分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江西省贛州市第三中學(xué) 明小青

高中數(shù)學(xué)中包含分類討論思想的知識(shí)點(diǎn)有：集合、不等式的求解、函數(shù)、概率、數(shù)列、圓錐曲線方程、空間向量、推理與證明等。研究發(fā)現(xiàn)，這類題的失分率往往較高，究其根本，還是學(xué)生沒有充分掌握分類討論的使用方法和原則，無法形成具有邏輯性、綜合性、緊密性的思維，因而使得出題老師有空而入。

一、分類討論思想的作用與原則

首先對(duì)分類討論思想的原則與作用進(jìn)行說明，以便讀者能夠?qū)Υ擞幸粋€(gè)較為清晰的認(rèn)識(shí)。在做數(shù)學(xué)題時(shí)，在進(jìn)行到某一步或者某一過程時(shí)，常會(huì)遇到無法再像前面那樣用同樣的方法做出答案的情況，因?yàn)檫@時(shí)根據(jù)已知條件，后面的問題會(huì)包含不止一種情況和解題方向。因此學(xué)生就要根據(jù)題中所給的使用條件正確劃分區(qū)域，然后在這些小區(qū)域中解題，這便是數(shù)學(xué)中的分類討論。

（一）分類討論的原則

1.在分類時(shí)要?jiǎng)澐滞耆_定問題涉及的整個(gè)區(qū)域，不要重復(fù)，也不要遺漏。

2.在同一個(gè)區(qū)域中要按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論。

3.分類要逐步逐級(jí)進(jìn)行，不要使討論順序混亂。

（二）分類討論的步驟

1.針對(duì)本題確定討論對(duì)象與范圍。

2.確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題進(jìn)行合理劃分。

3.逐步分類進(jìn)行，同級(jí)之間不得越級(jí)，得出階段性結(jié)果。

4.用同級(jí)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)結(jié)果進(jìn)行篩選。

5.歸納總結(jié)。

（三）分類討論的因素

1.概念、定理、規(guī)律所引發(fā)的分類討論。一般情況下，數(shù)學(xué)定律中都會(huì)自帶分類討論的因素，需要學(xué)生進(jìn)行分類歸納。

2.由數(shù)學(xué)的多級(jí)運(yùn)算引發(fā)的分類討論。例如數(shù)學(xué)中常用的運(yùn)算符號(hào)“≠、＞、＜”，在進(jìn)行這類題的計(jì)算時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)注意分類的多樣性，考慮到各個(gè)方面。

3.含有未知數(shù)的問題，由未知數(shù)引發(fā)的分類討論。對(duì)于參數(shù)問題，學(xué)生應(yīng)該注意簡(jiǎn)化，盡量規(guī)避分類討論。

古人常說：“物以類聚，人以群分。”合理利用分類討論思想解題，將不同的問題逐步討論，能大大節(jié)約做題時(shí)間，并且能較為清晰地表現(xiàn)出答題者的邏輯思維，提高解題效率。掌握了分類討論思想，就意味著掌握了一半的數(shù)學(xué)難題，高中學(xué)生更要對(duì)此類方法爛熟于心，對(duì)它的原理以及規(guī)則能夠運(yùn)用得當(dāng)。

二、分類討論思想在數(shù)學(xué)題中的實(shí)際應(yīng)用

1．在集合中的運(yùn)用

集合運(yùn)算通常包括元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系，在實(shí)際解題過程中，學(xué)生要對(duì)其進(jìn)行分類討論，特別是遇到待定系數(shù)時(shí)，需要我們對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類才能求解，因此學(xué)生要仔細(xì)分類，避免遺漏。

例如，含有待定系數(shù)的集合求解問題：已知集合A={X|X2-3X-10≤0}，B={X|M+1≤X≤2M-1，M為常數(shù)}，若A B，求實(shí)數(shù)M的取值范圍。

分析：A B說明B是A的子集，即集合B 中的所有元素都在集合A中，要注意B是兩種情況。

由A={X|X2-3X-10≤0}，得到A={-2≤X≤5}。

因?yàn)锳 B,所以有：

①當(dāng)B＝?時(shí)，則M+1＞2M-1，即M＜2，此時(shí)滿足A B。

②當(dāng)B≠?時(shí)，又分為M+1≤2M-1;-2≤M+1;2M-1≤5。解得2≤M≤3。

由①和②得，M≤3。

2．在函數(shù)中的運(yùn)用

函數(shù)中所用到的分類討論主要是針對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等按照特定底數(shù)或者參數(shù)分別討論，求出最小值或者最大值，下面舉例進(jìn)行說明：

函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為？

分析：由題意得對(duì)x∈R恒成立，分a=0和a＞0兩種情況進(jìn)行討論。

3．在數(shù)列中的運(yùn)用

數(shù)列中主要是對(duì)公比q，公差d,項(xiàng)數(shù)n的討論，很多學(xué)生在做這類題時(shí)很容易忽略一些情況而解答不全，下面舉例說明：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+b，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

本題已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求an時(shí)要注意兩點(diǎn)：①對(duì)n=1和n≥2進(jìn)行討論，特別注意“an=Sn-Sn-1”中要求“n≥2”；②由Sn-Sn-1=an推得的an，驗(yàn)證n=1時(shí)，也適合an的表達(dá)式，則通項(xiàng)公式必須合寫；若a1不適合an的表達(dá)式，則通項(xiàng)公式應(yīng)該寫為

分析：a1=S1=3+b,當(dāng)an=Sn-Sn-1=2×3n-1。

當(dāng)b=-1時(shí)，a1適合等式；當(dāng)b≠-1時(shí)，a1不適合等式。

∴當(dāng)b=-1時(shí)，an=2×3n-1；

當(dāng)b≠-1時(shí)，

在高中數(shù)學(xué)問題中，如果所要討論的問題包含多種情況，那么就要抓住問題中的主干部分，確定條件的變化范圍和考查方向，根據(jù)情況分類討論，最后進(jìn)行思路整合。在運(yùn)用分類討論的方法時(shí)，要樹立分類的意識(shí)，在頭腦里建構(gòu)完整的知識(shí)體系，通過不斷地訓(xùn)練明確應(yīng)該從哪個(gè)方面分類、如何開展研究。在解答的過程中，要充分利用分類討論建設(shè)自身思維能力，對(duì)比解答。

從上面的舉例可以看出，分類討論思想在數(shù)學(xué)中的范圍之廣、作用之大，然而現(xiàn)代高中生對(duì)此方法的掌握并不熟練。在使用分類討論的方法時(shí)，一定要注意對(duì)問題進(jìn)行正確分區(qū)，解題時(shí)要逐級(jí)探討，學(xué)生要培養(yǎng)自己的思維習(xí)慣，靈活地利用已知條件進(jìn)行求解，提升解題的嚴(yán)謹(jǐn)性和縝密性。

[1]皇甫琴．分類討論思想在解題中的應(yīng)用[J]．考試周刊，2012（65）．

[2]閔祝偉．例談“分類討論思想”在解題中的應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)友之家，2013（8）．