長條形鏡面面形擬合技術研究

閆力松，楊甬英，馬冬林，韓西萌

(1.浙江大學 現代光學儀器國家重點實驗室，浙江 杭州 310027； 2.華中科技大學 光電學院，湖北 武漢 430074； 3.中國航天科工集團 第九總體設計部，湖北 武漢 430000)

1 引 言

離軸三反系統[1-5]具有像質好、無遮攔、結構緊湊、高分辨率成像及高能量利用率等優點，越來越廣泛地應用于成像光譜儀[6]、空間相機[7-9]等觀測領域。

離軸三反系統中的主鏡或三鏡通常有一塊為不規則形狀。由于成像視場需求，三鏡及折疊鏡通常為長條形鏡面[2-3]。

由于離軸三反系統的三鏡通常為非球面反射鏡，其最常規的檢測方式為采用補償器或CGH等補償元件進行補償檢測[10-11]。在對準過程中，由于失調，會在檢測結果中引入像散與慧差等像差，從而影響后續加工結果。

在實際檢測中，一般通過標定幾何量確定檢測頂點曲率半徑及離軸量的正確性。而在檢測中，干涉儀自帶軟件Metropro對非圓形鏡面分離像差時會因為不正交產生偏差，尤其對長條形鏡面，該偏差較大。從而會影響裝調中非球面鏡與補償元件間的對準。

Zernike多項式定義域為單位連續圓域，其在異形區域會出現各擬合項不正交情況。國內已有多家單位對此開展過理論研究，南京理工大學的孫文卿等人對非圓孔徑離散采樣點正交化擬合進行了一定的研究，相對于傳統圓域Zernike擬合，其計算速度有所提高[12]；成都光電所對Zernike多項式的回歸擬合算法進行了研究[13],國家天文臺對拋物面的擬合方法進行了理論研究[14]，長春光機所從光學設計、光學加工等方面對光學面形的擬合做了大量的研究[15-19]，同時吉林大學基于矢量矩陣對擬合方法也進行了一定的研究[20]。

然而，上述方法都有其應用條件及局限性，本文針對光學系統中常用的異形鏡面，尤其是長條形光學鏡面提出了一套面形擬合算法，該算法以正交化Zernike多項式[21-22]為基礎。基于該算法可以實現長條形鏡面的面形擬合，用以解決干涉儀自帶軟件Metropro在長條形鏡面擬合時計算不準確的問題。此外，該方法可以分離出像散等像差，對非球面檢測提供指導。

2 擬合算法與檢測原理

2.1 擬合算法

用{Zi}表示一組Zernike多項式，其正交化后結果為{Fi}，則有：

(1)

式中，Mij為轉換矩陣，J為事先定義的項數。則：

〈Fi|Fj〉=δij, (2)

其中，〈A|B〉表示A與B的內積，δij為Kronecker符號。

則：

(3)

其中，i,k=1,2,3…J。式(3)可以寫為：

CZF=CZZMT, (4)

其中，CZF及CZZ均是J階方陣。

對于式(4)，其可以寫為：

(5)

即：

MCZF=1 , (6)

將式(5)帶入(6)，則：

MCZZMT=1 , (7)

令：

M=(QT)-1, (8)

則式(7)可以寫為：

QTQ=CZZ. (9)

由式(8)及(9)即可解出矩陣M，從而對{Zi}完成正交化運算。

求解得到正交化Zernike多項式{Fi}后，對干涉檢測結果進行擬合計算，得到干涉檢測結果：

zj=f(xj,yj) , (10)

式中，j為檢測像素點，zj為檢測點(xj,yj)對應的檢測結果。

則正交化擬合系數C:

C=(FTF)-1FTz . (11)

2.2 檢測原理

長條形離軸鏡面檢測原理示意圖如圖1所示。

圖1 長條形鏡面檢測光路圖 Fig.1 Optical pathway diagram of surface testing for rectangular mirror

干涉儀出射標準平面波，平面波前經過補償器后變為同軸非球面波前，通過調節長條形離軸非球面鏡的位置可獲得鏡面在干涉儀中的檢測結果。檢測中，可通過激光跟蹤儀等輔助測量工具精確標定測試時離軸非球面反射鏡的離軸量，頂點曲率中心距離補償器前端面的距離等參數，保證測量時干涉儀、補償器、離軸非球面鏡位置關系的正確性。

3 實驗驗證

為了驗證本文所述算法的可行性，結合實際工程項目，對一口徑為600 mm×260 mm長條形非球面鏡進行求解計算，光路如圖2所示。

圖2 檢測光路圖 Fig.2 Testing optical pathway setup

實際檢測中，非球面鏡由補償器零位補償檢測，圖1所示的光學反射鏡檢測干涉圖如圖3所示。

圖3 檢測結果 Fig.3 Testing results

在補償器補償檢測非球面鏡的過程中，由于檢測時非球面鏡存在離軸量偏差，通常會在檢測結果中引入像散與慧差。反之，檢測結果中的像散與慧差很可能是由于失調所引入的。如按照面形誤差進行后續加工，則會在加工中出現錯誤而無法實現面形收斂。

利用Zygo干涉儀自帶軟件Metropro對檢測結果進行去像散計算，結果如圖4所示。

圖4 Metropro去像散結果 Fig.4 Results of Metropro anastigmatism

由圖4可以看出，在去像散后，面形未得到收斂，其PV與RMS值分別由5.889λ及1.002λ變為7.448λ及1.725λ。這是因為應用干涉儀自帶軟件Mertorpro進行長條形反射鏡Zernike多項式求解時會由于各項不正交導致計算錯誤。

基于本文所述算法對圖3干涉檢測結果在正交化求解后進行去像散計算，結果如圖5所示。

由圖5可以看出，在去像散后，面形得到收斂，其PV與RMS值分別由5.889λ及1.002λ收斂為4.666λ及0.679λ，驗證了算法的可行性。

圖5 正交化去像散結果 Fig.5 Anastigmatism results of proposed method

4 結 論

本文提出一種通過矩陣求解正交化Zernike多項式面形重構算法，并利用其對長條形鏡面進行擬合計算，將所得結果與Metropro求解結果進行了對比。由于Zygo干涉儀自帶軟件Metropro對異形鏡面，例如長條形鏡面進行多項式擬合時，由于各項耦合會造成裝調誤差與面形誤差的嚴重耦合。在實際檢測中，采用本文算法可以實現二者的有效分離，為光學鏡面的最終面形收斂提供保障。本文所提方法可為計算法輔助裝調提供指導。