平行線為啥不相交

朱適宜 摘編

（摘編者單位：江蘇省淮安外國語學校）

我們先來看看蘇聯作家A·庫爾良茨基發表在1981年第1期《蘇聯文藝》上的小說《公理》：

老師離開黑板，抖了抖手上的粉筆灰說：“現在請大家作筆記——平行的兩條直線，任意加以延長，永不相交.”

學生們低下頭在本子上寫著.

“西多羅夫，你為什么不記呢？”

“我在想.”

“想什么呢？”

“為什么它們不會相交呢？”

“為什么？我不是已經講過，因為它們是平行的呀.”

“那么，要是把它們延長到一千米，也不會相交嗎？”

“當然啦.”

“要是延長到兩千米呢？”

“也不會相交的.”

“要是延長到五千千米，它們就會相交了吧？”

“不會的.”

“有人試驗過嗎？”

“這道理本來就很清楚，用不著試驗，因為這是一條公理.謝苗諾夫，你說說，什么叫公理？”

一個戴著眼鏡，態度認真的男孩子從旁邊座位上站起來答道：“公理就是不需要證明的真理.”

“對，謝苗諾夫，”老師說，“坐下吧……現在你明白了吧？”

“這我懂的，就是不懂為什么它們不會相交.”

“就因為這是一條公理，是不需要證明的真理呀.”

“那么，不論什么定理都可以叫做公理，就也都用不著加以證明了？”

“不是任何一條定理都可以叫做公理.”

“那為什么這一條定理就可以叫做公理呢？”

“咳，你多固執啊……”

“要是定理，就需要證明了吧？”

“那是需要的.可我們現在說的是公理.”

“為什么是公理呢？”

“因為這是歐幾里得說的.”

“要是他說錯了呢？”

“你大概以為歐幾里得比你還要蠢吧？”

“不，我并不這樣認為.”

“那為什么你還要強辯呢？”

“我沒有強辯.我只是在想，為什么兩條平行直線不能相交.”

“因為它們不會相交，也不可能相交.整個幾何學就是建立在這個基礎上的.”

“這么說，只要兩條平行直線一相交，整個幾何學就不能成立了？”

“那當然，但它們終究不會相交……”

讀完這個繞人的故事，同學們是不是也深有同感：為什么不能相交呢？我們先來看看究竟什么是公理呢？

在歐幾里得之前，人們已經積累了大量的幾何知識，包括各種計算公式和作圖方法等.嚴格說來，這些知識只能算是實踐經驗，需要去粗取精、去偽存真，由此及彼、由表及里.這一系統化的工作最后由歐幾里得完成了.他選用了一些人們在長期實踐中總結出來的公認命題作為原始依據，稱之為公理，由此建立起幾何學的大廈.

歐幾里得在他的超級暢銷書《幾何原本》里，一開始就提出了5條公設.前4條公設分別為：

1.由任意一點到另外任意一點可作直線.

2.一條有限直線可以繼續延長.

3.以任意點為圓心及任意的距離可以畫圓.

4.凡直角都彼此相等.

第五公設則異常復雜：同平面內一條直線與另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小于兩個直角的和，則這兩條直線在不斷延伸后會在這一側相交.

顯然，第五公設和前4個公設比較起來，文字敘述冗長，不夠簡潔明了.細心的數學家還注意到，歐幾里得在《幾何原本》中直到第29個命題才用到它.是不是歐幾里得本人也覺得這一公設有問題呢？

數學家發現了很多第五公設的等價命題.最著名的要數蘇格蘭數學家普萊費爾提出的平行公設：給定一條直線，通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行.于是數學家也常把第五公設稱為平行公設.

歐幾里得所謂的公理是沒有經過證明的.為什么歐幾里得不證明這些公理，使之看起來更可信呢？原因很簡單，公理根本無法證明！后面的定理需要用前面的定理來證明，前面的定理需要用更前面的定理來證明，那么最前面的定理如何證明呢？萬事萬物總得有個開頭吧！于是便有了最開始的那幾條基本規律，也就是所謂的公理.

兩千多年間，數學家對公理的看法有了巨大變化，也取得了基本的一致：公理是不必證明的命題.非歐幾何的創立讓數學家可以探索任何可能的問題，建構任何可能的公理體系，理論數學從此得到了空前的發展.