二次曲線系在圓錐曲線中的應用

羅陽丹

摘 要 眾所周知，解析幾何是高考中的一個重點與難點，對解析幾何知識掌握的好壞與否，一定程度上關乎最終成績的好壞。然而，運算復雜早已成為解析幾何的代名詞，對于考試緊迫的時間，尤其對運算能力不強的學生，能用更短的時間和更小的計算量來解出題目會更有信心完成后面的題。而二次曲線是高中人教版必修2中直線與方程中的一個非主干知識點，不屬于超綱的內容卻在一類題中發揮著不可小覷的作用。在此，筆者介紹圓錐曲線中二次曲線系的應用以解決部分偏難題目。

關鍵詞 二次曲線系 雙直線方程 漸近線聯立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

背景知識：高中二次曲線包括圓、橢圓、拋物線、雙曲線、兩條相交直線（退化的雙曲線）等，其方程為：

對于某些二次曲線的問題，可用二次曲線系方程代定系數，然后通過所求的二次曲線的特定系數要求解出之。

對于二次曲線的一般方程，由圓系方程進一步可知：

結論：過兩個二次曲線C1，C2的交點的二次曲線系可設為。

例1：（2012浙江）如圖分別是雙曲線的左右焦點，B是虛軸的端點，直線與C的兩條漸近線分別交于PQ兩點，線段PQ的垂直平分線與X軸交于點M，若，則C的離心率為 。

標準解答：線段PQ的垂直平分線為MN，，，

兩條漸近線

由

PQ的中點N

令，則

又 即

由以上敘述可知使用將函數與兩漸近線聯立的方法過程繁瑣需要聯立兩次，而且求中點時分母需通分，麻煩易錯。以下運用曲線的方法求解：

構造曲線系得到：（上坐標同時滿足）

設

通過對比可知利用曲線系的知識解題，不僅思路獨特，計算也簡單許多。在簡化題目的同時也體現了更高層次的數學思想。

例2：已知橢圓C的方程，設動直線與定直線 分別交與兩點，若與有且僅有一個公交點，試探究面積是否存在最小值？若存在，求出該值。若不存在，說明理由。

解： （聯立得）

，

由例2可知此題若用分別聯立的方法，過程相當繁瑣，再與距離長度等結合就會形成很長的等式，容易出錯，用曲線系的方法就易于解決。

上述兩題，雖然計算復雜但還沒有到無法解出的程度。但是以下的問題，不用曲線系的方法就幾乎無法解出。

1兩種二次曲線線性組合

例3：（2016武漢二調）設直線與橢圓交于AB兩點，過AB的圓與橢圓交于另外兩點CD，則直線CD的斜率為（-3）

解：設CD： AB：

，，可以設 ， 又可令

則

由于軌跡是圓，則 ∴

分析：以上題目如果使用將ABCD四點求出再用四點共圓的性質求解，難度可想而知，但用曲線系與圓相結合的方法問題就可迎刃而解。

例4：（2011全國高考節選）已知F過橢圓 與橢圓相交于AB兩點，與橢圓交于兩點，試證在同一圓上，并求圓的方程。

解：依題意

同理 故與互補

在同一圓上

以上雖然證明ABPQ在同一圓上，思路簡單但極不易運算，且圓的方程不易求出，而曲線方程的應用使問題迎刃而解。

將聯立：

由于此方程為圓

由以上可知用曲線系的性質不僅能使問題迎刃而解，甚至可以解出一些用常規方法無法解出的問題。

例5：如圖所示，已知橢圓的左右端點分別為，過點的動直線與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問點是否恒在一條直線上，若是，求出這條直線方程，若不是，說明理由。

解：設動直線代入橢圓方程

設

則

則恒在直線上。

新解

由推得

得前系數 前系數

由上可知無論從簡潔度上或思維方法上，用曲線系的方法解題更勝一籌。

歸納：曲線系分為同樣類型函數的曲線系和不同類函數組成的曲線系，但加以利用都可以達到簡化運算、清晰思維的作用，因此學會此類方法對我們是十分有益和重要的。