具有馬爾可夫鏈依賴結(jié)構(gòu)模型的破產(chǎn)概率

于 曼,李志民

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中,保險(xiǎn)公司的盈余表示如下

(1)

式中，u表示保險(xiǎn)公司的初始資產(chǎn)；c表示保險(xiǎn)費(fèi)率；Xk表示第k次索賠額；N(t)表示截止到時(shí)間t發(fā)生索賠的次數(shù).

在實(shí)踐中，由于不同險(xiǎn)種會(huì)導(dǎo)致保費(fèi)收入形式和索賠額度的變化，因此，對(duì)于經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型做了很多的推廣.其中一個(gè)重要方面就是對(duì)經(jīng)典模型中各種量之間的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.Ambagaspitiya[1]研究了更新模型中具有相關(guān)索賠規(guī)模和索賠發(fā)生時(shí)間的最終破產(chǎn)概率,放松了對(duì)更新風(fēng)險(xiǎn)模型索賠額與索賠發(fā)生的時(shí)間獨(dú)立性假設(shè),考慮兩類不同的二元分布模型來(lái)描述索賠發(fā)生和索賠規(guī)模.Badescu[2]對(duì)Ambagaspitiya的模型進(jìn)一步擴(kuò)展,提出新的依賴結(jié)構(gòu),即索賠時(shí)間與索賠額的聯(lián)合分布為phase-type分布,從而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型中各種破產(chǎn)相關(guān)量進(jìn)行研究.Albrecher[3]等考慮了馬氏相依模型,并利用Laplace變換討論了馬氏相依模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù),分別得到了破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余、破產(chǎn)時(shí)赤字這3個(gè)與破產(chǎn)相關(guān)的量,并用較多的實(shí)例指出這一風(fēng)險(xiǎn)模型在風(fēng)險(xiǎn)理論中的廣泛應(yīng)用.Boudreault[4]推廣了經(jīng)典的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型,考慮索賠時(shí)間與索賠額之間特定的依賴結(jié)構(gòu),得到了瑕疵更新方程的期望貼現(xiàn)罰金函數(shù).顧聰[5]研究了一類帶布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散項(xiàng)的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型,利用Levy過(guò)程的性質(zhì),得到了其破產(chǎn)概率的表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上,定義了馬爾科夫環(huán)境過(guò)程,對(duì)在馬爾可夫環(huán)境下的跳擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了深入研究.Constantinescu[6]研究了凈損失具有馬氏性,通過(guò)轉(zhuǎn)移概率推導(dǎo)出更新風(fēng)險(xiǎn)模型中破產(chǎn)概率表達(dá)式.Helena Jasiulewicz[7]引入保費(fèi)函數(shù),在保險(xiǎn)費(fèi)率的影響下,根據(jù)自由準(zhǔn)備金的水平,研究破產(chǎn)概率.董英華[8]研究了具有保費(fèi)額和索賠額的非標(biāo)準(zhǔn)更新風(fēng)險(xiǎn)模型,索賠額與相應(yīng)的索賠間隔時(shí)間滿足一定的相依結(jié)構(gòu).在非負(fù)利率的情形下,推出了無(wú)限時(shí)間破產(chǎn)概率的Lundberg不等式.Li J[9]提出了一種基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移的形式化框架,稱為進(jìn)化破產(chǎn)和隨機(jī)再循環(huán).從狀態(tài)轉(zhuǎn)換的角度出發(fā),提出了一個(gè)新概率模型,并對(duì)該方法的一些理論性質(zhì)進(jìn)行了馬爾可夫鏈分析.Ramsden L[10]考慮一個(gè)馬爾可夫調(diào)制風(fēng)險(xiǎn)模型,其中溢價(jià)率、索賠頻率和索賠大小的分布取決于外部馬爾可夫鏈的狀態(tài)，導(dǎo)出了破產(chǎn)概率和期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的積分微分方程組.Gajek L[11]研究了一類推廣離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的風(fēng)險(xiǎn)切換Sparre Andersen模型.馬爾可夫鏈被用作“切換”的假設(shè)下,跳躍改變索賠量或相應(yīng)的等待時(shí)間分布，證明了破產(chǎn)概率向量的廣義Lundberg不等式.

研究是基于文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，考慮保費(fèi)率常常會(huì)隨著當(dāng)下盈余以及保險(xiǎn)時(shí)間的變化而做出調(diào)整,將保費(fèi)函數(shù)引入經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型,研究?jī)魮p失(Zk)k>0具有馬氏性的情況下的破產(chǎn)概率.

1 模型的建立與假設(shè)

將保費(fèi)函數(shù)引入經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型,建立新的風(fēng)險(xiǎn)模型

(2)

式中，以c(t)表示保費(fèi)率,在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中,索賠額Xk與索賠時(shí)間間隔τk相互獨(dú)立,考慮第k次索賠的間隔時(shí)間隨機(jī)變量τk與索賠額隨機(jī)變量Xk的特殊結(jié)構(gòu),更具體地說(shuō),考慮k次索賠后的實(shí)值隨機(jī)變量

(3)

式中，c(t)表示保費(fèi)函數(shù),τk和Xk具有任意的相關(guān)結(jié)構(gòu).因此,對(duì)于保險(xiǎn)公司初始資產(chǎn)u>0,發(fā)生k次索賠之后的盈余過(guò)程

破產(chǎn)可以理解為上述盈余過(guò)程首次低于0的事件.顯然,這只能在索賠時(shí)刻發(fā)生.在無(wú)限時(shí)間內(nèi),破產(chǎn)發(fā)生的概率被定義為

類似文獻(xiàn)[6]將Z分解成正部和負(fù)部

Z=IZ++(1-I)Z-,I∈Bernoulli(p),

式中,Z+={Z|Z>0},Z-={Z|Z<0}.

考慮(Zk)k>0相關(guān),假設(shè)其具有馬氏結(jié)構(gòu).給定Z0=x,破產(chǎn)概率定義為

(4)

定義Z的轉(zhuǎn)換密度為

則

(5)

為了便于得到破產(chǎn)概率的常微分方程,考慮一類特殊的轉(zhuǎn)換密度的情況,并做如下假設(shè):

假設(shè)1k=1,2,3,4,令

π(x,y)=egk(x)+hk(y),(x,y)∈Ik,

(6)

式中，Ik表示笛卡爾平面的第k象限,并對(duì)egk(x)作如下假設(shè):

(1)x>0,令eg1(x),eg4(x)線性獨(dú)立,且eg1(x)+eg4(x)=1,eg2(x)=eg3(x)→0.

(2)x<0,令eg2(x),eg3(x)線性獨(dú)立,且eg2(x)+eg3(x)=1,eg1(x)=eg4(x)→0.

此外,x>0時(shí),h1(x),h2(x)為Z+的密度函數(shù)；x<0時(shí),h3(-x),h4(-x)為Z-的密度函數(shù).

Asmussen[12]給出了Z分解的詳細(xì)說(shuō)明.

假設(shè)2 對(duì)于(k,m)={(1,1),(1,2),(4,1),(4,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)},存在多項(xiàng)式

(7)

2 主要結(jié)論及證明

定理1 如果假設(shè)1成立,破產(chǎn)概率有如下形式

(8)

更進(jìn)一步來(lái)說(shuō),對(duì)于i=1,2,3,4,

證明 將式(6)給定的π(x,y)代入到式(5)中,依賴于x的取值正負(fù),可以得到式(8)中ψ(u,x)的表達(dá)式.

注:X>0時(shí),ψ1(u)是第一步為正跳的破產(chǎn)概率，而ψ4(u)是第一步為負(fù)跳的破產(chǎn)概率.x<0時(shí),ψ2(u)是第一步為正跳的破產(chǎn)概率，而ψ3(u)是第一步為負(fù)跳的破產(chǎn)概率.接下來(lái),為ψi函數(shù)提供了一個(gè)常微分方程體系.

gcd(a,b)表示多項(xiàng)式a,b的最大公約數(shù),rk,m由以下矩母函數(shù)定義

(9)

若h1(x)=h2(x),則ψ1(u)=ψ2(u),且若h3(x)=h4(x),則ψ3(u)=ψ4(u).

證明x>0時(shí),將式(6)、式(7)代入到式(5),得到方程式

ψ3(u-y)eg3(y))eh4(y)dy=eg1(x)ψ1(u)+eg4(x)ψ4(u),

因?yàn)閑g1(x)和eg4(x)線性獨(dú)立,有以下方程成立

(10)

同理,x<0時(shí)，由eg2(x)和eg3(x)的線性獨(dú)立性,可得

(11)

式(10)、式(11)中的方程組的矩陣形式為

(12)

當(dāng)k=1,4時(shí)，

根據(jù)定理1,ψi(u)為線性常微分方程的解,即

(13)

指數(shù)λi為行列式方程det(A)=0的解,在獨(dú)立的情況下,求解這個(gè)行列式方程相當(dāng)于求解Lundberg方程,Mz(s)=1.同樣,對(duì)于這里描述的馬爾可夫鏈,可利用矩母函數(shù)推導(dǎo)出指數(shù)λj.有

定理3 若假設(shè)1和假設(shè)2成立,則ψi(u)有一般形式如式(13)所示,-λj是多項(xiàng)式

的負(fù)根，或多項(xiàng)式

1=-M1,1(-s)M3,3(-s)-M1,1(-s)-M3,3(-s)-

M2,3(-s)M3,4(-s)M4,2(-s)(M1,1(-s)-1)+M1,2(-s)M2,3(-s)M3,4(-s)M4,1(-s)+

M2,4(-s)M4,2(-s)(M1,1(-s)M3,3(-s)-M1,1(-s)-M3,3(-s)+1)-

M1,2(-s)M2,4(-s)M4,1(-s)(M3,3(-s)-1),

的根.

除以多項(xiàng)式

有以下方程成立

索賠服從Mk,m的定義.