不同分布下Realized EGARCH模型的擬合效果研究

玄海燕，戴天驕，李鴻漸，郭長青

（蘭州理工大學 經濟管理學院，蘭州 730050）

0 引言

如何合理地擬合波動率在金融領域一直是研究的重點。在金融時間序列的條件異方差模型擬合方面，以Engle(1982)[1]提出的自回歸條件異方差(ARCH)模型和Bollerslev(1986)[2]提出的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型為主，這也是最早且得到廣泛應用的條件異方差模型。

GARCH類模型存在的主要問題是研究樣本只能為低頻數據（在證券市場中主要為日數據），而信息化技術的進步增強了數據采集能力，高頻數據越來越多的在應用研究中出現，向主要在低頻數據層面應用的GARCH類模型提出了新的需求。高頻數據的不規則交易間隔、離散取值、強自相關性、日內模式的特征讓傳統的計量模型在實際應用中表現不佳，因此學者們開始研究用于高頻數據層面的GARCH類相關模型。Andersen等(2008)[3]提出專用于高頻數據的“已實現測度”。此后將已實現測度和傳統的GARCH模型結合用于高頻數據的波動率建模成為了一個研究熱點。最初，研究主要集中在GARCH-X模型上，這類模型直接將已實現測度作為外生變量納入，模型形式較為簡單，但是在預測方面存在缺陷。因此，建立把波動率和已實現測度聯合、具有優良預測能力的模型成了后續的研究方向。Hansen等(2012)[4]提出的Realized GARCH模型就是其中之一，在傳統的GARCH模型中加了已實現測度，并利用已實現測度的方程（測量方程）將條件方差和已實現測度聯系起來。王天一和黃卓(2012)[5]將Realized GARCH模型推廣到厚尾分布的情形，認為Skewed-t分布可以較好的反映收益率的尖峰厚尾的特征，同時使用t分布的預測精度最高。黃雯等(2012)[6]認為基于Skewed-t分布Realized GARCH模型擬合情況和尾部風險描述能力明顯優于正態分布和t分布下的Realized GARCH模型。王天一等(2014)[7]使用多種頻率的已實現波動率及實現核估計作為已實現測度進行分析，采用t分布和正態分布并和GARCH、EGARCH模型進行對比，認為數據頻率、分布設定以及不同已實現測度對其預測能力有影響。魏正元等(2015)[8]研究認為誤差項服從Skewed-t分布的Realized GARCH(1,2)模型對于上證380的擬合能力較好，并且能夠精確地測量其收益風險。Hansen和Huang(2012)[9]基于Realized GARCH模型進行拓展，提出了Realized EGARCH模型，對Realized GARCH模型中的GARCH方程進行修改，使得Realized EGARCH模型能夠更好地反映當前市場上存在的非對稱性特征。Banulescu等（2016）[10]將Realized EGARCH模型進一步推廣，考慮了robust結構的杠桿函數并與Realize GARCH模型對比。

Hansen和Huang(2012)[9]對于Realized EGARCH模型的研究主要基于正態分布，對于t分布及Skewed-t分布下的模型情況并沒有進行研究。因此，本文針對上證指數的5分鐘高頻數據，探討基于t分布及Skewed-t分布下Realized EGARCH模型的擬合情況，并與正態分布下的擬合情況進行對比。結果表明，基于t分布及Skewed-t分布下Realized EGARCH模型的擬合效果明顯優于正態分布下的情況，但是二者之間差異不大。

1 模型簡介

1.1 模型形式

Hansen和Huang(2012)[9]提出的Realized EGARCH模型如下所示：這三個式子中，式（1）被稱作是回歸方程，式（2）是GARCH方程，式（3）則被稱為測量方程。其中μ通常設定為0，但是會根據數據出現擬合結果不為0的情況。zt、ut獨立同分布且 zt～iid(0，1) ，ut～iid(0，) ，ut=u1，t，u2，t，…，uK，t，k=1，2，…，K ，xt是由高頻數據計算出的已實現測度。GARCH方程和測量方程中的杠桿函數的形式如下所示：

這兩個杠桿函數在整個模型中起著相當重要的作用，通常扮演著在現實中使zt、ut具有獨立性的因素的角色，同對回歸沖擊和波動率沖擊的非獨立性關系建模，波動率沖擊由 νt=τ(zt-1)+γut-1得出，其繪圖后即為 Realized GARCH模型的信息沖擊曲線，形式為νt=E(loght+1|Ft)-E(loght+1|Ft-1)。

Realized EGARCH模型中的三個方程與Hansen等(2012)提出的Realized GARCH模型中的三個方程有所區別。Realized GARCH模型的前兩個方程的基于GARCH-X模型，采用了與Engle(2002)、Barndorff-Nielsen和Shephard(2007)、Visser(2011)相似的形式，而測量方程則是Realized GARCH框架相比于其他模型的特色所在，加入了杠桿函數來描述波動率對于收益率沖擊的非對稱反應。兩個模型的差異主要體現在GARCH方程上，Realized EGARCH模型并沒有將logxt直接納入計算，而是替換為一個杠桿函數logxt方程中ut的滯后項的和的形式。因此τ(zt-1)+γut-1被稱為條件波動率的創新。

1.2 已實現測度選擇

測度方程中可以使用的已實現測度種類較為豐富，較為常用的有以下四種：已實現波動率(realized variance,RV)，已實現核估計(realized kernel,RK)，已實現二次冪變差(realized bipower variation,RBV)，已實現極差(realized range,RR)。已實現波動率是通過計算日內收益率的平方和來估計波動率，并且是積分波動IR的一致估計量。因而雖然后續提出了諸多已實現測度，但已實現波動率仍然是其中應用較為廣泛的一種。在這里本文使用RV作為測量方程中的xt。已實現波動率的表達式如下：

其中m為一天的樣本數，i為第t天的第i個樣本。m的值取決于采樣頻率，頻率越高，每日數據量越大。這里采用5分鐘高頻數據，所以本文取m=48。由于市場微觀噪聲的存在，采樣頻率過高會使RV值嚴重偏離，過低則信息量有損失，因此必須尋找最優的采樣頻率。

1.3 似然函數

Realized EGARCH模型的似然函數由兩部分組成：

其中，L(r|x)+L(x|r)為似然函數中對應ut和zt的部分，在進行模型間分布擬合和預測能力的比較前必須確保使用相同的數據，但是由于在與不同模型比較時L(x|r)不一定都存在，因此只使用似然函數中L(r|x)的部分，即半似然函數。試用半似然函數值進行比較的方式在王天一等、黃雯等的研究中均有試用。由于本文進行的對比研究是基于相同模型，單獨計算L(r|x)要更加麻煩，為簡化計算，直接使用L(r，x)進行比較，形式如下：

1.4 分布形式

本文采用的t分布為Bollerslev(1987)提出的標準化t分布，形式為：

Hansen(1994)提出的Skewed-t形式為：

其中ν為自由度，ε體現了分布函數的偏斜情況，當ε＞0時，分布右偏；當ε＜0時，分布左偏；ε=0時，整個分布退化為標準化t分布。

雖然從分布的特征上來說，Skewed-t分布比t分布更能體現金融時間序列尖峰厚尾、有偏的性質，在對Realized GARCH模型分布擬合的相關研究中被認為Skewed-t分布的擬合效果明顯優于其他分布，但是Realized EGARCH模型的結構與Realized GARCH模型的結構相比，更加強調了杠桿函數的部分，對于不對稱性的反應相比Realized GARCH模型來說已經有了增強。與t分布相比Skewed-t分布也只是多考慮了偏度的影響，因此不確定基于Skewed-t分布的擬合結果一定優于t分布下的擬合結果。由于目前還沒有相關文獻證明基于t分布下的Realized EGARCH模型已經足夠反應金融時間序列本身的特征，因此基于多種分布對于Realized EGARCH模型的擬合情況的影響進行研究是有必要的。

2 實證分析

2.1 數據統計特征及模型參數估計

本文使用的數據為2016年1月8日到2017年3月24日共294個交易日的5分鐘高頻數據，每日交易時間為4小時，共48個數據點。收益率采用“收盤價—收盤價”的形式計算。對數收益率的表達式為：

其中pt為當前時刻收盤價，pt-1為前一時刻收盤價。5分鐘收益率序列和已實現波動率序列如圖1所示。可以看出這兩個序列都存在明顯的波動率集聚現象。而且由于數據選擇區間包括了極端區間，數據左側波動十分劇烈。

圖1 上證指數收益率序列及已實現波動率序列

表1計算了兩個序列的基本統計量。從中可以看出收益率序列rt與對數已實現波動率RV5存在著顯著的尖峰特征。在正態性檢驗上采用了K-S檢驗，Z值分別為14.360和7.610，括號內為p值，p值＜0.05，顯著地拒絕了正態分布假設。從偏度來看，rt與logRV5序列的偏度都在0附近，說明數據偏斜不強，這可能會對Skewed-t分布下的擬合效果產生一定的影響。因此從描述性統計的結果來說，t分布可能與Skewed-t分布的擬合情況相似。

表1 描述性統計

使用上述數據進行模型參數估計結果如表2所示。其中，RE為Realized EGARCH模型的簡寫，N為正態分布，t為t分布，S-t為Skewed-t分布。括號內為參數的標準誤差（std.error）。估計方式為QMLE（Quasi-maximum Likelihood Estimate），即準極大似然估計。

表2 Realized EGARCH模型的參數估計

從參數估計結果來看，由于ε＜0，說明殘差分布存在一定的偏斜，且為左偏，但是偏斜較為微弱，這可能是由于RV5和rt序列的偏度不強的結果。三種分布下估計出的τ1、τ2和δ1、δ2的值均為一負一正，體現出了模型的非對稱性，并且t分布和Skewed-t分布下杠桿函數的參數τ1、τ2和δ1、δ2的值基本相同，說明二者在對數據非對稱性的反應上基本相同。從標準誤差來看，正態分布下參數的標準誤差、t分布下的參數標準誤差和Skewed-t分布下的標準誤差各有大小，無法從參數估計的標準誤差上來準確評定模型的參數擬合情況。但是從參數估計的結果來看，t分布下的參數估計結果應當是最優的，這種最優可能與模型選擇的已實現測度的種類、數據的時間區間有關，如果偏度相反或者都接近0，則使用t分布要更為簡單。

圖2為三種分布情況下Realized EGARCH模型的信息沖擊曲線。可以看出t分布和Skewed-t分布下的信息沖擊曲線比正態分布的曲線形狀更加分明，且對稱軸偏離0較多，說明這兩種分布體現了更強的不對稱性，更能夠體現Realized EGARCH模型的強非對稱性的性質。

圖2 信息沖擊曲線

2.2 分布擬合能力評估

對于模型的擬合能力進行評估時，使用似然函數進行比較。表3中logL（Log likelihood function）為對數似然函數值，其數值越大說明在相應參數下獲得所用數據的可能性越高。

表3 三種分布的擬合能力評估指標

從對數似然函數的值來看，仍然是Skewed-t分布下的擬合結果的對數似然函數值最大，但與t分布下的擬合結果差異不大。正態分布下擬合結果的對數似然函數值最小，與其他兩個分布相比顯得擬合結果不夠優良。

3 結論

本文主要研究基于高頻數據的波動率模型——Realized EGARCH模型在殘差服從三種不同分布下時模型的擬合情況，并使用上證指數進行了實證研究。上證指數的收益率明顯地表現出尖峰厚尾、有偏的特征，這也是金融時間序列數據的所特有的。Realized EGARCH模型與Realized GARCH模型相比，在模型形式上加強了對非對稱性的反映，其結構本身可以產生一定的峰度和偏度，但是這種偏度和峰度仍然不足以擬合數據，在正態分布下擬合上證指數數據產生的較大的標準誤差可以說明這一點。

另外，不同的已實現測度可能對模型結果會產生不同的影響，本文只使用已實現波動率作為已實現測度，諸多相關研究表明已實現波動率相比其他已實現測度可能存在一定的誤差，進而影響模型的擬合情況，這是下一步研究的范疇。

最后，在對于上證指數數據的殘差服從正態分布、t分布、Skewed-t分布下Realized EGARCH模型進行的擬合研究結果表明，這三種分布中的Skewed-t分布在擬合模型時具有較為良好的性質，但是其擬合效果與t分布的擬合效果差異不大，這可能與數據的選擇及已實現測度的選擇有關。總體來說，對上證指數使用以上三種不同的分布進行Realized EGARCH模型的擬合時，Skewed-t分布的擬合效果最好。