也談中考數(shù)學(xué)中的“K形相似”

摘 要：通過對中考數(shù)學(xué)試題的分析，在常見幾何圖形和函數(shù)圖像中抽象分離出 “K形相似”模型，研究解決問題的方法策略，理解模型的本質(zhì)，并落實在日常的教學(xué)之中.

關(guān)鍵詞：K形相似；顯性與隱性；展望與思考

作者簡介：張新尚（1970-），男，江蘇睢寧人，本科，中學(xué)高級教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)和命題研究.

“K形相似”問題也稱“一線三等角”問題，其獨特的條件和結(jié)論，為我們所熟知，并從不同的角度對其進(jìn)行了研究它通常融于常見的幾何圖形和函數(shù)圖像中，能夠有效地考查學(xué)生對核心知識的掌握程度以及分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)能力由于其立意新穎、綜合性強(qiáng)、可信度高、數(shù)學(xué)思想豐富等特點，受到各地中考命題專家的持續(xù)青睞筆者對徐州市2010-2018年連續(xù)九年的中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)“K形相似”問題考查了8次之多！以翻折、旋轉(zhuǎn)等變換方式和常見的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等為背景，綜合直角三角形、等腰三角形、圓、矩形、菱形、正方形等基本幾何圖形，對該類數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用進(jìn)行考查 本文從中選取部分試題，從“顯性和隱性”兩個方面對“K形相似”問題進(jìn)行賞析，探尋分析、解決問題的方法，以期發(fā)現(xiàn)某些共性，更好地服務(wù)于教學(xué).

當(dāng)PB與⊙C相切時，PB與y 軸的距離最大，OE的值最大，

賞析 本題以學(xué)生熟悉的、簡單的二次函數(shù)和圓為背景，求函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)、直角三角形的存在性以及線段的最值，題目易于入手，也給學(xué)生一定的親切感正是直角三角形的存在性，使得“K形相似”模型逐漸浮出水面，隨著問題的深入，思維含量也越來越高，可以說是近年來壓軸題中的優(yōu)質(zhì)試題.題目考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、直角三角形、勾股定理、直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的中位線等同時，又包含著豐富的數(shù)學(xué)思想，諸如函數(shù)思想、模型思想、轉(zhuǎn)化、分類討論和數(shù)形結(jié)合等等，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用知識的能力例6、例7和例8實質(zhì)都是直角三角形的存在性問題，解決的方法上都是利用直角構(gòu)造“K形相似”模型，有著異曲同工之妙.

從復(fù)雜的圖形中分離出“ K形相似”模型就是利用方程或函數(shù)等來表示數(shù)量之間的關(guān)系或變化規(guī)律縱觀徐州市連續(xù)多年的中考試題，既有把模型融入在圖形的變換方式中，又有在幾何圖形和函數(shù)圖像中 若三個相等角（更多的是直角）的頂點在同一條直線上時，易于找出相似三角形；若只有一個或兩個直角時，可以構(gòu)造出“K形相似”當(dāng)點在幾何圖形上時，根據(jù)相似模型，利用相似三角形的性質(zhì)求出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)點在函數(shù)圖像上時，不妨根據(jù)函數(shù)表達(dá)式設(shè)點的坐標(biāo)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出點的坐標(biāo) 當(dāng)然，在運(yùn)用模型解決問題時，常常會借助勾股定理等知識進(jìn)行求解，同時注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、方程、參數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法的恰當(dāng)運(yùn)用

三、展望與思考

從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形是學(xué)生必備的重要能力之一近年來的各地中考數(shù)學(xué)，幾乎每一份試卷都有運(yùn)用“K形相似”模型解決問題的試題，既要求學(xué)生有敏銳的幾何直觀能力，把模型從復(fù)雜的圖形中抽象分離出來，又能綜合運(yùn)用其它的知識以及數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，在掌握知識與技能的同時，積累思維和實踐經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

展望未來，這類問題依然會受到命題專家的青睞. 這類問題中的直角還有進(jìn)一步隱蔽的趨勢，例如利用直線與圓相切、直徑所對的圓周角、等腰三角形的“三線合一”等方式呈現(xiàn)，重點考查學(xué)生對初中核心數(shù)學(xué)知識掌握情況以及分析問題、解決問題的能力當(dāng)然，也可以是其它的特殊角，例如把30°、60°、45°角等融入其中，綜合銳角三角形函數(shù)、勾股定理、相似三角形等知識，充分體現(xiàn)“抽象、推理、模型、運(yùn)算能力、直觀想象” 等方面的能力要求.

各地的中考命題對教學(xué)起到了導(dǎo)向的作用在平時的教學(xué)中，要注重基礎(chǔ)知識的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識的理解運(yùn)用，體會知識之間的相互聯(lián)系，還要有意識的培養(yǎng)學(xué)生對基本題型和基本圖形的敏銳觀察力，借給學(xué)生“數(shù)學(xué)慧眼”，發(fā)展基本模型識別和提煉的能力，積累和展現(xiàn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，從過程中提煉方法，從方法中感悟思想，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升，只有這樣才能有利于學(xué)生的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 王爍2017年中考“函數(shù)”專題解題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2018（1/2）：66-77.

[3] 張新尚“變幻能測”的三角板[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2009（2）：48-51.

[4] 李玉榮走進(jìn)壓軸題的“一線三等角”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（初中版），2017（5）：55-58.