函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h的單調(diào)性以及在給定區(qū)間上的最值的教學(xué)法探究

廣東省珠海市第二中學(xué) 謝 鋒

三角函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的一種比較特殊的函數(shù)，也是基本初等函數(shù)之一，教材專門設(shè)立一章進(jìn)行學(xué)習(xí)，其重要性不言而喻。在教學(xué)中，需要呈現(xiàn)幾類基礎(chǔ)問題：（1）研究三角函數(shù)必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，求定義域、值域；（2）求單調(diào)區(qū)間；（3）奇偶性、周期性。而在這些常規(guī)問題教學(xué)中，學(xué)生最容易出現(xiàn)混淆的就是求單調(diào)區(qū)間與定區(qū)間值域的問題。

一、問題的提出

在三角函數(shù)的教學(xué)中，討論函數(shù)（通常A＞0，ω＜0，以下同）的單調(diào)性以及該函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，是兩個基本的教學(xué)課題，很多學(xué)生都有出現(xiàn)相同的“障礙”。

1．“障礙”的界定

解決單調(diào)區(qū)間和求值域用“換元法”。設(shè)X=ωx+φ，則y=AsinX+h，由即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

由x∈[a，b]有X∈[ωa+φ，ωb+φ]，依據(jù)函數(shù)y=AsinX+h（X∈[ωa+φ，ωb+φ]）求得 y的最值。

不難看出，在上面兩種處理中，存在兩個相反的過程：前者由X的范圍求得x的范圍，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；后者由x的范圍求得X的范圍。在與學(xué)生交流和答疑的時候經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，無論怎么講解，大部分學(xué)生始終無法理解，解決這兩類問題為什么是相反的過程，而且就是那么解？

2．“教學(xué)法”的界定

函數(shù)的單調(diào)性以及該函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，也可稱為兩個數(shù)學(xué)問題。上面的解決方法學(xué)生可以從教材或參考書籍上看到，甚至通過自學(xué)掌握。鑒于學(xué)生的學(xué)習(xí)主要還是通過老師、課堂這樣的渠道，或者說通過教學(xué)習(xí)得，所以對上面兩個數(shù)學(xué)問題的處理，我們不叫“解題方法”，而稱為“教學(xué)法”。此處的“教學(xué)法”是一個整體性的概念，一個我們研究的對象。（為了研究，我們約定不管是經(jīng)驗豐富的還是經(jīng)驗欠缺的教師，采用本“教學(xué)法”理論上的效果相同）

二、教學(xué)探究

解：由y=sinx的對稱中心是（kπ，0），對稱軸是

增區(qū)間是減區(qū)間是得：的對稱中心是對稱軸是增區(qū)間是減區(qū)間是

該教學(xué)法的簡單評價：我們在教學(xué)過程中并不需要畫出的圖象，再對此類問題進(jìn)行研究，而是回歸本源，我們從y=sinx 的圖象出發(fā)，去探究y=sinx的圖象所顯示出的函數(shù)性質(zhì)，再通過換元求解。

例2 已知函數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值。

解法1：由函數(shù)在區(qū)間上遞減，

所以函數(shù)上遞增，

即函數(shù)在[0,2π]上遞增，在區(qū)間[-π，0]上遞減，

所以當(dāng)取得最小值1，

又當(dāng)當(dāng)x=2π時，

所以取得最大值

解法2：令

所以

根據(jù)f（x）=cosX的函數(shù)圖象，

當(dāng)

當(dāng)

該教學(xué)法的簡單評價：求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，在“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”部分討論得比較多，本教學(xué)法與“用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值”的教學(xué)法相同，換句話說，用教學(xué)法一更能凸顯教學(xué)法的通用性質(zhì)。但是在本題的教學(xué)中，解法2我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^換元法來解決，即令將問題轉(zhuǎn)化，再求f（x）=cosX，的值域。而此題在教學(xué)中更加注意強(qiáng)調(diào)：切不可將區(qū)間的端點直接代入確定范圍。已知自變量的范圍求三角函數(shù)值域，關(guān)鍵是整體代換思想的應(yīng)用，所以本題的換元法更加讓學(xué)生容易理解。三角函數(shù)的圖象從“形”的角度完全反映了三角函數(shù)的性質(zhì)，所以在解決此類問題時應(yīng)該注意對圖象的應(yīng)用。

補(bǔ)充練習(xí)：

1.求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。

2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

3.求函數(shù)的最大值和最小值。

4.已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,3]，求函數(shù)y=f（3x-2）的定義域。

解：1.設(shè)則y=sinX，

解得

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

2.在習(xí)題1的基礎(chǔ)上求解解得單調(diào)區(qū)間

3.設(shè)則y=2sinX，

因為

由函數(shù)y=2sinX的圖象知，當(dāng)函數(shù)取得最大值2，

當(dāng)函數(shù)取得最小值-1。

4.令t=3x-2，由-1≤t≤3有-3≤3x-2≤3，故y=f(3x-2)的定義域為

點評：4個習(xí)題的解法都有很明確的指向性：應(yīng)用換元法，雖然仍然擺脫不了解題過程互逆，學(xué)生容易混淆的問題，但是我們應(yīng)該明確：學(xué)生并不是因為方法相近而混淆，而是沒有抓住解題的主線而混淆，所以在教學(xué)過程中我們建議：以一種方法、一個習(xí)題作為突破口，這樣既可以加深對比，又可以使得一節(jié)課主線清晰，重點明確。為了彰顯換元法在三角函數(shù)中的重要作用，我們不妨再看一道題目：

例3 求函數(shù)

分析：本題最常規(guī)有3種解法：

（1）直接法：直接利用sinx，cosx有界性求解。

（2）化一法：把三角函數(shù)化為t=Asin（ωx+φ）的形式，逐步分析ωx+φ的范圍，由正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的值域。

（3）換元法：把sinx，cosx，sinxcosx換成t，轉(zhuǎn)化成普通的函數(shù)問題。

本題的解析我們將著重分析換元法：

換元法1：（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx,sinx則轉(zhuǎn)化為在定區(qū)間求值域的問題。

換元法 2：設(shè) sinx=m+n，sinxcosx=2m，sinxcosx=m2-n2，由

點評：求值域是三角函數(shù)很常見也很基礎(chǔ)的一類問題，和前面的例題看似沒有共性，但是在解題過程當(dāng)中都是緊扣換元法，在換元中要注意對變量范圍的控制。同時，兩種換元法是不同的，一種是以sinx+cosx和sinxcosx的關(guān)系作為主線，進(jìn)行平方換元再定界，而換元法2是以sinx，cosx進(jìn)行巧妙換元，這和求不等式范圍的一類習(xí)題方法非常相似。

四、結(jié)論和討論

事實上，從初中到高中，學(xué)生要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等七種基本初等函數(shù)，都會經(jīng)歷從基本初等函數(shù)y=f（x）的圖象與性質(zhì)擴(kuò)展到函數(shù)y=f（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的過程。由前面的討論，有兩種不同的“路徑”：（1）利用圖象的平移、伸縮得到函數(shù)y=f（ωx+φ）的圖象，再依據(jù)圖象討論其性質(zhì)，不妨稱之為“前進(jìn)的構(gòu)造方式”；（2）令X=ωx+φ，則y=f（x），依據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)y=f（ωx+φ）的性質(zhì)，不妨稱之為“后退的歸一方式”。

前面的討論說明，就“前進(jìn)的構(gòu)造方式”而言，部分學(xué)生會出現(xiàn)“障礙”。從教學(xué)法的角度，這即是說存在兩種不同的“教學(xué)法”。此外，綜合前面的討論，筆者在此提出一個概念：教學(xué)法的障礙。也就是說，學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中出現(xiàn)的各種障礙，除了自身認(rèn)知的原因，教學(xué)法也是一個重要的因素。因此，正如Nicolas Balachrff在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究展望》中所說的：如果不對有關(guān)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)成做深刻的認(rèn)知論分析，那么有關(guān)代數(shù)、幾何、微積分學(xué)習(xí)的研究不可能得到深入（《國際展望：數(shù)學(xué)教育評價研究》）。仿此可以說：如果不對數(shù)學(xué)的教學(xué)法做切實的研究，那么有關(guān)代數(shù)、幾何、微積分學(xué)習(xí)的研究不可能得到深入。“正如經(jīng)常表明的那樣，許多學(xué)生不是通過所要求的數(shù)學(xué)推理，而是通過教學(xué)法的習(xí)慣來解一個題目，因此，只要學(xué)生知識建構(gòu)的真正含義尚未解決，那么關(guān)于教學(xué)法的任務(wù)和它與學(xué)習(xí)過程的關(guān)系的研究就是非常困難。”

從我們實際的教學(xué)角度講，如何讓學(xué)生突破本篇文章所討論的教學(xué)難點，本人認(rèn)為，通過一點集中突破,即緊緊抓住正余弦函數(shù)圖象，從圖象出發(fā)研究性質(zhì)，解決問題，同時配合一種解題方法（換元法）進(jìn)行講解，既有針對性，又有課外的延展性，學(xué)生在對比中學(xué)會思考，在思考中學(xué)會類比，進(jìn)而解決本文章所提出的教師的困惑和學(xué)生的迷惘。