函數周期性及其應用

■羅啟明

惠州工程職業學院

函數是中學數學的主體內容，函數的周期性是函數的幾個重要性質之一。對函數的周期性的是在研究三角函數的性質時給出的，對于一般函數的周期性沒有進一步的介紹，因此一般函數的周期性的推導和應用成為很多學生的學習難點。本文通過對一般函數的周期性進行推導及應用，進一步培養學生嚴謹的邏輯思維能力和應用函數思想研究問題、講解問題能力。

1 周期性的定義

對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫周期函數。非零常數T叫做這個函數的周期。

周期函數的周期不止。如果非零常數T是一個函數的周期，那么nT(n∈Z且n≠0)都是這個函數的周期。如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫f(x)的最小正周期。周期通常指的是最小正周期。

2 函數周期性判定的幾個常見結論

2.1 若函數f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)，則f(x)是周期函數，周期T=2|a|。其中 a≠0。

同理可得：若函數f(x)滿足f(x+a)=f(x-b)，則f(x)是周期函數，周期 T=|a+b|。其中 a≠0。

2.2 若函數f(x)滿足f(x+a)=-f(x)，則f(x)是周期函數，周期T=2|a|。其中 a≠0。

2.5 若函數f(x)的圖像分別關于直線x=a，x=b對稱，則f(x)是周期函數，周期T=2|a-b|。其中a≠b。

推導：由條件得f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，于是得f(2ax)=f(2b-x)，將上式中的x用2b-x替換后得f(2a-2b+x)=f(x)，所f(x)以周期 T=2|a-b|。其中 a≠b。

特別地，若函數f(x)是偶函數且圖像關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數，周期T=2|a|。其中a≠0。

2.6 若函數f(x)的圖像分別關于點(a,0)，(b,0)對稱，則f(x)是周期函數，周期T=2|a-b|。其中a≠b。

推導：由條件得f(x)=-f(2a-x)，f(x)=-f(2b-x)，于是得f(2a-x)=f(2b-x)，將上式中的x用2b-x替換后得f(2a-2b+x)=f(x)，所f(x)以周期 T=2|a-b|。其中 a≠b。

2.7 若函數f(x)的圖像分別關于點(a,0)和直線x=b對稱，則f(x)是周期函數，周期T=4|a-b|。其中a≠b。

推導：由條件得f(x)=-f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，于是得f(2a-x)=-f(2b-x)，將上式中的x用2b-x替換后得f(2a-2b+x)=-f(x)，所f(x)以周期 T=4|a-b|。其中 a≠b。

特別地，若函數f(x)是奇函數且圖像關于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數，周期T=4|a|。其中a≠0。

對于5、6、7三條結論，可以利用正弦函數或余弦函數圖像來進行理解和記憶。

3 函數周期性的應用舉例

例1 設f(x)是R上的奇函數，滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)=（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

解 析：∵f(x+2)=-f(x) ∴f(x+4)=f(x)

∴f(x)是以4為周期的周期函數∴f(6)=f(2+4)=f(2)

∵f(x+2)=-f(x)，且f(x)是R上的奇函數

∴f(2)=-f(0)=0，故選答案B

點評：

例2 若函數f(x)的最小正周期4，而f(2+x)=f(2-x)對于一切x∈R成立，則f(x)（ ）

是奇函數而非偶函數 B. 是偶函數而非奇函數

是奇函數又是偶函數 D. 不是奇函數也不是偶函數

解 析：∵T=4，且f(2+x)=f(2-x)（x∈R）

∴f(x)=f(4+x)=f(2+2+x)=f(2-2-x)=f(-x)

即 f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函數，故選答案B

例3已知偶函數的圖像關于直線x=1對稱，且x∈[3,4]時，f(x)=2x-1，則x∈[14,15]時，f(x)的解析式為

解析：當x∈[-4,-3]時，-x∈[3,4] ∴f(-x)=-2x-1

又f(x)為偶函數，∴f(x)=2x-1，即x∈[-4,-3]時，f(x)=2x-1

由條件得f(-x)=f(x)及f(x)=f(2-x)，于是f(-x)=f(2-x)

∴f(x)=f(2+x)∴f(x)是以2為周期的周期函數

當x∈[14,15]時，18-x∈[-4,-3]，∴f(x-18)=-2(x-18)-1

又f(x-18)=f(x)∴x∈[14,15]時，f(x)=-2x+35

A. f(sinα)＜f(cosβ) B. f(sinα)＞f(cosβ)C. f(sinα)=f(cosβ) D. 以上答案均有可能

∴ 是周期為2的周期函數

∴f(2017)=f(2018-1)=f(-1)，f(2018)=f(0)

∵f(x)在區間(2017,2018)上單調遞增，

∴f(x)在區間(-1,0)上單調遞增。

又f(x)是偶函數，∴f(x)在區間(0,1)上單調遞減

∵α,β是銳角三角形的兩個內角