邊界條件對相干光位相恢復的影響研究

趙致遠，景文博，鄒歡歡

（1.長春理工大學 光電工程學院，長春 130022；2.長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022）

在相干光條件下，復振幅是光場的空間分布。它包括光強和位相，能夠完整的描述光場信息。光學成像儀器CCD能夠采集到光場的強度信息，但是無法記錄位相信息。如何通過采集到的強度信息來計算出光場的位相信息，是現代光學中要解決的重要問題。常用的位相恢復方法包括干涉測量方法、Pyramid傳感、Hartman傳感、強度傳輸方程（TIE）法和相干衍射成像方法（CDI）法等。干涉測量方法原理是使待測光束和一束參考光進行干涉，以干涉條紋的形式記錄位相信息[1]。該方法測量精度高，但引入了參考光使得光路結構復雜，并且對環境要求苛刻。Pyramid傳感器及Shark-Hartman傳感器的特點是光路簡單并且可測量非相干光的波前，工程化程度高，實時性好，但其測量精度受到微透鏡陣列的結構限制[2,3]。TIE法也可以測量非相干光的波前，但是測量系統中需要添加透鏡，因此在X射線等領域應用受限[4]。CDI技術是一種利用卷積理論和衍射定理，通過菲涅耳衍射面上記錄一幅或多幅光強信息，結合迭代運算恢復位相信息的方法[5,6]。該方法的光路簡單，恢復精度不受光學元件質量限制，且在X射線等領域應用廣泛。本文采用CDI成像系統，采集兩個面的強度圖像且已知兩個面的距離，通過迭代變換算法完成對相干光的位相恢復。其中，兩個邊界條件對恢復精度的影響程度，是本文主要研究的問題。

1 基本原理

相干光無透鏡成像系統如圖1所示。相干光束由相干光出射面射出，傳播距離z后到達U1面，記錄U1面的強度I1。相干光束繼續傳播距離d后到達U2面，記錄U2面的強度I2。通過I1，I2，d及迭代變換算法，恢復相干光位相信息。

圖1 相干光無透鏡成像系統

迭代變換算法流程如圖2所示。迭代的初始復振幅g可用I1和一個隨機位相分布θ0表示：

經過k次迭代，U2面的復振幅可由gk(x)經過角譜傳播后得到：

ASP代表角譜傳播：

在保持位相不變的條件下，將傳播后的強度信息替換成I2結合之后提到的外推法邊界條件得到：

式（4）中的θk(u)是k次迭代的位相估計。然后對替換強度后的復振幅進行逆角譜傳播，結合之后提到的混合輸入輸出法（HIO）邊界條件來形成新的gk+1(x)：

IASP代表逆角譜傳播。該算法遍歷這個循環，直到找到滿足兩個約束條件的輸出，或者算法停滯不前，沒有進一步的進展時結束。這些算法的收斂性通常是由約束誤差來控制的：

式中S表示U1面強度圖像中光斑的區域，在這種條件下算法收斂。

圖2 迭代變換算法

2 邊界條件

2.1 HIO邊界條件

由于CCD相機固有的屬性，在實際采集相干光強度信息時難免會有噪聲的影響。通過一般的濾波處理比如：

雖然迭代可以收斂，但是要避開局部極小值是不可能的，并且使得算法容易陷入停滯。

HIO邊界條件又稱為混合輸入輸出法。在有效區域以外的地方，該算法使用之前的輸入來驅動輸出：

反饋參數β通常在0：5和0：8之間分配一個值。已經證明HIO邊界條件能夠成功地避開局部最小值，是重建復雜圖像的重要工具。

好的結果通常是通過結合使用迭代變換算法和HIO邊界條件來獲得的，在大多數迭代中使用HIO邊界條件來探索解空間，并周期性地執行幾次誤差減少的迭代，以幫助當前的重建穩定下來。雖然這種算法組合已被證明是正確的，但它仍然可能被困在非常持久的停滯模式中，尤其是應用于以最簡單形式的復值圖像重建。

2.2 外推法邊界條件

在現實世界中，由于光學系統的有限孔徑，即使感興趣的對象有一個硬邊界支持，它的圖像都將會有旁瓣出現。在傅里葉空間中，為了繞過旁瓣問題，提出了一種基于加權投影的可控外推技術。外推法邊界條件又稱為外推法[7]。加權投影是通過代替傅里葉變換實現的：

其中W(u)是權重函數：

當W(u)=1時，傅立葉幅度約束被執行；當W(u)=0時，Gk(u)的幅度和位相保持不變；當0＜W(u)＜1時，Gk(u)介于兩種情況之間。公式（1）表示對傅里葉幅度約束的寬松投影。一般而言，數據外推的問題比插值的穩定性差，并且隨著離測量數據越遠，計算的外推就越不確定。因此，使用的權重函數不允許外推在整個計算窗口中自由擴展。在測量窗口之外使用非二進制加權函數可以使算法稍微外推測量數據。目的是為了使傅立葉數據外推足以使其與硬邊對象支持約束一致。這有效地擴展了解決方案的空間，從而包含了衍射限制條件，不需要引入大量的自由參數。

對于本文中的外推技術，HIO的作用是將測量數據嵌入到更大的零點陣列中。加權函數W(u)，如圖3所示。圖3在測量區域內設置為1，以便測量的強度得到執行。在零填充區域中，權重在測量幅度的邊緣處從零開始，并在計算窗口的邊緣處逐漸增加到1。該加權函數允許算法在接近測量數據時自由擴展，并在接近計算窗口邊緣時逐漸減少零幅度，從而允許分析更多測量數據，同時防止纏繞效應。

圖3 權重函數示意圖

3 實驗研究

3.1 實驗系統描述

為了驗證相干光無透鏡成像系統對相干光位相恢復的可行性，以相干光源為例搭建相應的實驗系統，研究了光照充足條件下該系統對靜態像差的探測能力，實驗系統光路圖與實物照片分別如圖4和圖5所示。實驗系統由氦氖激光器，激光衰減組，CCD相機組成。氦氖激光器輸出的光束經過激光衰減組，以保證激光光強在一個合理的閾值。光束在CCD相機上成像并記錄，之后沿光路方向移動CCD相機使光束再次在CCD相機上成像并記錄。

圖4 實驗系統光路圖

圖5 實物照片

3.2 實驗結果

根據上述的兩種邊界條件對迭代變換算法進行改造，形成了新的迭代變換算法。它們分別是只使用HIO邊界條件的迭代變換算法和只使用外推法的迭代變換算法，以及兩種邊界條件相結合的迭代變換算法。利用上述的實驗系統中兩臺CCD采集到的光斑強度圖像如圖6（a）和圖6（b）所示，兩臺CCD的軸向距離d=5mm。通過上述兩幅強度圖像及傳播距離實驗研究三種迭代變換算法對相干光位相恢復的效果并與干涉檢驗方法進行對比。干涉檢驗方法得到的位相結果如圖6（c）所示。

為了研究HIO邊界條件對位相恢復的效果，將公式（9）改寫為：

不經過外推法邊界條件限制的位相恢復的效果如圖6（d）所示，其殘差如圖7（a）所示；為了研究外推法邊界條件對位相恢復的效果，原先HIO邊界條件采用公式（7）。其位相恢復的效果如圖6（e）所示，其殘差如圖7（b）所示；兩邊界條件共同作用的位相恢復效果如圖6（f）所示，其殘差如圖7（c）所示。

圖6 光斑強度圖像

圖7 殘差圖像

位相恢復效果的約束誤差由公式（6）表示。HIO邊界條件的約束誤差如圖8（a）所示，其RMS=0.0189λ；外推法邊界條件的約束誤差如圖8（b）所示，其RMS=0.0096λ；雙邊界條件的約束誤差如圖8（c）所示，其RMS=0.0012λ；結果表明雙邊界條件的限制能有效提高位相的恢復精度。

圖8 約束誤差圖像

4 結論

本文基于相干光無透鏡成像系統，設計了一套雙邊界條件位相恢復方法。該方法有三個特點：（1）該位相恢復方法由于沒有使用透鏡，沒有引入多余的系統誤差，且有較廣的波長適用范圍；（2）該系統搭建光路簡單，對外界環境要求較低；（3）由于雙邊界的限制，該位相恢復系統中的迭代算法魯棒性強，不易停滯且有效限制了傅里葉空間中的旁瓣問題。本文對雙邊界條件進行了誤差分析，結果表明雙邊界條件的限制能有效提高位相的恢復精度。