淺析二次函數根的分布問題的學習

（懷化市湖天中學 湖南懷化 418000）

引言

二次函數是高中數學知識體系的有機組成部分，而二次函數根的分布問題是學習中的難點問題，困擾著很多同學。基于此，我們在學習高中數學的過程中，一定要注意探索二次函數根的分布規律，進而提高學習效率，提高數學成績。所以，筆者針對《淺析二次函數根的分布問題的學習》一題的研究具有現實意義。[1]

例題1：“已知方程ax2-2x+1=0（a＞0）的兩個根滿足以下條件：其中較小的根小于1，而較大的根在1，3之間。問a的取值范圍。”

解：令f（x）=ax2-2x+1（a＞0），根據已知條件其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”可以得出f（1）＜0，f（3）＞0，進而可以得出a-1＜0，9a-5＞0，從而得出a的取值范圍是a∈

分析與思考：該題目最關鍵的就是要是要找出“其中較小的根大于1，而較大的根在1，3之間”這一已知條件的充分必要條件，所以在解題的過程中可以利用數形結合的數學思想，首先畫出“ax2-2x+1=0”的圖像，然后觀察圖像。

例題2：“m是什么實數的時候，方程x2+2mx+2m+1=0在{x|-4＜x＜0}當中具有兩個不等的實數根？”

解：令f（x）=x2+2mx+2m+1=0，根據題意可知得出：

分析與思考：二次函數根的分布問題是可以分為兩大類的：（1）兩個根分布在統一區間之上的時候，那么在解題的過程中只需要考慮區間端點對應的函數符號就可以了；（2）如果兩根分布在不同的區間上的時候，就需要考慮三個方面的問題，即Δ的符號、區間端點對應的函數值的符號以及對稱軸的范圍。但是需要注意的是，并不是全部而是函數根的分布問題都必須利用該種方法進行解答，在解題的過程中只需要找出函數根分布的其中一個充分必要條件就可以了。

例3：“如果方程x2-mx-m+3=0具有兩個根，且兩個根滿足以下條件：其中一個根處于0和1之間，另一個根在1和2之間，問m的集合。”

解：根據題目中所給出的已知條件，可以得出：

f（0）f（1）＜0，

f（1）f（2）＜0，

（3-m）（4-2m）＜0，

（4-2m）（7-3m）＜0，

可得出2＜m＜7/3。

證明：根據題意可知：f（x）-x=a（x-X1）·（x-X2）

∵0＜x＜X1＜X2＜1/a

∴a（x-X1）（x-X2）＞0

∴當x∈（0，X1）的時候，有f（x）＞x。

又f（x）-X1=a（x-X1）（x-X2）+x-X1=（x-X1）（ax-ax2+1），x-X1＜0

且ax-ax2+1＞1-aX2＞0，

∴f（x）＜X1。

分析與思考：在已知方程f（x）-x=0有來兩個根的時候，根據題目當中所給出的函數與方程之間的關系，就可以得出f（x）-x的表達式，進而也就可以得出函數f（x）的表達式，之后就可以開展證明。

例題5：“已知二次函數f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a＞0），設函數f（x）=x的兩個根分別為X1、X2。問題1：如果已知X1＜2＜X2＜4，設f（x）的對稱軸是x=x0，證明x0＞-1.問題2：如果|X1|＜2，|X2-X1|=2，那么b的取值范圍是什么樣的？”

解：設g（x）=ax2+（b-1）·x+1，那么就有g（x）=0的兩個根是X1、X2。

（1）由于a＞0且X1＜2＜X2＜4，可知4a+2b-1＜0，16a+4b-3＞0，從而得出3+3·將兩式相加可以得出b/2a＜1，從而證得x0＞-1。

（2）由（X1-X2）2=（b-1/a）2-4/a，可以得出

又X1X2=1/a＞0，所以可以得出X1、X2屬于同號；

與X2＜-2＜X1＜0，是等價關系；

與g（-2）＞0，g（0）＞0是等價關系。

最終解得：b＜1/4或者b＞4/7.

分析與思考：在題目當中所給出的已知條件X1＜2＜X2＜4實際上已經給出了函數f（x）=x兩個實數根的區間，所以在解答問題的過程中，可以利用函數的圖像特征進行等價轉換。

結論與反思：

上述5道例題分別代表了高中二次函數根的分布問題的幾種典型題型，希望筆者的思考分析與解答可以為同學們的學習帶去一定的幫助。但是需要注意的是，在學習的過程中，單純掌握解題技巧是不夠的，“萬丈高樓平地起”，我們依然要堅信只有在學習基礎知識的過程中將基礎打牢，在平時的練習中注意積累與總結，才能在解答問題的時候得心應手，提高解題的效率。同時，由于筆者的學識有限，在討論分析問題的過程中難免會有妄自菲薄與不夠深入之處，還望老師與同學給予建議，進而實現共同進步。