二維聲波高階有限差分地震波場模擬

楊 飛 張建彬 鞏 固

（1.山東科技大學 山東省沉積成礦作用與沉積礦產重點實驗室，山東 青島 266590；2.山東正元建設工程有限責任公司濰坊分公司，山東 濰坊 261021；3.山東煤田地質規劃勘察研究院，山東 泰安 271000）

地震波場模擬即地震正演，由已知的模型物性參數（巖層密度、速度等），通過不同方法模擬地震波在該地質構造的傳播規律，最終得到地震記錄。從定義上講，其模擬方法可以分為兩大類：物理模擬和數值模擬[1]，然而由于物理模擬相當昂貴，所以研究者一般采用更加經濟的數值模擬技術，其數值模擬方法又分為兩類：射線追蹤法和波動方程法[2]，其中波動方程（本文以聲波方程[3]講述）方法因其不僅保持了地震波的運動學特征，而且保持了動力學特征，在研究地震波場模擬時受到廣大工作者的熱衷，特別是在起伏地表的研究[4]過程中發揮了重要的作用。

目前有不少學者在地震波數值模擬方面做過研究工作，如侯爵（2014）、王祥春等（2007）研究起伏地表下的地震波場數值模擬問題，侯爵等人從地震波場與地震波走時場兩方面總結了該領域的研究進展。王祥春等通過研究波形、能量、頻譜等方面的結果，得出起伏地表對地震波場的動力學特征有很大影響。首皓等（2009）分析復雜介質的地震波場模擬單程波方法，通過結合頻率-波數域反射系數近似公式和相移加插值的方法改進單程波，結果可以準確地模擬振幅隨入射角的變化，與雙程波的精度相當。雖然在地震波數值模擬方面有不少學者做了大量研究，二維波場研究的成果較多，但三維波場模擬成果還相對較少，而且在探索高階次的波動方程方面還存在較大差距，本文在前人工作的基礎上，分析二維聲波高階有限差分地震波場的模擬問題，利用有限差分原理，建立高階有限差分地震波場模型，研究結果對地震波場模擬有一定的推動作用。

有限差分法具有計算速度快、占用內存小等優點，該方法對于近遠場及復雜邊界都有廣泛的適用性，能夠準確地模擬波在各種介質及復雜結構地層中的傳播規律。有限差分法方法簡單、高效的優點是其他方法難以比擬的，因此有限差分法目前仍然是勘探地震學中應用最廣泛的數值計算方法[5]。

1 有限差分法的基本原理

有限差分法是一種最常用的數值模擬方法，它的基本思想是用離散的、只含有限個未知數的差分方程去近似地代替連續的微分方程及邊界條件，并且把相應的差分方程的解作為微分方程的近似解。而對于二維速度-深度模型，地下介質中地震波的傳播規律可以近似地用聲波方程描述：

式中：

v(x,z)-質點在(x,z)處的縱波速度，m/s；μ-描述速度位或者壓力的波場；

s(t) -震源函數。

式中：

Δh-空間離散步長，m；

Δt-時間采樣率，s；

δ-確定震源位置。

由公式可知，要想得到聲波方程的有限差分形式，需要的已知條件包括：

（1）震源函數：一般使用一個理論上的雷克子波代替；

（2）地層速度或密度；

（3）邊界條件：采用已被證明的有條件穩定格式，即：

2 建立空間網格

有限差分方程實現的第一步：在選定的空間內進行空間網格劃分，將實際的地層進行數據離散化。其特點是相對靈活，能夠較好地適應地下介質的劇烈變化，對于復雜程度較高的地質模型[6]其運算速度也不會受到太大影響。但在實際應用時通常遵循誤差最小原則，網格劃分的方法有多種，不同的網格形式針對不同的地層特征，而且聲波和彈性波的網格形式也有不同，彈性波的網格形式有：交錯網格、輔助網格以及旋轉交錯網格、同位網格[7]等。本次研究高階有限差分法采用的網格劃分方式為（圖1）：

圖1 空間四階精度差分網格示意

從圖1中可以直觀地看出：空間中離散點的分布，相鄰離散點之間的距離為步長，即Δh。其中Δh與Δz、Δx之間的關系如下：

3 理論模型及應用效果分析

由于實際工作中，地質條件相當復雜，存在著介質橫向不連續，巖性巖相差異較大，各項異性明顯等問題，并且地震波在地下的傳播存在吸收衰減等現象，規律復雜。基于此特征，本次研究建立一套層狀均勻介質地質模型（圖2）進行理論分析，通過對模型的研究來獲取有關的地震地質信息。層狀均勻介質地質模型較簡單，模型的正演耗時較小。

圖2 層狀均勻地質

建立地質模型的速度、密度、彈性等參數，模擬地震波在地質模型中的傳播規律，得到地震波場特征（圖3），得出震源點處的單道地震記錄（圖4）。通過地震波長的模擬，可以驗證野外采集時設計方案的合理性，室內處理和解釋成果的可靠程度，甚至是反演方法和最終結果的正確性。

圖3 某時刻的地震波場

圖4 震源點的單道記錄

如圖2所示的層狀均勻介質地質模型，模型網格大小為500×500，網格間距為1m，采樣時間間距為100μs，震源坐標為（250m，10m）。采用有限差分交錯網格進行計算，計算精度為O（Δt^2+Δh^10）。圖3為層狀均勻介質地質模型波前快照圖，從圖中可以看到地質界面和層狀均勻介質界面都有很好的顯示，基本沒有頻散現象。

4 結論

本文采用二維高階有限差分方法的基本原理，建立了空間網絡模型，并通過建立層狀均勻介質地質模型，模擬地震波場的傳播過程，得到震源點處的地震記錄。

有限差分方法具有計算速度快，占用的內存小等優點。本次研究通過地震波長的模擬結果，可以驗證野外采集時設計方案的合理性，室內處理和解釋成果的可靠程度，以及反演方法和最終結果的判斷。