探究影響拋石機發射距離的因素

谷鯤 北京匯文中學

1.拋石機的歷史起源

拋石機與弓、弩都是基于拋射技術的武器裝備。弓起源于人類的狩獵活動，在大約3萬年前的遠古時代就已產生，春秋時期的科技著作《考工記》深刻總結了弓箭的制造工藝技術，至今仍值得我們去研究。弩是在弓的技術上所進行的直接技術改造，它由人力拉弦射箭改為裝上箭后由機械力射出，具有更大的威力，弓和弩都是依靠彈性力發射箭矢的。拋石機是一種由人力操縱機械拋射石彈的武器。毫無疑問，弓、弩、砲都是基于拋射技術的發展，是同一種技術的不同發展形式。它們都是利用機械產生的彈力發射箭。矢或石彈，以設計較遠距離的目標。從力學和機械角度而言，弓、弩、砲都屬于彈射類軍事機械，是現代射擊武器的鼻祖。

當我們談到拋石機的起源，不得不提“桔槔”，桔槔是中國民間一種飛常古老的提水裝置，最古老的桔槔可追溯至夏商時代。《莊子》記載：“子貢南游于楚，反于晉，過漢陰，見一丈人方將為圃畦，鑿隧而入井，抱甕而出灌，滑滑然用力甚多而見功寡。子貢曰：‘有械于此，一日漫百畦，用力甚寡而見功多，夫子不欲見乎’為圃者仰而視之曰：‘奈何？’曰：‘鑿木為機，后重前輕，挈水若抽，數如

湯，其名桔槔。’”據此可見，桔槔是一種簡單的機械提水裝置，它通常設立在井或溝渠邊，由兩根木柱支撐著一件橫木，一端系重物（或用手拉），另一端懸以水桶，使兩端上下運動，這樣可以將水桶提至提水者所需的高度。這種裝置直至20世紀還廣泛應用于民間。

桔槔與拋石機在形狀上與技術上都有很大的相似性，都是一根長臂在支點上擺動，利用慣性力提起重物。南朝侯景判斷時，侯景軍：“又于船上置木桔槔，聚茅置火，以燒水柵。”就是用木桔槔裝置來發射點燃的茅草進行火攻。這充分說明桔槔與拋石機在技術上的共性。因此，拋石機在技術上的直接起源就是桔槔。

2.拋石機的力學原理

在討論拋石機的力學原理前，我們首先要明確拋石機的分類。

根據動力來源不同，拋石機大致可以分為3大類：

2.1 人力機

人力機也叫“炮”，它指的是在古代中國出現的人力拋石機。工作方式為多人一同拉下杠桿的一邊拋射另一邊的石彈。炮同時也是中文中對所有種類投石機的泛稱。附有輪子的通常稱行炮車。

中國的拋石機最早出現于戰國時期，是純利用人力的人力拋石機。采用人力在遠離投石器的地方一齊牽拉連在橫桿上的梢（炮梢）。炮梢架在木架上，一端用繩索栓住容納石彈的皮套，另一端系以許多條繩索讓人力拉拽而將石彈拋出，炮梢分單梢和多梢，最多的有七個炮梢裝在一個炮架過，需250人施放。據史料記載，唐朝與高句麗作戰時使用的拋車能拋出300多斤的石料，對高句麗的木制城柵造成重創。

2.2 扭力機

扭力拋石機，其中文名稱又有石弩（義即發射石彈之弩）、投石車、彈射器或弩炮。在古希臘、古羅馬時扭力拋石機即在使用，其依靠扭絞繩索產生力量彈射。彈射桿平時是直立的，桿的頂端是裝彈丸的“勺子”或皮彈袋，桿的下端插在一根扭絞得很緊的水平繩索里。彈射時，先用絞盤將彈射桿拉至接近水平的位置，在“勺子”或皮彈袋里放進彈丸。松開絞盤繩索時，彈射桿恢復到垂直位置將彈丸射出。這種投石機發射時很像驢子再踢腿，所以被稱為“Onager（野驢）”。

2.3 配重機

配重機即重力拋石機、配重式投石機或重型投石車，這是出現在歐洲中世紀的一種投石機，也是最大型的投石機。其利用杠桿原理，一端裝有重物，而另一端裝有待發射的石彈，發射前須先將放置彈藥的一端用絞盤、滑輪或直接用人力拉下，而附有重物的另一端也在此時上升，放好石彈后放開或砍斷繩索，讓重物的一端落下，石彈也順勢拋出，此種拋石機經由伊斯蘭地區傳入中國而被稱作“回回炮”。到了14世紀中期，有的拋石機能拋射將近1000磅（約454公斤）重的彈體，威力巨大。近代試驗表明，吊桿長50英尺（約15.2米），平衡重錘為10噸的拋石機能將200到300磅（約90-136公斤）的石彈拋射約300碼（約274米）的距離。雖然3種拋石機的形式不盡相同，但目標均為令拋石端獲得較大初速度以追求更遠的拋射距離，為了方便計算與分析，這里我們主要討論較易進行變量控制的配重機作為典型來研究。對于拋石機的原理，總結到根源便是：杠桿原理。

拋石機由底座和拋石杠桿兩部分組成，拋石杠桿是整個拋石機的核心部分。杠桿的支撐點不在中心，而是在杠桿的1/8或1/9處，是一個費力杠桿，配重物懸掛的一側為動力臂，相對較短；另一側懸掛拋擲物，為阻力臂。發射時，配重物抬高到一定的位置，拋擲物則置于較低位置，釋放后，配重物受重力作用向下運動，重力勢能減少并轉化為動能和拋擲物的重力勢能，同時克服摩擦做功與裝置的振動能量。理想情況下，杠桿比數越大，用的力量和達到的速度就越大，相對的石頭的重量就越小。

其物理計算部分可以大致分為：

①動力學階段如果是彈射，考慮動量守恒 p'=p 就夠了；如果是轉動拋，考慮轉距力分析(較復雜)。②運動學階段把初始V分成Vx和Vy,水平假設空氣阻力小，f=kv^2,豎直方向g=9.8m/s^2 。聯立分析可以得到結果。

設杠桿長為L，配重物一端的動力臂長為x，拋擲物一端的長是動力臂的n倍，則阻力臂長為nx（單位均為m），x=L/(n+1)。

不妨設配重物降低到最低時，杠桿與地面呈α度。設配重物質量為M,拋射物質量為m，則配重物下降減少的重力勢能為Mg（x+xsinα°）＝(1+sinα°)Mgx＝(1+sinα°)MgL/（1+n）。

增加的能量(即拋出石彈時較準備時多出的能量)有：配重物的動能Mv2/2；拋擲物的動能和重力勢能mgn（x+xsinα°）+ mn2 v2/2＝(1+sinα°)mgLn/（1+n）+mn2 v2/2；

由于動力臂與阻力臂一升一降，桿勢能變化不大，可忽略。轉動能量，設桿的角速度為ω，則桿的轉動能量可用下述公式表示：Iω2/2 ，I為轉動慣量，對于繞一端端點轉動的桿，轉動慣量I＝ml2/3。設動力臂質量為m2，阻力臂質量為m3，則動力臂轉動能量約為m2x2v2/6x2，阻力臂轉動能量則為m3(nx)2v2/6x2。

機械裝置能量的損耗主要是摩擦與振動。設轉動軸承的摩擦因數為μ，則摩擦力矩為μ(M+m+m2+m3)D/2，這里D為滑輪直徑，計算可得該摩擦力矩很小，可用經驗系數0.97-0.99來代替。配重物在下降過程中做圓周運動，根據使用的材料不同會有不同的振動耗能，設損耗系數為β(即損耗后為原來能量的β倍)，則配重物下降帶來的重力勢能能用來做功的部分為(1+sinα°)MgLβ/（1+n）。

將兩端聯立可得：

(1+sinα°)MgLβ/（1+n）=Mv2/2+(1+sinα°)mgLn/（1+n）+mn2 v2/2+m2x2v2/6x2+m3(nx)2v2/6x2

得 到 v2=[(1+sinα °)MgLβ/(1+n)-(1+sinα °)mgLn/（1+n）]/[(M/2)+mn2 /2+m2x2/6x2+m3(nx)2/6x2]

上式便為物理模型中拋石機杠桿部分的工作原理。

在拋石杠桿與石彈脫離時刻之后，石彈經歷的是一個斜拋過程，同樣可以通過物理模型來實現。

設斜拋物運動的發射角為B，則水平速度為vcosB，豎直速度為vsinB，設拋出時的最高點距離地面y0，則

y0=vsinBt-gt2/2

x=vcosBt

解得x=v-(y0+gt2/2)2/v，即為石彈被拋出的距離。

3.影響拋石機發射距離的因素

由第二部分得到的兩個公式：

v2=[(1+sinα°)MgLβ/(1+n)-(1+sinα°)mgLn/（1+n）]/[(M/2)+mn2 /2+m2x2/6x2+m3(nx)2/6x2]

x=v-(y0+gt2/2)2/v

我們可以比較直觀的分析影響拋石機發射距離的因素。

由式2可以看出：

①當石彈的拋出速度v越大；②當拋出時離地面距離y越高；拋出距離越遠。

再看式1，可以得到：

①當杠桿與地面角度α越接近90°；②配重物質量M越重；③石彈質量m越輕；④杠桿長度L越長；⑤杠桿投射端與配重端比例n越大；獲得的拋出速度越大，投射距離越遠。

4.拋石機的仿真實現

為了更好的去除制造因素等額外因素帶來的影響，我選擇使用Matlab對拋石機進行建模，來達到理論上的仿真，驗證第三部分通過對物理模型分析得出的結論。

拋出后石彈軌跡圖

射程與拋射角、初速度的關系可以看到，在忽略其他因素影響的情況下（即理想情況），模擬結果與第三部分分析結果吻合。在后續的研究過程中，還可以考慮加入摩擦、空氣阻力帶來的損耗。

5.總結

本研究性學習從拋石機的歷史起源出發，研究了其演進過程及工作機理，以配重式拋石機為典型建立了力學模型并詳細計算了其力學過程，分析了影響其射程的各個因素以及影響趨勢，并通過數學建模的方式對分析結果進行了驗證。通過本研究性學習，對拋石機的物理屬性有了較為充分的認識。后續還可以進行更為貼近現實的實驗，如加入對彈丸形狀與空氣阻力帶來的影響等等。