基于多重分形的瀝青混合料空隙分布特征分析

2018-12-11 06:26:12周興林李慶豐肖神清

重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2018年12期

周興林，李慶豐，肖神清

(武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，湖北武漢 430065)

0 引言

瀝青混合料內(nèi)部空隙的分布特征是影響其力學(xué)性能的關(guān)鍵因素[1]。通過(guò)CT掃描及圖像處理等技術(shù)對(duì)空隙率進(jìn)行分析，是瀝青混合料細(xì)觀研究的熱點(diǎn)。瀝青路面的高溫穩(wěn)定性、低溫抗裂性、水穩(wěn)定性、抗滑性等直接受瀝青混合料的空隙狀態(tài)影響[2-10]。因此，尋求瀝青混合料空隙的表征方法，對(duì)于提高瀝青混合料的路用性能，實(shí)現(xiàn)可視化礦料級(jí)配設(shè)計(jì)具有重要的研究意義。

E. MASAD等[11]通過(guò)CT掃描技術(shù)研究瀝青混合料空隙分布狀況，其研究表明，旋轉(zhuǎn)壓實(shí)(SGC)方法成型的瀝青混合料試件，其內(nèi)部空隙沿試件高度方向呈現(xiàn)出“兩端大，中間小”的分布趨勢(shì)，而壓實(shí)方法是影響空隙分布的重要因素。A.BOZORGZAD[12]、王聰?shù)萚13]通過(guò)圖像分析等方法證明了采用兩端壓實(shí)的方法可使空隙分布更均勻。裴建中等[14-15]采用多種參數(shù)描述空隙的豎向分布特征，結(jié)果表明，參數(shù)沿深度方向分布規(guī)律較為一致。張倩[16]、吳文亮等[17]驗(yàn)證了空隙率層位呈兩頭大中間小的分布趨勢(shì)，證實(shí)了瀝青混合料微觀結(jié)構(gòu)的非均勻性。郭乃勝等[18]提出3段法分析空隙分布規(guī)律，并基于此建立了瀝青混合料空隙率預(yù)測(cè)方法。L.B. WANG等[19]證明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可檢測(cè)到數(shù)據(jù)之間的隱藏關(guān)系，前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可有效估計(jì)混合料的空隙率。上述文獻(xiàn)中的空隙率指標(biāo)如空隙等效直徑、空隙面積、空隙數(shù)量等不能全面描述空隙分布的狀態(tài)，空隙率指標(biāo)相同的試件，其空隙分布情況和力學(xué)性能均可能存在較大差異。

研究表明，瀝青混合料的級(jí)配組成、集料分布以及集料組成的邊界輪廓和空隙形狀都在一定尺度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性[20]，即具有分形特性。分形是定量描述自然界不規(guī)則現(xiàn)象或物體的一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，它用于表示在每個(gè)尺度范圍內(nèi)都顯示重復(fù)的圖像。文獻(xiàn)[7、21]提出用空隙分形維數(shù)表征空隙分布的復(fù)雜程度，分形維數(shù)越大，則空隙分布越復(fù)雜。但單分形維數(shù)只能反映出物體的全局特征而不能表征局部奇異性[22]，且不同方法求出的分維數(shù)也不相同。因此，筆者提出應(yīng)用多重分形理論從局部刻畫空隙分布的奇異性，擬采用數(shù)字圖像技術(shù)對(duì)瀝青混合料試件的CT掃描圖像進(jìn)行處理，分析空隙分布的多重分形特性，定量描述空隙分布的復(fù)雜程度，并研究空隙特性對(duì)瀝青混合料劈裂強(qiáng)度的影響。

1 多重分形譜計(jì)算方法

多重分形是基于單重分形定義的由多個(gè)標(biāo)量索引的單一度量的集合。它通常由廣義分形維數(shù)和多重分形譜表示。多重分形譜則是由隨著多重分形測(cè)度變化的一組連續(xù)數(shù)值組成的曲線。

1.1 多重分形譜的參數(shù)

單分形的參數(shù)只有分形維數(shù)，用D表示。而多重分形的參數(shù)則分為[23]：α、Δα、f(α)、Δf、f(α)max。為方便計(jì)算，將分形體整個(gè)圖像的尺度設(shè)為1，用邊長(zhǎng)為ε(0<ε<1)的正方形網(wǎng)格覆蓋圖像。奇異性標(biāo)度指數(shù)α反映了每個(gè)小方格的奇異程度，用于表征分形體的復(fù)雜性，它也可以看做是某個(gè)小方格的分形維數(shù)，即局部分維。不同α組成的序列用于表示分形體的多重分形維數(shù)，即多重分形譜f(α)。多重分形譜譜寬Δα=αmax-αmin,它可以從局部描述路面構(gòu)造分布的非均勻性。多重分形譜的最大高差Δf=f(αmin)-f(αmax),它則是從空隙集中與分散的角度局部反映空隙率分布的不均勻性。

1.2 計(jì)算方法

把經(jīng)過(guò)圖像處理后的二值圖像劃分成邊長(zhǎng)為ε的N(ε)個(gè)單元[24]，那么第i個(gè)單元的概率測(cè)度為：

(1)

式中：∑Bi(ε)為所有單元的黑色像素之和；i=1,2,…，N(ε)。

構(gòu)造q階矩下的配分函數(shù)：

(2)

在無(wú)標(biāo)度自相似區(qū)域中，χq(ε)與ε之間存在如下冪律關(guān)系:

χq(ε)～ετ(q)

(3)

式中：τ(q)為log2χq(εi)用log2εi函數(shù)擬合后得到的直線斜率，稱為質(zhì)量指數(shù)。

對(duì)τ(q)和f(α)進(jìn)行勒讓德變換：

(4)

式中：f(α)為多重分形子集的分形維數(shù)連續(xù)譜，在單重分形中，是一個(gè)定量，在多重分形中，其是單峰曲線。

以奇異性標(biāo)度指數(shù)α的角度[25],如果區(qū)間[α,α+dα]中，存在概率測(cè)度值為P的單元個(gè)數(shù)為Ni(α)：

Ni(α)～ε-f(α)

(5)

那么有：

(6)

式中：f(α)為α的分維數(shù)。

將上述公式整理可得：

(7)

(8)

由式(7)可知，多重分形譜譜寬Δα用于表征整個(gè)分形體概率測(cè)度分布不均的水平，其值越大，表明物體表面分布的越不均勻。

由式(8)知，多重分形譜兩端高差Δf用于統(tǒng)計(jì)最大概率子集數(shù)量Nαmin與最小概率子集數(shù)量Nαmax的比值。若Δf>0,也就是Nαmin>Nαmax，則多重分形譜的圖像為“左鉤狀”；若Δf<0，意味著Nαmin

由式(2)知，q=0時(shí)，所研究的物理量則與概率測(cè)度無(wú)關(guān)，多重分形譜圖像上存在一個(gè)峰值fmax，由式(4)可知，fmax=-τ(0)=D，D為豪斯多夫維數(shù)，也即計(jì)盒分形維數(shù)，它是描述研究對(duì)象填充空間的能力[26]。

2 瀝青混合料空隙分布的多重分形特性

2.1 數(shù)字圖像處理

通過(guò)飛利浦BrillianceTM型醫(yī)用CT機(jī)獲取瀝青混合料試件掃描圖像，CT機(jī)有效檢測(cè)厚度為10 mm，空間分辨率為0.5 mm×0.5 mm，設(shè)定掃描間隔為3 mm。舍棄兩端因CT數(shù)異常[13]而亮度異常的圖片，選取4 cm × 4 cm的區(qū)域，像素為512×512。通過(guò)特征識(shí)別、圖像分割、邊界提取處理等過(guò)程對(duì)CT圖像進(jìn)行預(yù)處理，使得空隙與集料和瀝青膠漿有明顯區(qū)別。根據(jù)圖像的灰度直方圖確定分割閾值，將掃描圖像二值化。二值圖中，黑色為空隙部分，白色為集料與瀝青膠漿。

圖1 瀝青混合料CT掃描圖像二值化過(guò)程Fig. 1 Binarization of CT scanning image of asphalt mixture

采用醫(yī)用CT橫向掃描瀝青混合料試件，獲取AC-13、AC-16、AM、AT試件掃描圖像。表1中，選取各類型瀝青混合料的一張CT圖像，列出空隙分布二值圖。采用MATLAB函數(shù)計(jì)算面空隙率。

表1 瀝青混合料試件CT圖像二值圖Table 1 CT binary image of asphalt mixture specimen

2.2 空隙分布的多重分形特性

以路面空隙二值圖中的黑色像素作為研究對(duì)象，以“0”表示，同時(shí)用“1”代表白色像素。使用MATLAB軟件求得概率測(cè)度Pij(ε),然后解算配分函數(shù)χq(ε),做出ε-χq(ε)的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖logε-logχq(ε)。如圖2，圖2(a)和圖2(b)是AC-13和AM的logε-logχq(ε)圖，階數(shù)以-8～8為例。由圖可知，ε=26～29，也就是盒子像素為26～29時(shí)，二者有良好的線性關(guān)系。

圖2 ε-χq(ε)的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)Fig. 2 Double-logarithmic coordinates of ε- χq(ε)

分析圖2發(fā)現(xiàn)，在q值一定的情況下，logε-logχq(ε)近似為線性關(guān)系，這表明空隙分布具有分形特征；q值不同，斜率也不相同，這證實(shí)了CT掃描二值圖像有多標(biāo)度特性。因此，瀝青混合料空隙分布有多重分形特性。

要使二值圖中的黑色像素的多重分形譜更加穩(wěn)定，可繼續(xù)計(jì)算，求得f(q)和α(q)隨q值變化的曲線。由圖可知，當(dāng)q<0時(shí)，f(q)隨q遞增；當(dāng)q>0時(shí)，f(q)隨q的變化變得平緩；當(dāng)q=0時(shí)，f(q)有最大值。α(q)隨q遞減，曲線兩邊的變化趨勢(shì)較為平緩。這說(shuō)明，Δα的值會(huì)隨著q的取值范圍擴(kuò)大而變大，但這種變化會(huì)隨著q越來(lái)越大而變小，此時(shí)多重分形譜趨于穩(wěn)定。若q值每變大或變小1，Δα相應(yīng)的變化率低于0.2%，譜寬不再發(fā)生變化，此時(shí)即可確定q的取值范圍[27]。

圖3 α(q)和f(q)隨q變化Fig. 3 Variation of α(q) and f(q) changing with q

2.3 結(jié)果及討論

q階矩取-10～10時(shí)，各混合料的多重分形譜均趨于穩(wěn)定。4種類型的多重分形譜圖像如圖4。圖4(a)為AC-16上4層的多重分形譜；圖4(b)為AC-16中4層的多重分形譜；圖4(c)為AC-16下4層的多重分形譜；圖4(d)為AC-13、AC-16、AM、ATB試件中面層的多重分形譜。相同類型的瀝青混合料空隙分布多重分形譜大致相似。圖5為4種類型瀝青混合料的多重分形譜參數(shù)和面空隙率擬合圖。圖6為12張AC-16瀝青混合料CT掃描圖的多重分形譜參數(shù)圖。

圖4 瀝青混合料空隙分布多重分形譜Fig. 4 Multifractal spectrum of asphalt mixture void distribution

多重分形譜峰值fmax即為黑色空隙部分的分形維數(shù)D0，其反映了空隙填充空間的能力。對(duì)面空隙率和fmax進(jìn)行線性擬合、多項(xiàng)式擬合和對(duì)數(shù)擬合，如圖5。

圖5 面空隙率與多重分形譜峰值fmax 擬合Fig. 5 Fitting of the surface void and the peak value of multifractal spectrum fmax

從圖5中可知，對(duì)于空隙率較小的AC、ATB和空隙率較大的AM，多重分形譜的峰值fmax都會(huì)隨混合料的空隙率變大而增大，也就是說(shuō)空隙分布情況會(huì)隨著瀝青混合料空隙率變大而變復(fù)雜，空隙的分形維數(shù)也會(huì)變大。由此說(shuō)明，多重分形譜的峰值fmax可定量描述空隙率的大小及分布復(fù)雜程度。對(duì)于3種擬合方式，考慮空隙填充空間的極限情況，即空隙率為100%時(shí)，多重分形維數(shù)應(yīng)為2。線性擬合中，取空隙率為100%時(shí)，fmax=3.877 4；多項(xiàng)式擬合中，fmax=-9.107 9；對(duì)數(shù)擬合中，fmax=2.086 6，因此，對(duì)數(shù)擬合最能準(zhǔn)確刻畫面空隙率與多重分形譜峰值的關(guān)系。

多重分形譜譜寬Δα可從局部反映概率分布的非均勻性，Δα越小，則證明空隙分布更均勻。基于譜寬Δα能對(duì)空隙分布進(jìn)行定量化表征。而分形維數(shù)高差Δf表示的是最大概率子集數(shù)量與最小概率子集數(shù)量之比，也就是黑色空隙區(qū)域像素多的單元數(shù)目與少的單元數(shù)目之比。Δf越大，表明黑色像素較集中的單元數(shù)目相對(duì)較稀少的單元數(shù)目越多，間接反映出了分布的不均勻性，AC-16瀝青混合料多重分形譜參數(shù)如圖6。

圖6 AC-16瀝青混合料多重分形譜參數(shù)Fig. 6 Multifractal spectral parameters of AC-16 asphalt mixture

由圖6可知，Δα與Δf沿AC-16試件高度方向變化規(guī)律基本一致，但變化趨勢(shì)較復(fù)雜，無(wú)明顯規(guī)律。這是因?yàn)槎嘀胤中巫V參數(shù)只能從局部反映空隙分布的不均勻程度，而不能反映空隙率的大小。

3 空隙特性與劈裂強(qiáng)度的關(guān)系

以瀝青混合料AC-16為例，研究空隙特性對(duì)瀝青混合料劈裂強(qiáng)度的影響，試驗(yàn)在15 ℃和25 ℃下進(jìn)行。

成型馬歇爾試驗(yàn)，有效試件10個(gè)，空隙分布特征不同的瀝青混合料在15、25 ℃時(shí)的劈裂試驗(yàn)結(jié)果如表2。

表2 15、25 ℃劈裂強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Splitting strength test results at 15 ℃, 25 ℃

表2中Δα′為試件分層掃描后所求得的多重分形譜寬度均值，fmax′為分層掃描后所求得的多重分形譜峰值均值。這兩個(gè)參數(shù)可表征試件空隙特性。從表2中不難看出，Δα′和fmax′與劈裂強(qiáng)度均沒(méi)有明顯關(guān)系，單從這兩個(gè)參數(shù)并不能反映劈裂強(qiáng)度的大小。因?yàn)棣う痢鋬H能反映空隙分布的均勻性程度，而劈裂強(qiáng)度還與空隙率有關(guān)，空隙率對(duì)劈裂強(qiáng)度的影響不容忽視。為此，根據(jù)瀝青混合料空隙分布的特性，考慮以能反映空隙率大小的fmax′為調(diào)整系數(shù)對(duì)Δα′進(jìn)行調(diào)整，提出參數(shù)Δα″=fmax′·Δα′，Δα″與劈裂強(qiáng)度之間的關(guān)系如圖7。

由圖7可知，參數(shù)Δα″與劈裂強(qiáng)度之間具有良好的線性關(guān)系，劈裂強(qiáng)度隨Δα″的增加而單調(diào)遞減。這表明，在其他條件一定的情況下，劈裂強(qiáng)度受空隙率與空隙分布的綜合影響，空隙率越大，空隙分布均勻性越差，則劈裂強(qiáng)度就越小，提出的參數(shù)Δα″可以很好的預(yù)測(cè)瀝青混合料的劈裂強(qiáng)度。