電磁感應中關于安培力做功與電阻發(fā)熱量關系的討論

陸 球

(常熟市教育局教研室,江蘇 常熟 215500)

圖1

在選修3-2第4章“電磁感應”的教學過程中,能準確分辨電磁感應現(xiàn)象的兩類情況:感生和動生,并熟練掌握其分析解決方法,是日常教學的重點和難點．“棒平動切割磁感線”是一種常見的“動生”模型,最基本的模型結構如圖1所示:兩根光滑的金屬導軌平行水平放置,導軌的左側接有阻值為R的定值電阻,一根長度為L,電阻不計的金屬棒AB,垂直放置在導軌上,整個裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中,現(xiàn)讓金屬棒AB以初速度v0開始向右滑動．

在該模型中,由于安培力的作用,金屬棒AB向右做減速運動,在此過程中,根據(jù)能量守恒可知:金屬棒AB減少的動能轉化為電阻R的發(fā)熱量,即-ΔEk=QR.再根據(jù)動能定理可知W安=Ek.可得W安=-QR.

因此可以得到結論:“金屬桿克服安培力做的功等于系統(tǒng)電阻上的發(fā)熱量”．但該結論能否推廣至一般情況?在感生情況下是否還適用?是否存在限制條件?本文將用兩種方法來討論該問題．

方法1:利用動生電動勢產(chǎn)生的微觀機制來討論.

對于金屬桿AB,考慮桿中的一個電子,其帶電量荷為e,假定某一時刻金屬桿的速度為v,由于金屬桿運動,故電子受到洛倫茲力f1的作用,滿足

f1=evB，

(1)

方向向下(如圖2所示),因此金屬桿A端帶正電,B端帶負電,這就是動生電動勢產(chǎn)生的本質,電子所受洛倫茲力f1為產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力．

圖2

另一方面,由于電子沿桿方向上有定向移動,故其還受到另一洛倫茲力f2的作用,令電子沿桿方向上定向移動的平均速率為v2,則洛倫茲力f2滿足

f2=ev2B，

(2)

方向水平向左(如圖3所示),由于洛倫茲力一定不做功,故

W1+W2=0，

(3)

其中W1與W2分別表示f1與f2做的功.

現(xiàn)考慮多個電子的情況,令金屬桿橫截面積為S,單位體積的電子數(shù)為n,則

Nf2=nSLf2.

(4)

將(2)式代入(4)式可得

Nf2=nSLev2B.

(5)

由電流的微觀定義式可得

I=nSev2.

(6)

將(6)式代入(5)式可得

Nf2=ILB=F安.

(7)

可見金屬桿內所有電子所受洛倫茲力f2的疊加即為金屬桿所受安培力,則

W安=NW2.

(8)

同時,由于洛倫茲力f1為產(chǎn)生動生電動勢的非靜電力,若E電表示金屬桿產(chǎn)生的電能,則

E電=NW1.

(9)

由(3)、(8)、(9)式可知

W安=-E電.

(10)

討論: (1) 由上述過程可知,(10)式在僅有動生電動勢的情況下才成立,因為當有感生電動勢時,電源中的非靜電力除了洛倫茲力f1外還有渦旋電場力,此時E電≠NW1,故(10)式不成立．

(2) 若外電路為純電阻時,電路消耗的電能均轉化為電阻發(fā)熱的內能,滿足

E電=QR.

(11)

故由(10)、(11)式可知W安=-QR.即金屬桿克服安培力做的功等于系統(tǒng)電阻上的發(fā)熱量.

方法2:利用積分運算來討論.

規(guī)定金屬桿前進的方向為正方向,初始時刻t=0時x=0,則

(12)

由(12)式可得

(13)

(14)

可見,利用積分運算也可以得到相同的結論．

總結:由上述討論可以得到結論:在僅有動生電動勢的情況下且外電路為純電阻時,金屬桿克服安培力做的功等于系統(tǒng)電阻上的發(fā)熱量．