基于效用風險熵的多情景混合型風險決策方法及應用

宋之杰,王 浩,趙紅美,陳業華

(燕山大學經濟管理學院,河北 秦皇島 066004)

0 引 言

在經濟管理、軍事與工程系統等相關領域,決策過程中可能存在方案的結果情景狀態不確定的情形,此類風險決策問題具有極其廣泛的實際背景和較為重大的研究價值[1-2]。近年來,風險型決策方法的研究成為科學決策的重要組成部分,并取得較多成果[3-4]。

風險和效用在決策分析中一直是緊密關聯的兩個概念,多情景的風險決策或方案選擇過程中,決策者對屬性值可能會存在一定的預期[5],將其視為完全理性的期望效用理論得到廣泛研究[6-8]。而實際中決策者行為大多是有限理性的,文獻[9]提出隨機多屬性的風險決策方法,結合隨機占優和決策者期望水平,基于兩兩方案間的隨機占優關系選擇最滿意而非效用最大的方案。決策者有限理性行為更多地考慮其心理特征,前景理論的價值函數相對于期望效用理論更加符合決策實際[10]。文獻[11]將決策者心理行為引入到給定期望的風險決策中,通過構建相對期望參照點的風險收益與損失矩陣,依據前景決策矩陣計算各方案的前景值;文獻[12]依據累計前景理論,基于決策者不同時期對各參照點心理感知價值,集結方案各屬性和不同時期的綜合前景值,構建了一種動態決策方法。

針對特定風險決策問題,上述文獻在一定程度上給出了相應的決策依據。但是,在期望效用理論與前景價值函數的風險決策中,鮮有直接度量風險函數的研究,而信息熵是不確定性度量的最直接方式[13]。文獻[14]基于古典風險決策模式,構建期望效用-熵(expected utility-entropy,EU-E)的風險測度模型,解決了著名的Allais悖論;文獻[15]考慮決策者的不完全偏好信息,基于熵最優權重提出了加權多屬性效用模型;文獻[16]在極端事件不確定環境下,引入累積前景理論的多分位數效用模型,基于熵準則判斷決策者主觀不確定性態度;文獻[17]構建了基于熵測度的理想解排序法,有效消除了屬性權重評分過程中的主觀性,測度了不同類型權重的敏感性。目前,熵理論大多用于多屬性權重的度量,方案選擇的規則主要依據期望效用值或綜合前景值的大小排序,而將熵理論直接用于度量風險態度和效用函數,考慮決策者心理行為因素,如何與前景理論相結合構建純粹的風險度量模型值得深入地探究[18]。

基于此,本文通過分析和總結多情景風險決策過程中的決策信息結構特征,針對決策者期望與各屬性值為確定數、區間數和語言短語混合存在的復雜情形,提出一種基于效用風險熵的多情景混合型風險決策的新方法,考慮決策者的心理行為特征而引入前景理論價值函數,將風險概率和效用價值函數有效地聯合,在此基礎上給出效用風險熵的度量準則,最終依據方案總體風險不確定性的大小進行排序。

1 問題的描述

為了直觀說明多情景混合型風險決策問題,圖1以決策樹的形式對Ai方案面臨多結果情景及相關變量進行了描繪。通過對多情景風險決策問題深入分析和總結,發現方案的執行情形和結果情景(發生概率和屬性結果價值)雙因素對風險決策影響顯著。基于多情景決策過程中信息結構特征,可歸納出如下兩類決策模式。

模式1(同概率不同結果) 結果情景發生的概率不受備選方案的影響,但選擇不同備選方案在不同結果情景下的屬性值不同。例如,項目投資選擇各備選方案(見算例1),市場行情結果情景最終狀態可能發生的概率,具有不確定性且不受任何方案選擇的影響,但在不同市場行情的結果情景下,各投資方案的屬性值不同,即良好行情或較差行情下的投資方案實施的效果不同。該模式下的決策信息可轉化為數學語言為

(1)

式中,i1≠i2。

圖1 多情景混合型風險決策問題Fig.1 Problems of multi-scenario hybrid risk decision

模式2(同結果不同概率) 實施備選方案后的屬性值不受結果情景的影響,表現為不同結果情景下屬性值相同,而實施不同方案下最終結果情景的發生概率不同。例如,在火災或疫情應對決策過程中(見算例2),事故最終發展可能出現的結果情景(嚴重或不嚴重),一般具有穩定的標志性結果,同一等級事故的結果情景下實施備選方案后的屬性值不變,但實施備選方案下結果情景發生的可能性不同。該模式下的決策信息可簡化為數學語言為

(2)

式中,i1≠i2。

(max{(t-1)/T,0},t/T,min{(t+1)/T,1})

(3)

下面將要解決的問題是依據上述既定參數條件,如何構建一個決策方法,對不同方案的總體風險進行度量并以此進行排序,確定最優方案。

2 決策方法

為了解決上述風險決策問題,在此提出基于效用風險熵的多情景混合型風險決策方法。考慮決策者心理行為特征,依據既定的期望參照點將屬性值矩陣轉化為決策者心理感知的益損矩陣,通過簡單加權,計算各結果情景下的綜合效用價值;綜合考慮結果情景的價值及結果情景發生概率的雙因素作用,給出效用風險系數,基于構建的效用風險函數和效用風險熵對各方案的整體效用風險進行度量并排序。決策方法的具體描述如下。

2.1 綜合效用風險價值的計算

實際決策中,決策者心理行為具備參照依賴、風險規避與損失效應等不同特征[20-21],往往依據決策者期望參照點的心理感知效用“損益值”進行決策。因此,將決策者對各屬性值的期望作為可視化的參照點,即參照點為期望向量,E=(E1,E2,…,EK)(k=1,2,…,K),且期望參考點和屬性值的數值形式一致。

當屬性Ck∈C′時,即確定數的規范化公式為

(4b)

當屬性Ck∈C″時,即區間值的規范化公式為

(5b)

當屬性Ck∈C?時,語言短語的規范化公式為

(6b)

在此,直接依照式(3)轉變成三角模糊數即可。

然后,引入前景理論中的價值函數[10],依據期望參照點與各屬性的結果值比較,來衡量決策者對各屬性值心理感知的“收益”或“損失”。針對不同類型屬性值與期望參照點的比較方式,具體情形如下:

(3)當屬性Ck∈C?時,直接比較語言短語的優劣關系即可。

基于各屬性結果值與期望參照點間的歐氏距離,依據前景理論[10],計算各屬性值相對于期望參照點的價值函數,其公式為

(7)

(8)

(9)

在式(7)中,α和β(α≥0、β≤1)代表決策者對益損值心理所感知的“收益”或“損失”效用價值函數的敏感度,決策者感知“收益”時為凹性函數,其表現為風險厭惡;感知“損失”時為凸性函數,其表現為風險追求。當α與β取值越大時,決策者心理感知益損值的效用價值函數越敏感,符合決策者對益損值的敏感性遞減的特征;λ(λ≥1)表現了決策者心理感知益損值的“損失”相比“收益”更敏感(損失規避)的心理特征,λ取值越大,表現為決策者對心理感知的“損失”規避程度越大[20-21]。

在此基礎上,通過簡單加權原則,計算出實施Ai時發生Sj的綜合價值函數為

(10)

2.2 效用風險熵的測量及排序

針對風險決策問題,文獻[22]提出了熵理論來定量描述信息量及風險度量,假設事件有多個狀態,而狀態ai(i=1,2,…,n)以概率pi(i=1,2,…,n)出現,則將狀態ai的不確定程度

I(ai)=-lnpi,i=1,2,…,n

(11)

稱為該狀態的概率風險,度量其發生風險的大小。

將事件平均不確定性程度的測度函數[14]

(12)

同理,針對多情景的復雜風險決策問題,設Ai方案下發生結果情景Sj的概率矩陣為[pij]n×m,則測度各方案平均不確定性程度的函數可表示為

(13)

在現實風險決策問題中,風險大小不僅源于各結果情景發生的不確定性,也與其效用價值密切相關。任意兩個結果情景的價值函數相同而結果情景發生概率不同,或結果情景發生概率相同而結果情景的效用價值不同時,決策者感知的風險均不同。由式(13)可知,風險熵主要由發生概率的空間結構決定,忽略了各方案發生結果情景的屬性值效用價值對決策者所感知風險的影響。因此,通過構建一個確定量來綜合考慮各結果的效用價值和結果情景發生概率的雙因素作用,對于客觀衡量方案的總體風險大小而言十分必要。

對此,結合式(10)中考慮決策者心理行為的綜合價值函數uij,將Ai方案下發生結果情景Sj的實際效用

vij=uij·pij,i=1,2,…,n,j=1,2,…,m

(14)

稱為決策者對于Ai方案下發生結果情景Sj心理感知的效用風險價值。

式(14)提出的效用風險價值是uij和結果情景發生概率pij相乘的結果,涵蓋了二者的綜合作用,反映了結果價值風險感知的實際效用。需進一步說明的是,當決策信息為“同概率不同結果”模式1時,依據式(1)可推導效用價值的表達式為vij=uij·p·j;當決策信息為“同結果不同概率”模式(2)時,依據式(2)可推導效用價值的表達式為vij=u·j·pij。

考慮式(13)中0≤pij≤1,故針對各方案效用風險的熵測度,需要將實際效用風險價值進行歸一化處理,簡稱為效用風險系數,即

(15)

(16)

因此,需要構建一個確定量來測度方案的總體不確定性程度,即針對可能發生多結果情景的方案Ai,其總體效用風險不確定性的測度函數

(17)

稱為效用風險熵。

(18)

由上述分析,可總結基于效用風險熵的多情景混合型風險決策方法的主要步驟如下:

步驟2由式(7)～式(10)計算綜合效用價值uij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m);

3 算例分析

3.1 算例

例1以文獻[11]中新產品開發項目風險投資的決策問題為例,對模式1下風險決策方法的可行性進行驗證。某電子產品生產企業選擇一個新產品投放市場,有5個擬投資的產品方案(A1,A2,…,A5),產品投放期間可能出現3種市場狀態結果情景(S1,S2,S3),分別表示市場行情好、中與差。考慮各產品在不同市場狀態下的屬性主要有3個(C1,C2,C3),其中,C1收益率(%/年)屬于區間數形式,C2投資回收期(月)屬于確定數,C3風險屬于語言短語,且各自屬性權重向量ω=(0.4,0.25,0.35),決策者針對不同狀態結果下屬性值的期望向量E=([15,15],55,s3),其結果情景矩陣及各狀態結果情景發生的先驗概率如表1所示。

表1 結果情景矩陣及結果情景發生概率Table 1 Result scenarios matrix and its occurrence probability

顯然,該類型的決策信息結構屬于“同概率不同結果”的模式,由式(1)可知pij=p·j。下面依據文中所構建方法的步驟進行決策,其計算過程及結果如下。

首先,依據式(3)、式(4a)～式(6b),選擇滿足屬性值為確定數、區間數和語言短語時,其代表收益或成本不同條件下的公式,對決策者期望參照點與結果情景矩陣進行規范化處理(投資回收期和風險為成本型屬性)。可算得e=([0.44,0.44],0.52,[0.33,0.5,0.67]),結果情景矩陣規范化結果如表2所示。

表2 規范化后的結果情景矩陣值Table 2 Normalized value of result scenarios matrix value

表3 不同方案下發生各結果情景的綜合效用價值與效用風險系數Table 3 Comprehensive utility value and utility risk coefficient of result scenarios under different plans

例2以文獻[23]改編的某學校針對某疫情應對的決策問題為實例,對模式2下決策方法的可行性進行驗證。某學校發現有H1N1疫情傳播苗頭,有3個應對方案A1、A2與A3,通過專家咨詢,可確認H1N1疫情傳播與否的3個標志性結果情景S1、S2與S3,不同方案下發生結果情景的屬性集為感染人數C1、經濟損失C2與社會影響C3(為語言短語),已知各屬性的權重向量ω=(0.6,0.2,0.2),決策者針對不同情景下各屬性值的期望向量為E=([20,25],[25,30],s3)。基于歷史統計資料和經驗總結,不同方案下發生結果情景的屬性值及其先驗概率分別如表4和表5所示。

表4 發生不同結果情景的屬性值Table 4 Attribute values of the different occured result scenarios

表5 不同方案下發生各結果情景的概率Table 5 Occurrence probability of different result scenarios under different plans

表6 不同方案下各結果情景的效用風險系數Table 6 Utility risk coefficient of result scenarios under different plans

3.2 比較分析

針對混合型風險決策問題,文獻[11,23]基于前景理論并以方案綜合前景值的大小排序,與其相比(見表7),本文不僅僅考慮決策者心理行為因素,而是將多情景的效用價值與發生概率合理地結合,最后依據效用風險熵對方案整體風險大小進行度量并以此排序。本文決策方法具有如下特點。

表7 不同決策方法下的排序結果Table 7 Ranking result for different method of decision making

(2) 文獻[23]以前景理論的價值函數和權重函數代替期望理論,基于期望前景值和綜合前景值來表征決策者的心理期望,前景值正(負)值表示方案優(劣)于決策者的心理期望。本文突出表現了結果情景發生概率不確定情形,基于信息熵理論角度分析概率因素在風險決策中的作用,直接定義效用風險系數和效用風險函數,通過構建效用風險熵的決策方法,創新性地以熵值“紊亂程度”的特征來描述方案整體效用風險的不確定性,并以此進行排序為A3fA2fA1,不僅與文獻[23]的結果高度一致,而且直觀地保留了更為全面的風險信息,符合實際復雜的風險決策問題。文獻[23]屬于本文決策模式中的一種,而對于多方案下結果情景發生概率不確定的風險決策問題,本方法可能更為適用。

4 結 論

本文考慮決策者期望和心理行為特征,提出一種基于效用風險熵的多情景混合型風險決策分析方法。相較于現有研究結果,所提方法不僅考慮了決策者心理行為因素,更重要的是,將決策者心理感知的結果情景效用價值及發生概率合理地結合,通過直接定義效用風險函數和效用風險熵的方式,以效用風險熵的新視角對方案整體效用風險的大小進行度量并以此排序。該方法將前景理論與信息熵有效地結合,依據信息熵理論可知,熵理論在一定程度上提高了風險決策的客觀性,而多情景混合型風險決策問題中引入效用風險熵的概念,更好地滿足了實際決策情形的客觀原則。算例分析(與文獻[11,23]結果一致)表明,本文所提風險度量概念清晰且計算過程簡單,具備較高的有效性和實用性,為多情景混合型風險決策問題的研究提供了不同的視角和思路。后續研究中,針對具有區間概率或灰色概率等形式的復雜風險決策問題,有待進一步分析和研究。