組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與實(shí)踐

張大坤，史一葦，任淑霞

（天津工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與軟件學(xué)院，天津　300387）

0　引言

計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的興起帶動(dòng)了組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，組合數(shù)學(xué)可以說是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的基礎(chǔ)，在國外已成為十分重要的學(xué)科。兩者的有機(jī)結(jié)合能在很大程度上解釋并運(yùn)用在一些學(xué)科交叉領(lǐng)域。廣義上的“組合數(shù)學(xué)”就是大學(xué)離散數(shù)學(xué)，狹義的“組合數(shù)學(xué)”則是滿足研究一定條件組合的模型的存在、計(jì)數(shù)和構(gòu)造等方面的問題[1]。

計(jì)算機(jī)相關(guān)的研究生不了解組合學(xué)和其他應(yīng)用學(xué)科之間的關(guān)系，非計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生也很難把該學(xué)科與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)相關(guān)聯(lián)。理解并掌握如何使用組合數(shù)學(xué)來解決其他學(xué)科的問題，以及如何使用其他學(xué)科來解決一些組合數(shù)學(xué)問題將成為學(xué)科趨勢。一些論文研究了組合數(shù)學(xué)在某個(gè)方向上的應(yīng)用。一些論文介紹了組合構(gòu)造算法的設(shè)計(jì)，但他們還沒有發(fā)現(xiàn)組合數(shù)學(xué)在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。教學(xué)改革是“發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，再發(fā)現(xiàn)問題，解決問題”的循環(huán)過程。其中，找到問題是關(guān)鍵，解決問題才是關(guān)鍵[2]。

1　組合數(shù)學(xué)課程的教學(xué)問題和現(xiàn)狀

目前，由于互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，各種新型的高效課堂模式運(yùn)應(yīng)而生。組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科中的課堂教學(xué)模式也有了很大的突破，但是僅僅能滿足課堂的教學(xué)需求，在學(xué)科交叉，特別是優(yōu)秀的教材安排，課程設(shè)計(jì)，師資隊(duì)伍，信息交流，等學(xué)科建設(shè)等方面還存在很大差距。這一點(diǎn)上到目前還不能滿足計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科教學(xué)科研型學(xué)生的課業(yè)需求。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的課程體系的不斷完善，作為公共基礎(chǔ)課的組合數(shù)學(xué)課程，問題不斷顯現(xiàn)，需要去解決和優(yōu)化。

1.1　教學(xué)內(nèi)容陳舊

組合數(shù)學(xué)的研究的對象就是離散構(gòu)形的問題，以組合計(jì)數(shù)為重點(diǎn)，介紹了組合數(shù)學(xué)的基本原理和思想方法，包括組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，母函數(shù)及其應(yīng)用，遞推關(guān)系，容斥原理，抽屜原理和瑞姆塞（Ramsey）理論，波利亞（Polya）定理等一些基本原理，并對符合一定條件的計(jì)數(shù)及構(gòu)造和組態(tài)對象等方面的問題進(jìn)行研究與分析。象構(gòu)形的構(gòu)形計(jì)數(shù)問題、存在性問題、形的最優(yōu)化問題等等[3]。

組合數(shù)學(xué)在課程設(shè)計(jì)中存在很多的定義，復(fù)雜的公式概念，難以證明的定理公司，難以理解的問題等。比如最典型的四色猜想問題和船夫過河問題。在一定的程度上，導(dǎo)致教學(xué)難點(diǎn)高提高，理論與實(shí)際脫軌，學(xué)生沒有辦法真正去理解組合數(shù)學(xué)中的思想就更不用說與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的學(xué)科交叉。在解決實(shí)際問題中就沒有辦法很好的結(jié)合組合數(shù)學(xué)。

通過查閱前人文獻(xiàn)看出，組合數(shù)學(xué)教學(xué)方法都是基于概念，定理，定義，課堂設(shè)計(jì)的很大部分時(shí)間都是用來證明其概念，定義，定理。這主要是由于教學(xué)教師的結(jié)合主要是數(shù)學(xué)教師。然而，這種基于概念定理的教學(xué)方法并不適用于組合數(shù)學(xué)課程，這使得學(xué)生認(rèn)為組合數(shù)學(xué)課堂和研究變的很枯燥乏味。其次，關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)程度的檢驗(yàn)方式還是傳統(tǒng)的考試。考試的主題主要還是平時(shí)的定義定理和一些課堂練習(xí)[4]。

我們學(xué)校的大量相關(guān)的專業(yè)的研究生學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)課程。本課程主要是研究組合數(shù)學(xué)中的各種算法與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科貼切，從而來發(fā)展他們通過學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)課程來解決計(jì)算機(jī)類的問題，并且鍛煉他們的編程能力和動(dòng)手操作能力。在教學(xué)的內(nèi)容方面，我校組合數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)是引入知識圖譜和組合數(shù)學(xué)的定義定理的證明。在組合數(shù)學(xué)的前沿與計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的交叉學(xué)科引入研究課題相對較少，并且不會激勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)后進(jìn)行創(chuàng)造性思考。

1.2　組合數(shù)學(xué)教學(xué)沒有很好地體現(xiàn)學(xué)科之間的滲透思想

組合數(shù)學(xué)課程起源于不同學(xué)科的發(fā)展，在很大程度上具有跨學(xué)科性和相互滲透性的特點(diǎn)。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展給組合數(shù)學(xué)帶來了新的靈感，組合數(shù)學(xué)因此得到了快速的發(fā)展，改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中代數(shù)和分析占領(lǐng)導(dǎo)地位的局面。組合數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要是要滿足一定條件的組態(tài)，因此組合數(shù)學(xué)的研究對象都是按照某種規(guī)則的安排。一切的推理發(fā)現(xiàn)，不管是否能用語言描述，都能歸納為如數(shù)、聲、字、色等這些元素經(jīng)過某種組合的有序集合。組合數(shù)學(xué)提供的方法和理論也適應(yīng)于不同的學(xué)科建設(shè)，特別是本學(xué)校的計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和通信科學(xué)工程專業(yè)[5]。

這些學(xué)科體系的發(fā)展和完善為組合數(shù)學(xué)提供了新的概念，新的課題，新的挑戰(zhàn)，新的研究目標(biāo)和新的研究方法，充分促進(jìn)了組合數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，并且也豐富了其他學(xué)科的內(nèi)容。但由于專業(yè)教師定位的局限性（基本上是數(shù)學(xué)教師講授），本文的教學(xué)主要集中在組合數(shù)學(xué)的定義概念理論基礎(chǔ)，大都是一些枯燥的教學(xué)，有的學(xué)生不得不為了學(xué)分選修這類課程。

1.3　組合數(shù)學(xué)教學(xué)改革缺乏創(chuàng)新思維

到目前為止，我校在教育改革上得到了教育部和學(xué)生充分的肯定和認(rèn)可，我校研究生教育也在高速發(fā)展，對綜合數(shù)學(xué)課程知識越來越重視。組合數(shù)學(xué)課程的重要性不斷攀升。但是，由于師范教育基本滿足本科教學(xué)模式優(yōu)化的需要，也不利于反思這門課程的教育意義和跨學(xué)科，教材的例子已經(jīng)過時(shí)。形式上陳舊固化跟不上時(shí)代節(jié)奏，并且專業(yè)性和學(xué)科交叉性不足，很少能解決研究生本專業(yè)的問題。

根據(jù)學(xué)生課堂表現(xiàn)和反饋，組合數(shù)學(xué)的改革提到了日程。學(xué)校也高度重視 “組合數(shù)學(xué)”課程的學(xué)科間的交叉性建設(shè)，重點(diǎn)開展“數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”專業(yè)性建設(shè)的課程，從而在優(yōu)化組合數(shù)學(xué)的課程結(jié)構(gòu)，要有針對性對各類開設(shè)本專業(yè)課的專業(yè)進(jìn)行調(diào)研和適應(yīng)，從而豐富組合數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的應(yīng)用，最終能實(shí)質(zhì)上解決研究生在本專業(yè)的研究生存在的問題[6]。

2　數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考與探索

2.1　教學(xué)改革

“算法分析與設(shè)計(jì)”， “人工智能”，“算法復(fù)雜性分析”， “復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化”，運(yùn)籌規(guī)劃與控制，“信號分析”等研究生后續(xù)課程預(yù)備課程的“組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”等等。為了回應(yīng)學(xué)校的“組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”課程，課程的特點(diǎn)是大量的概念，獨(dú)特和不斷變化的論證方法，加上短時(shí)間的課程，這些都是優(yōu)秀高校本科生課程體系建設(shè)中才會涉及到的課程，一些學(xué)生由于（本科階段）基礎(chǔ)參差不齊，跨專業(yè)性大，導(dǎo)致教學(xué)難點(diǎn)加大。

2.1.1求同存異，根據(jù)自己的能力教學(xué)生

作為研究生一年級必修的公共基礎(chǔ)課，面向不同的水平，不同專業(yè)的學(xué)生，增加學(xué)科交叉性，是本文的必然的選擇。“尋求學(xué)科交叉性”有兩層含義：第一，雖然學(xué)生有不同的情況，但選修課應(yīng)該有一個(gè)基本的公開要求，有一個(gè)最低標(biāo)準(zhǔn)。這是要求學(xué)生掌握組合數(shù)學(xué)的基本概念和結(jié)論。第二，找出學(xué)生選擇課程的共同點(diǎn)。因此，在課堂上，學(xué)生最感興趣的是那些有趣的應(yīng)用，而更專業(yè)的應(yīng)用則是指學(xué)生可以閱讀文獻(xiàn)以理解和學(xué)習(xí)的方向。

2.1.2專業(yè)要求，課堂教學(xué)

組合學(xué)作為我們大學(xué)研究生共同的基礎(chǔ)課程，不同職業(yè)對于它的需求和基礎(chǔ)是不同的。因此，該研究組試圖通過對不同專業(yè)開展學(xué)科交叉研究豐富組合數(shù)學(xué)的學(xué)科基礎(chǔ)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量以達(dá)到有針對性的目標(biāo)。具體的想法是通過調(diào)查以前學(xué)生選修課的情況和畢業(yè)生領(lǐng)導(dǎo)班子的調(diào)查，了解相關(guān)院校“組合數(shù)學(xué)及其相關(guān)專業(yè)學(xué)生的應(yīng)用”相關(guān)課程的基本要求和專業(yè)要求。一位有代表性的大師級導(dǎo)師然后根據(jù)不同的專業(yè)需求，研究小組將進(jìn)行小組準(zhǔn)備和小組教學(xué)，數(shù)學(xué)知識的整體解讀的基本組合，小組教學(xué)內(nèi)容的不同專業(yè)需求，最簡單的操作方法是要求根據(jù)課程和研究需要讓學(xué)生選擇合適的專業(yè)。此外，本文試圖舉辦研討會和研討會來回答和討論學(xué)生問題。有些學(xué)生可以回答問題并提供參考，以滿足他們對知識的渴望[7]。

2.2　課程體系建設(shè)

2.2.1結(jié)合主題特征和聯(lián)絡(luò)邊界主題

基于組合數(shù)學(xué)的性質(zhì)和發(fā)展的趨勢，尤其是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展趨勢和前沿研究動(dòng)態(tài)，本文主要想介紹與本校的學(xué)科相關(guān)的組合數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)的最新發(fā)展，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)中的組合數(shù)學(xué)。增加了Havermann編碼的內(nèi)容及其應(yīng)用。以引導(dǎo)學(xué)生深入了解和探究，激發(fā)學(xué)生對創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，并且把理論運(yùn)用在自己所研究學(xué)科和領(lǐng)域從而解決在研究上遇到的實(shí)際問題。

2.2.2滲透學(xué)科和加強(qiáng)跨學(xué)科交流

由于多年的教學(xué)工作經(jīng)歷和科研的總結(jié)，研究組發(fā)現(xiàn)，市場上的“組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”教科書中介紹組合數(shù)學(xué)在交叉學(xué)科的科研案例還比較少特別是應(yīng)用程序。本課題在介紹組合數(shù)學(xué)的方法定義定理和基本理論基礎(chǔ)上，本課題還將重點(diǎn)介紹組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)方面的交叉學(xué)科的應(yīng)用，做出一些介紹和增加學(xué)科間的滲透。

2.2.3稀釋證明過程，增強(qiáng)實(shí)踐能力

組合數(shù)學(xué)雖然是來自實(shí)踐但它也是服務(wù)于實(shí)踐的。從這個(gè)意義上說，本文將把理論和應(yīng)用放在教科書“數(shù)學(xué)與應(yīng)用結(jié)合”的重要和平等地位。按照“應(yīng)用某一應(yīng)用的定義”的寫作模式，每章的第一部分是定義定理和理論基礎(chǔ)部分，然后是介紹知識的實(shí)際運(yùn)用，組合數(shù)學(xué)的學(xué)科交叉知識的主要應(yīng)用解決具體問題。對于高度專業(yè)化的應(yīng)用，如通訊指導(dǎo)，計(jì)算機(jī)或控制指導(dǎo);對計(jì)算機(jī)科學(xué)應(yīng)用中的組合數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生可以參考“組合數(shù)學(xué)和算法分析”等。這將使學(xué)生能夠有針對性地結(jié)合自己的專業(yè)進(jìn)行學(xué)習(xí)和討論。并弱化定理證明了重點(diǎn)在于組合數(shù)學(xué)思想的分析，重點(diǎn)在于這些組合數(shù)學(xué)算法的實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用。

2.3　教材建設(shè)

組合數(shù)學(xué)教材編寫和建設(shè)是課程設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)關(guān)鍵性任務(wù)。雖然目前使用的教材內(nèi)容豐富，但是，有很大部分只是純粹的理論基礎(chǔ)，完全不能聯(lián)系實(shí)際更不要強(qiáng)求學(xué)生去解決自己所研究的專業(yè)方向上的問題。一定程度上不能滿足我校的研究生教學(xué)設(shè)計(jì)的要求。因此，不僅要考慮本校研究生的水平基礎(chǔ)也要考慮其專業(yè)相關(guān)性，并且要結(jié)合研究生的強(qiáng)烈的求知的欲望，勇于研究探索學(xué)科間的交叉性。同時(shí)，考慮到各學(xué)科學(xué)生的需求從而豐富組合數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的應(yīng)用，本研究組正在制定并撰寫適合本學(xué)科的教材，內(nèi)容深度廣泛交叉性強(qiáng)。大學(xué)生研究生“組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”課程教材。研究小組試圖在大學(xué)生教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，編寫一門名為“組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”的新教材，多年設(shè)立離散數(shù)學(xué)，并為研究生設(shè)置數(shù)學(xué)組合。教材具有以下特色。

2.3.1適應(yīng)時(shí)代發(fā)展并引入當(dāng)下各學(xué)科前沿話題

根據(jù)組合數(shù)學(xué)的學(xué)科基礎(chǔ)和應(yīng)用，特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)方面的研究和前沿話題等最新研究動(dòng)態(tài)，本文力求介紹研究生開展組合數(shù)學(xué)課程的專業(yè)業(yè)界的最新發(fā)展?fàn)顩r，然后結(jié)合組合數(shù)學(xué)，結(jié)合計(jì)算機(jī)發(fā)展背景，等等制定屬于其他學(xué)科適應(yīng)的組合數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)。

2.3.2弱化證明，注重應(yīng)用分析

理論和應(yīng)用教科書“組合數(shù)學(xué)及其應(yīng)用”處于重要和平等的地位[8-10]。根據(jù)“定義，定理和應(yīng)用”寫作模式，每章的第一部分是定義和理論部分，部分知識的應(yīng)用，主要是組合數(shù)學(xué)知識在解決具體問題中的應(yīng)用。對于高度專業(yè)化的應(yīng)用，如通訊指導(dǎo)，計(jì)算機(jī)或控制指導(dǎo)，本文在本章最后給出閱讀指南。有興趣將組合數(shù)學(xué)應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)的學(xué)生可以參考組合數(shù)學(xué)和算法分析。

3　結(jié)論

組合數(shù)學(xué)課程具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)幕A(chǔ)理論，強(qiáng)大的系統(tǒng)，高度抽象的，靈活的方法，強(qiáng)調(diào)算法和經(jīng)過驗(yàn)證的方法。