橢球面的傅立葉限制性問題

范美玲

（汕頭大學理學院，廣東 汕頭 515063）

0 引言

傅立葉限制性問題的研究一直是調和分析中的熱點之一.1967年，E.M.Stein提出對于給定的Lp可積函數f，限制f的傅立葉變換?到n－1維球面S上，則（A＜CB，其中C為常數，在此簡記為，A?B）成立當且僅當，這個問題后來被稱之為限制性問題.Fefferman和Stein[1]證明了在n＝2時除端點之外的所有情況成立，Zygmund[2]在1974年給出了端點處的證明.Cordoba[3]在1977年用不同的方法證明二維的情形是成立的.對于高維情形，雖然已經得到了很多豐富的結果，但到目前為止它仍然未被解決，其中一個較好的結果是由Tomas和Stein[4]給出的，他們證明了當 q＝2 且成立.但是他們的證明充分利用L2空間的性質，對于一般的q，該方法不能推廣，而這也是限制性問題困難所在.眾所周知，傅立葉限制性問題，Kakeya極大函數問題和Bochner-Riesz求和問題等都是相互關聯的，著名數學家Wolff，Bourgain，Fefferman，Tao等在這些問題的研究上取得了一系列進展（見文獻[5]），與其相關的方法和技巧已經廣泛應用于PDE，譜理論，數論等.本文是在他們研究的基礎上進一步拓廣傅立葉限制性問題的內容，我們限制f的傅立葉變換在橢球面上，給出橢球面上限制性問題對應的指標p，q所必須滿足的條件，并證明二維是成立的.

1 定理的提出

1.1 預備知識

首先我們回顧經典球面上的限制性猜測，它具體描述如下：

針對該問題，一個非常自然的想法是將球面換成橢球面，相關的結論是否還成立，這也是本文的出發點.為方便敘述，本文均假定E為下面形式的橢球面，，相對應的面測度為dσ.那么本文的主要結論如1.2.

1.2 主要結論

在該定理的基礎上，一個非常自然的想法是反過來是否成立，即下面的猜測.

猜測（橢球面的傅立葉限制性猜測）

它和球面限制性問題一樣，對于高維情形，困難依然存在，但是我們可以給出二維的證明，這也是本文的第二個主要結論.

定理2（二維的橢球面限制性定理）

2 定理1的證明

為證明定理1，先給下面的引理.

證明：證明思路是構造函數f，使f的傅立葉變換集中在E′附近.

這樣就完成了引理1的證明.

定義1：φ 是實值的 C∞（Rn）函數，a（x）是函數，定義是參數.

引理2[6]若 Ω?Rn是開集，φ（x）:Ω→R 是 C∞函數，p∈Ω 且 φ（p）≠0，a（x）支撐在p的一個小鄰域內，則對任意N，

引理3[6]若Ω?Rn是開集，φ（x）:Ω→R是C∞函數，在p點的Hessian矩陣H（φP）可逆，令σ是H（φP）的正負符號差，且a（x）支撐在p的一個小鄰域內，，則對于任意N，

這樣就完成了定理1的證明.

3 定理2的證明

要證明定理2，我們需要下面的引理4.

引理4[8]分割圓S的弧間距和θ相互控制，若f和g支撐在S的不同θ弧上，則

首先，要證定理2成立，我們只需證明其對偶形式成立.即證明?p′＞4 且 p′≥3q.

事實上，我們可以進一步簡化指標，即在條件p′＝3q＞4下成立即可.

首先注意到

我們先把在橢圓上的積分轉化到圓上，詳細過程見式（1）.

我們用Whitney分解方法[9]處理上述估計式，把圓周S平均分成2n等份，平分后所有圓弧的集合記作An.那么對任意n≥0，在n階段分割后所得的任意圓弧在n＋1階段都有兩個子體.定義I～J:I，J不相鄰，I，J∈An，但存在n，使得他們的母體相鄰.那么它具有下面的性質：?x≠y，?，I～J，s.t x∈I，y∈J.從而，

其中dμI＝χ（Ix）dμ（x），dμJ＝χ（Jx）dμ（x）.故有