓的面積。而側(cè)面積是一個曲面，通過學生的思考與實踐，把圓柱的側(cè)面展開后就是一個長方形，把求曲面的面積轉(zhuǎn)化為已學過的長方形的面積，達到了化繁為簡、化難為易的目的，發(fā)展學生的思維能力，這就是變換轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)點。

四、對應轉(zhuǎn)化思想方法

對應思想是人類最早期、最容易掌握的一種思維方式。早期我們的祖先就是用一一對應來判斷物品的數(shù)量和多少。發(fā)展到今天人們利用對應思想來解決各種問題，因此，對應思想不僅是一種重要的數(shù)學思想，而且是人類最早掌握、最普遍使用的一種思想方法。

例如：有36人參加象棋淘汰比賽，兩人一組，勝者進入下一輪比賽，敗者直接淘汰，如果遇到某一輪的選手為單數(shù)，則令其中一名選手直接進入下一輪比賽。如此下去，最后決出冠軍，一共要進行多少場比賽？學生可能會這樣進行計算：第一輪36人分成18組，進行18場比賽；第二輪18人分成9組，進行9場比賽；第三輪9人，一人輪空，分成4組，進行4場比賽；第四輪5人，一人輪空，分成2組，進行2場比賽；第五輪3人，一人輪空，分成1組，進行1場比賽；第六輪2人進行一場比賽決出冠軍。因此，總的比賽場次是：18+9+4+2+1+1=35。這種算法雖然也可以解決問題，但這是一種不太高明的算法。我們設想一下，當參賽的選手更多時，計算就更麻煩了。數(shù)學家利用對應轉(zhuǎn)化思想方法，輕松地解決了這個問題。因為每一場比賽都會淘汰一名選手，反之每一名被淘汰的選手在唯一的一場比賽中被淘汰。因此，被淘汰的選手的集合與比賽場次的集合之間可以建立一一對應的關系。假設最初有n名選手參加比賽，不管n是多少，最后只有1名冠軍，其余的n-1名選手均被淘汰，所以恰好要進行n-1場比賽。這一種解法無須任何計算，而且具有更深刻更本質(zhì)的意義。

又如：德國數(shù)學家高斯在很小的時候，有一次老師給同學們出了一道算術題：1+2+3+4+5+……+98+97+98+99+100=？當同學們還沒理清頭緒時，高斯已經(jīng)說出了答案。高斯的方法是：設S=1+2+3+4+……+97+98+99+100，S=100+99+98+97+……+4+3+2+1，高斯把1和100相加，2和99相加，……最后100和1相加，它們的和都是101，因此2S的和是100個101，所以S=（100×101）÷2=5050。高斯求和方法的妙處，就在于它將集合A={1，2，3，……，100}與A本身元素之間進行了合理的配對，即建立的A到A的一一對應，這一對應使得每一對原象與象之和都等于101，從而把加法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，大大地簡化了求和的運算過程。

由此兩例可見，對應轉(zhuǎn)化思想在優(yōu)化、簡化解題方法方面有著重要的作用，學生的思維能力將更上一個新的水平。

五、數(shù)形結合轉(zhuǎn)化思想方法

數(shù)學思想方法的滲透是發(fā)展學生智力、培養(yǎng)學生思維能力、提高學生數(shù)學素養(yǎng)的一把金鑰匙。轉(zhuǎn)化思想方法只是小學數(shù)學教學中的眾多思想方法的一種，教師要廣泛學習，鉆研教材，相互切磋，提煉精華。只有這樣，對學生的數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)才能更有效、更全面。

【參考文獻】

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