一種布谷鳥初始化的螢火蟲算法及工程應(yīng)用

郝曉瑩，賀興時(shí)，薛菁菁

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引 言

2008年，Yang通過模擬螢火蟲的閃光行為提出螢火蟲算法[1-2]。螢火蟲算法具有操作簡(jiǎn)單，需要調(diào)整參數(shù)少，易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，一經(jīng)提出就成為啟發(fā)算法研究的熱點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于TSP問題[3]、車間調(diào)度[4]、圖像檢測(cè)[5]等領(lǐng)域。雖然許多學(xué)者對(duì)標(biāo)準(zhǔn)螢火蟲算法進(jìn)行了改進(jìn)[6-8]，但螢火蟲算法的收斂速度慢，求解精度不高等缺陷仍然制約其發(fā)展和應(yīng)用。因此，更好地提升螢火蟲算法的尋優(yōu)性能具有廣闊的研究空間。

對(duì)于非線性工程優(yōu)化問題之一的壓力容器設(shè)計(jì)問題[9],傳統(tǒng)的優(yōu)化方法求解質(zhì)量往往不高。而螢火蟲算法是一種非常有潛力的工程優(yōu)化算法，因此將其擴(kuò)展到工程應(yīng)用領(lǐng)域非常必要。通過引進(jìn)布谷鳥算法，首先對(duì)螢火蟲初始種群進(jìn)行優(yōu)化，使初始種群的質(zhì)量大大提高，加快了螢火蟲向最優(yōu)解收斂的速度；其次，通過6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)CSFA算法的性能進(jìn)行測(cè)試；最后應(yīng)用該算法對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問題進(jìn)行求解。

1 螢火蟲算法及其數(shù)學(xué)模型

螢火蟲算法是由螢火蟲的閃光行為啟發(fā)而來，其主要思想是利用亮度較高的螢火蟲吸引亮度較低的螢火蟲，在亮度較低的螢火蟲向亮度較高的螢火蟲的移動(dòng)過程中完成位置更新。螢火蟲算法的基本數(shù)學(xué)模型如下：

Ii=f(xi)

(1)

(2)

(3)

xj(t+1)=xj(t)+βij(rij)(xi(t)-xj(t))+αξj

(4)

2 布谷鳥算法及其數(shù)學(xué)模型

布谷鳥算法是模擬布谷鳥尋窩產(chǎn)卵飛行的一種隨機(jī)過程。該算法可以用以下三點(diǎn)理想化條件：(1)每只布谷鳥每次僅產(chǎn)一個(gè)蛋，并且隨機(jī)產(chǎn)在一個(gè)鳥窩中；(2)質(zhì)量最好的鳥窩將被保留到下一代；(3)固定鳥窩的數(shù)量n，鳥窩宿主發(fā)現(xiàn)布谷鳥鳥蛋的概率是Pa∈[0,1][10-13]。在這種情況下，鳥窩主人可以將該鳥蛋丟棄，或者放棄這個(gè)鳥窩，在新的地方重新建立一個(gè)鳥窩。在這3個(gè)理想化條件下，布谷鳥根據(jù)Levy飛行進(jìn)行搜索，步長(zhǎng)更新公式為：

(5)

Levy～u=t-λ(1<λ≤3)

(6)

3 布谷鳥初始化的螢火蟲算法

眾所周知，初始值對(duì)啟發(fā)式算法意義重大，初始種群的選取能夠直接影響算法的性能及收斂速度。為了更好地改進(jìn)螢火蟲算法初始種群的質(zhì)量，將CS算法思想用于FA算法的位置初始化過程，提出了一種布谷鳥初始化的螢火蟲算法，從而改善了螢火蟲算法的尋優(yōu)性能。

CSFA算法步驟如下：

(1)初始化布谷鳥種群，設(shè)置鳥窩數(shù)量n，最大迭代次數(shù)N，發(fā)現(xiàn)概率為Pα，搜索域上下界Ub、Lb；

(2)利用目標(biāo)函數(shù)對(duì)每個(gè)鳥窩進(jìn)行測(cè)試，并記錄當(dāng)前的最好解，將最優(yōu)鳥窩位置保留到下一代；

(3)利用式5對(duì)其他鳥窩位置進(jìn)行更新，對(duì)現(xiàn)有的鳥窩與上一代鳥窩位置進(jìn)行對(duì)比，若較好，將其作為當(dāng)前最好位置；

(4)用一個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)與布谷鳥的鳥蛋被鳥窩宿主發(fā)現(xiàn)的概率Pa進(jìn)行比較，若r>Pa，則隨機(jī)對(duì)鳥窩的位置進(jìn)行列維變化，獲得一組新的鳥窩位置，反之不變。再對(duì)新的位置進(jìn)行測(cè)試，將最優(yōu)位置保留到下一代；

(5)判斷是否滿足結(jié)束條件，若不滿足則返回步驟2重新運(yùn)行；若滿足，則跳出循環(huán)，輸出最優(yōu)位置；

(6)將布谷鳥算法得到的最優(yōu)位置作為螢火蟲算法的初始位置，計(jì)算每個(gè)螢火蟲個(gè)體的熒光亮度；

(7)利用式1和式2計(jì)算個(gè)體之間的相對(duì)亮度和吸引度，并根據(jù)相對(duì)亮度決定個(gè)體的移動(dòng)方向；

(8)根據(jù)式3更新個(gè)體位置，并對(duì)處在最優(yōu)位置的個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值，并找出最優(yōu)解；

(9)檢驗(yàn)是否滿足終止條件。若滿足，則輸出全局最優(yōu)值；若未達(dá)到終止條件，則返回步驟7。

4 仿真實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

4.1 測(cè)試函數(shù)集及實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

數(shù)值實(shí)驗(yàn)在Windows7環(huán)境下運(yùn)行，利用Matlab7.0進(jìn)行編程。對(duì)于所有的測(cè)試函數(shù)，CS算法設(shè)置的基本參數(shù)值為：種群規(guī)模n=25，最大迭代次數(shù)為500，發(fā)現(xiàn)概率為Pα=0.25。FA算法設(shè)置的基本參數(shù)值為：種群規(guī)模n=50，光強(qiáng)吸收系數(shù)λ=1，步長(zhǎng)因子α=0.02，最大吸引度β0=1，最大迭代次數(shù)為500。

為了驗(yàn)證CSFA算法的性能，分別將CSFA算法、CS算法、FA算法用于6個(gè)典型的測(cè)試函數(shù)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較。這6個(gè)測(cè)試函數(shù)如下所示:

基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的維數(shù)、迭代次數(shù)及搜索空間如表1所示。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的維數(shù)、迭代次數(shù)及搜索空間

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了更好地驗(yàn)證CSFA算法的性能，對(duì)選取的測(cè)試函數(shù)，分別利用FA算法、CS算法、CSFA算法獨(dú)立運(yùn)行30次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。其中，最差值、最優(yōu)值反映了解的質(zhì)量，平均值反映了解的整體水平，標(biāo)準(zhǔn)差反映了算法的穩(wěn)定性。

從表2可以看出，無論從最優(yōu)值、最差值，還是標(biāo)準(zhǔn)差和平均值，CSFA算法在尋優(yōu)精度上都明顯高于FA算法和CS算法。

為了直觀地比較3種算法的尋優(yōu)精度及收斂速度，畫出FA算法、CS算法和CSFA算法在六個(gè)測(cè)試函數(shù)上的迭代曲線，如圖1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，CSFA算法比FA算法和CS算法能更快地收斂到最優(yōu)解，求解精度也大大提高。

表2 FA算法、CS算法和CSFA算法的性能比較

圖1 FA，CS和CSFA的收斂曲線比較

5 布谷鳥初始化的螢火蟲算法求解壓力容器設(shè)計(jì)問題

隨著啟發(fā)式算法的發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多的新型算法。為了驗(yàn)證新算法的性能，它們被用于各種工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，而其中應(yīng)用最廣泛的就是壓力容器設(shè)計(jì)問題。它有4個(gè)設(shè)計(jì)變量：半球形厚度，厚度，內(nèi)部半徑和長(zhǎng)度。其主要目標(biāo)是在非線性約束條件下，使得設(shè)計(jì)總成本達(dá)到最小。壓力容器示意圖如圖2所示。

圖2 壓力容器示意圖

壓力容器設(shè)計(jì)問題目標(biāo)函數(shù)和約束條件為：

minf(x)=0.622 4d1rL+1.778 1d2r2+

其中，d1=0.062 5n1,d2=0.062 5n2,1≤n1≤99,1≤n2≤99,10≤r,L≤100。

利用CSFA算法對(duì)壓力容器設(shè)計(jì)問題獨(dú)立運(yùn)行10次進(jìn)行求解，并與利用SBSM算法[14]、CPSO算法[15]、HPSO算法[16]、TVDFPA算法[17]求解壓力容器問題的結(jié)果進(jìn)行比較。從表3和表4可以看出，CSFA算法不管是最優(yōu)值、最差值還是平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都要好于其他算法對(duì)壓力容器問題的求解值。

表3 5種算法對(duì)壓力容器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的最好結(jié)果比較

表4 5種算法對(duì)壓力容器優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的統(tǒng)計(jì)結(jié)果比較

6 結(jié)束語

螢火蟲算法作為一種性能良好的算法，在解決工程優(yōu)化問題中具有巨大的潛力。文中提出一種布谷鳥初始化的螢火蟲算法(CSFA)，通過對(duì)6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比已有的啟發(fā)算法的測(cè)試結(jié)果，得到了更高精度的最優(yōu)解。在應(yīng)用方面，將CSFA算法用在壓力容器設(shè)計(jì)問題中，也體現(xiàn)了更好的尋優(yōu)性能。而壓力容器設(shè)計(jì)問題是一種單目標(biāo)，連續(xù)型優(yōu)化問題，為驗(yàn)證該算法的廣泛性，將其應(yīng)用到多目標(biāo)及離散型優(yōu)化問題，將是今后值得關(guān)注的研究方向。