基于最優誤差動力學的時間角度控制制導律

2018-11-30 01:59:06李斌林德福何紹溟白冰

航空學報 2018年11期

李斌，林德福，何紹溟，白冰

1. 北京理工大學宇航學院，北京 100081 2. 北京理工大學無人機自主控制技術北京市重點實驗室，北京 100081 3. 北京宇航系統工程研究所，北京 100076

現代戰爭中，機場和軍艦等戰略戰術目標都采取多種防御措施來應對來襲導彈，比如面對空空導彈系統，電子干擾系統，近防武器系統[1]。協同攻擊可以有效地應對上述防御措施對導彈的威脅[2]。多枚導彈在協同攻擊目標時，為了取得更佳的毀傷效果，還希望以不同的終端攻擊角度命中目標[3]。因此，本文研究了一種基于最優誤差動力學的時間角度控制制導律，可以同時滿足攻擊時間和終端攻擊角度的約束。

隨著多飛行器協同控制問題的發展，帶有攻擊時間約束的制導問題在近幾年被廣泛研究[4]。文獻[2]提出了一種基于傳統比例導引的攻擊時間控制制導律來實現協同攻擊的任務。文獻[5-6]提出了基于領彈和從彈的協同制導，從彈通過跟蹤領彈來實現主從協同。文獻[7]引入剩余飛行時間變量，提出了協同比例導引制導律，它通過減少各枚導彈剩余飛行時間之間的偏差來實現同時擊中目標。文獻[8]利用一種雙層的控制結構，提出基于協調變量的時間協同制導律。文獻[9]用多項式函數推導含時間控制的制導指令，附加導引頭視場角限制的偏置項，設計了帶視場角限制的攻擊時間控制制導律。文獻[10]研究了不需要剩余飛行時間的兩段式制導策略，當導彈狀態趨于一致后，切換成相同的比例導引制導律來實現協同攻擊。

針對具有終端攻擊角度約束的制導律研究已有很多，例如最優制導律[11-13]，偏置比例導引律[14-15]，非線性控制制導律[16-17]。文獻[11-12]選取剩余飛行時間的函數為性能指標的權函數，基于二次型最優控制理論推導了帶終端角度約束的制導律。文獻[13]針對帶有終端角度約束的任意函數加權最優制導問題，應用Schwarz不等式求解了有無控制系統動力學情況下最優制導律的一般表達式。文獻[14-15]研究了無剩余飛行時間的偏置制導律，在比例導引律的基礎上附加角度約束偏置項，利用改變過載指令控制終端攻擊角度。文獻[16]基于連續二階滑模理論設計了有限時間收斂的角度約束制導律，具有很強的魯棒性。文獻[17]將終端攻擊角度約束轉化為終端視線角約束，利用螺旋控制算法設計了一種二階滑模變結構制導律。

同時考慮攻擊時間和終端攻擊角度的制導律也有一些研究。通過對文獻[2]的拓展，文獻[18]提出了攻擊時間和角度控制制導律，可以同時滿足攻擊時間和終端攻擊角度的約束。文獻[19]選擇滿足攻擊時間和終端攻擊角度約束的滑模面，基于二階滑模理論和最優控制理論設計了攻擊時間和角度控制制導律。文獻[20]在偏置比例導引律基礎上附加攻擊時間誤差反饋項，實現了期望的攻擊時間和終端攻擊角度。文獻[21]研究了帶有攻擊時間和攻擊角度控制的三維制導問題，基于Lyapunov穩定性理論和時間誤差補償設計了帶攻擊時間和攻擊角度控制的三維制導律。

制導律的設計可以轉化為一種有限時間跟蹤問題，目的是希望在有限時間內將跟蹤誤差調整為零。根據不同的制導目的，跟蹤誤差可選擇為零控脫靶量，視線角速率，攻擊時間誤差，攻擊角度誤差等[22]。以往研究的誤差動力學只是將跟蹤誤差收斂到零，未考慮跟蹤誤差的收斂模式，一些基于非線性控制方法的時間角度控制制導律設計沒有明確的性能指標。本文研究了跟蹤誤差的最優收斂模式，給出了實現跟蹤誤差最優收斂模式的最優誤差動力學，考慮攻擊時間和終端攻擊角度約束，設計了基于最優誤差動力學的時間角度控制制導律，并給出了相應的性能指標，得到的是一種能量最優形式的制導律，且制導律中各部分制導指令的物理意義明確。最后，對不同參數情況下進行仿真，結果表明設計的制導律實現了期望的攻擊時間和終端攻擊角度。

1 問題描述

建立彈目相對運動的數學模型，圖1為導彈攻擊固定目標的二維平面示意圖。其中VM為導彈速度，aM為制導指令,R為導彈和目標的相對

圖1 導彈與目標運動關系Fig.1 Relationship of missile-target engagement

距離，λ、θ和σ分別為彈目視線角、導彈速度方向角和速度方向誤差角，σ0為初始速度方向誤差角。z和s分別為彈目視線系下表示距離的參數。

彈目相對運動方程為

(1)

導彈的運動學方程為

(2)

初始和終端約束分別為

(3)

式中：(x0,y0)和(xf,yf)分別為導彈的初始位置和目標位置；t0和tf分別為初始和終止時刻；θ0和θf分別為導彈的初始速度方向角和終端攻擊角度；td為期望的攻擊時間；θd為期望的終端攻擊角度。

2 最優誤差動力學

跟蹤問題的系統方程一般表示為

(4)

式中：ε(t)為跟蹤誤差；r(t)為已知的時變函數；u(t)為控制輸入。

首先選擇一個期望的誤差動力學，然后計算在期望的誤差動力學下滿足系統方程式(4)的控制輸入。根據不同的制導目的，跟蹤誤差可選擇為零控脫靶量，視線角速率，攻擊時間誤差，攻擊角度誤差等，r(t)與選取的跟蹤誤差有關，因為上述跟蹤問題都是可控的，所以r(t)是可逆的，有r(t)≠0。

制導律設計中一種傳統的期望誤差動力學為

(5)

式中：k>0為控制跟蹤誤差收斂速度的比例增益。

解式(5)可得跟蹤誤差的解析式為

ε(t)=ε(t0)e-kt

(6)

式中：ε(t0)為初始跟蹤誤差。

式(6)表明跟蹤誤差按指數函數形式漸進地收斂到零，收斂速度與比例增益k有關。這種期望的誤差動力學只是將跟蹤誤差收斂到零，沒有考慮如何選取明確的性能指標最優地實現零跟蹤誤差。

考慮跟蹤誤差的最優收斂模式，利用Schwarz不等式推導最優誤差動力學[22]。

期望的誤差動力學選取為

(7)

式中：tgo為剩余飛行時間；

(8)

其中：H(t)>0為權函數。

性能指標為

(9)

實現期望的誤差動力學式(7)并使性能指標式(9)取最小值需要的控制輸入為

(10)

證明過程可參考文獻[22]。

誤差動力學式(7)的形式即為最優誤差動力學，它保證了設計的制導律在有限時間內收斂，因為它是直接求解有限時間最優跟蹤問題得到的。

對最優誤差動力學特性進行分析，傳統期望誤差動力學與最優誤差動力學為

(11)

對比式(11)的兩種誤差動力學，可知傳統期望誤差動力學與最優誤差動力學的區別在于比例增益不同。傳統期望誤差動力學的比例增益是一常值k，最優誤差動力學的比例增益是時變值φ(t)/tgo。

分析最優誤差動力學的時變比例增益，由于

(12)

隨著剩余飛行時間趨于零，最優誤差動力學的時變比例增益由一個初始小值增大到無窮大，時變比例增益的變化形式與φ(t)有關。

令Γ(t)=H-1(t)r2(t)，可將φ(t)寫為

(13)

函數r(t)與具體的制導問題有關，權函數H(t)是設計參數，根據不同的目標選取合適的權函數H(t)。

分析式(13)可得，對于給定的r(t)和H(t)，始終有φ(t)>0。當Γ(t)為常數時，φ(t)=1；當Γ(t)隨著t→tf減小時，φ(t)>1；當Γ(t)隨著t→tf增大時，φ(t)<1。

下面分析兩種情況。

1)當r(t)是時不變函數，權函數H(t)=1時，φ(t)為

(14)

最優誤差動力學使性能指標式(15)取最小值得到的是控制量平方積分最小的制導律。

(15)

(16)

這種情況下，φ(t)=K為一常數。

期望誤差動力學使下述性能指標式(17)最小。

(17)

當r(t)=1且K=1時，性能指標式(17)退化為性能指標式(15)。

最優誤差動力學為

(18)

解式(18)可得最優跟蹤誤差的解析式為

(19)

這種最優誤差動力學在實際中是可用的，因為跟蹤誤差的收斂模式作為剩余飛行時間的函數是可預測的，并且最優誤差動力學由簡單形式給出，這種最優誤差動力學可應用于各種類型的制導問題。

3 時間角度控制制導律

本節利用最優誤差動力學方法設計時間角度控制制導律，在廣義最優角度制導律的基礎上增加攻擊時間誤差反饋項，將攻擊時間誤差看做跟蹤誤差，設計的制導律使跟蹤誤差以最優模式在有限時間內收斂到零，最終實現攻擊時間和終端攻擊角度的共同控制。

3.1 廣義最優角度控制律的剩余飛行時間

廣義最優角度制導律可表示為[12]

(20)

式中：n=0,1,2,…；σf=θf-λ。

在對廣義最優角度控制律進行剩余攻擊時間估算時，不僅要考慮比例導引過載指令對彈道曲率的影響，還要考慮用于終端攻擊角度控制的過載指令對彈道的影響。

定義z為關于沿彈目視線參數s的多項式函數

z=an+3sn+3+an+2sn+2+…+a1s+a0

n=0,1,2,…

(21)

根據小角度假設，速度方向誤差角表示為

σ=-[(n+3)an+3sn+2+(n+2)

an+2sn+1+…+a1]

n=0,1,2,…

(22)

根據邊界條件

(23)

當n≥1時，補充方程

(24)

將式(23)和式(24)代入式(21)和式(22)，可解出待定系數為

(25)

當1

考慮終端攻擊角度約束的剩余飛行時間估計表示為

(26)

式中：Δ為由于彈道彎曲增加的剩余飛行時間的比例。

將式(21)對s求導可得

(27)

利用泰勒公式并略去高階項有

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

3.2 制導律設計

時間角度控制制導律的制導指令表示為

aM=aOA+aIT

(30)

式中：aIT為攻擊時間誤差反饋項制導指令。

3)σ+(2n2+6n+3)σf]sinσ

(31)

將上述簡化關系代入式(31)并且忽略高階項得

[(2n+3)σ+(2n2+6n+3)σf]σ=

(n+1)σf]aIT

(32)

攻擊時間誤差定義為

εt=td-tf

(33)

將攻擊時間誤差εt看作跟蹤誤差，利用第2節的方法，可得

[(2n+4)σ-(n+1)σf]aIT

(34)

攻擊時間控制問題的時變函數r(t)和控制輸入u(t)分別為

(35)

關于攻擊時間誤差εt的最優誤差動力學

(36)

性能指標為

(37)

將式(36)代入式(34)得

(38)

則時間角度控制制導律為

(39)

式(39)也可表示為

(40)

可以看出，時間角度控制制導律包含比例導引項，終端攻擊角度控制項和攻擊時間誤差反饋控制項。其中比例導引項保證命中目標，終端攻擊角度控制項和攻擊時間誤差反饋控制項使導彈分別滿足期望的終端攻擊角度和期望攻擊時間。當攻擊時間與期望的攻擊時間實現一致后，攻擊時間誤差反饋控制項的制導指令收斂為零，時間角度控制制導律退化為廣義最優角度制導律。

當n=0時，廣義最優角度制導律即彈道成型制導律，時間角度控制制導律為

(41)

性能指標為

(42)

4 仿真分析

以時間角度控制制導律式(41)為例，仿真驗證在不同參數條件下的性能。式(41)可表示為

(43)

不考慮跟蹤誤差的收斂模式，由傳統的誤差動力學式(5)得到的時間角度控制制導律為

(44)

可以看出制導律中的設計參數為期望攻擊時間td、期望終端攻擊角度θd和制導增益K，不同的參數不僅可以改變導彈的彈道軌跡，也會影響對控制能量的消耗。

控制能量定義為

(45)

導彈初始位置(0,0) m，目標位置(12 000,0) m，初始速度方向誤差角σ0=30°，導彈速度VM=300 m/s，導彈最大可用過載amax=10g。

首先對比基于最優和傳統誤差動力學的時間角度控制制導律式(43)、式(44)的性能。選取期望的攻擊時間為47 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導增益K=6。

圖2給出了不同跟蹤誤差收斂模式下的彈道、過載指令和控制能量曲線。仿真結果表明，制導律式(43)、式(44)都實現了期望的攻擊時間和終端攻擊角度，但不考慮跟蹤誤差收斂模式的制導律式(44)需要很大的初始過載和更多的控制能量，并且沒有明確的性能指標。

下面分別分析td、θd和K對基于最優誤差動力學的時間角度控制制導律式(43)性能的影響。

圖2 不同跟蹤誤差收斂模式下的仿真結果Fig.2 Simulation results of different tracking error convergence patterns

4.1 不同攻擊時間

研究不同攻擊時間情況下的性能。選取期望的攻擊時間分別為44、47、50 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導增益K=6。

圖3給出了不同攻擊時間下的導彈與目標相對距離、彈道、速度方向角、速度方向誤差角、過載指令和控制能量曲線。由圖3(a)和圖3(c)可看出，在時間角度控制制導律作用下，實現了不同攻擊時間和期望的終端攻擊角度約束。在比例導引制導律作用下的飛行時間tf=40.8 s，終端攻擊角度θf=-10°，越大的期望攻擊時間要求彈道越彎曲，因此在初始段導彈以速度方向誤差角增大的方向飛行來增加彈道長度。仿真結果圖3(d)～圖3(f)表明，攻擊時間和角度的跟蹤誤差越大，初始段速度方向誤差角增加越多，需要的過載越大，控制能量消耗越多。

圖3 不同攻擊時間下的仿真結果Fig.3 Simulation results of different impact time

4.2 不同終端攻擊角度

分析不同終端攻擊角度情況下的性能。選取期望的終端攻擊角度分別為-45°，-60°，-75°，攻擊時間td=47 s，制導增益K=6。仿真結果如圖4所示。

圖4(a)和圖4(c)分別為彈目相對距離曲線和速度方向角曲線，導彈以期望的終端攻擊角度在攻擊時間47 s命中目標。在彈道成型制導律作用下，實現-45°，-60°，-75°終端攻擊角度的飛行時間分別為43.04、44.57、46.52 s。圖4(d)～圖4(f)表明，終端攻擊角度-45°的時間誤差最大，為了增加攻擊時間，初始段需要以速度方向誤差角增大的方向飛行，相應的需要較大過載和控制能量。終端攻擊角度-75°的攻擊時間誤差較小，初始段需要較小的過載和控制能量，在彈道末端需要較大的過載和控制能量來實現大的終端攻擊角度。終端攻擊角度-60°時消耗的控制能量最小，因此在選擇制導律參數時，需要權衡攻擊時間和終端攻擊角度的匹配問題。

圖4 不同終端攻擊角度下的仿真結果Fig.4 Simulation results of different terminal impact angles

4.3 不同制導增益

圖5仿真對比了不同制導增益K下的時間角度控制制導律性能。選取攻擊時間td=47 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導增益K分別為6、10和14。仿真結果表明，制導增益K越大，攻擊時間誤差收斂越快，但需要更大的過載和控制能量。由圖5(a)和圖5(c)可看出，不同的制導增益K都實現了期望的攻擊時間和終端攻擊角度。