解析高中數學數列試題的解題方法及技巧

江蘇省海門實驗學校 陸春東

數列是高中生學習數學過程中需要掌握的重要知識，數列與方程、函數、不等式之間有著緊密聯系，數列題型復雜多變，學生在解題中極易產生困擾。高中數學教師應格外關注數列教學，尤其是有關數列試題的解題方法和技巧，更要進行專門訓練，幫助學生掌握和數列相關的解題方法及技巧，使其能夠準確、快速地解決數列問題，提升學習自信。

一、牢固掌握基礎數列公式，運用公式原理解答試題

在高中數學數列知識體系中，包括等差數列和等比數列兩大類型，考查數列概念的試題較為普遍，主要體現在求和公式與通項公式兩個方面，只需要求學生反復朗讀、背誦和記憶即可，他們就能夠很好地理解和掌握數列公式，在面對此類試題時，可以在短時間內求出正確答案。同時，合理利用求和公式和通項公式，是理解基礎數列知識和分析典型數列試題的基本體現，通過分析和解決試題，可以幫助學生有效掌握有關數列公式的規律。

比如，教師設置試題：已知{an}是公差不為零的等差數列，a1=1，a1，a3，a9成等比數列，求數列{an}的通項公式以及數列的前n項和Sn。解析：根據題意可得該等差數列的公差d≠0，因為a1=1，a1，a3，a9成等比數列，得出（1+2d）2=（1+8d），解出d=0（舍去）或d=1，所以{an}的通項公式an=1+（n-1）×1=n。根據{an}的通項公式可得，根據等比數列前n項和公式能夠得出：在解答完題目之后，教師需帶領學生回顧解題思路，總結和歸納該類題型的解題技巧。

在上述案例中，教師通過設置基礎性數列試題，要求學生對基本的等比數列公式和等差數列公式熟練掌握和透徹理解，學會科學、恰當地運用公式思考和解析試題。扎實基礎知識與基本技能是開展深入學習的基礎和前提，無論在哪個環節，我們都需要開展深入而有效的基礎訓練和學法指導，不積跬步無以至千里。

二、靈活運用數列性質解題，實現解答試題的高效性

在近年來的高考數學數列試題中，考查等差數列和等比數列基本性質的題目有很多，雖然部分題型解答起來較為容易，只需套入相應的公式即可，不過有的試題難度較大，考查學生的邏輯思維能力，這就要求他們在學習中既形成基本的數列素養，還要能夠對枯燥乏味的知識進行靈活運用，不斷拓展有關數列方面的知識，不斷豐富學生的知識儲備。所以，高中數學教師需引導學生靈活運用數列性質解題，解答試題時表現得更加高效。

例如：在等比數列{an}中，an＞0(n∈N＊），公比q∈（0，1），且 a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與 a5的等比中項是 2。（1）求數列{an}的通項公式。（2）設bn=log2an，數列{bn}的前n項和是當的值最大時，n的值是什么？解析：因為則，由題意可知an＞0，所以可得a3+a5=5，又因為a3與a5的等比中項是2，所以a3a5=4。而 q∈（0，1），則由此解得則a1=16，故數列由bn=log2an及an=25-n可得bn=5-n,bn+1-bn=-1,故數列{bn}是首項為4，公差為-1的等差數列。則當n≤8時，當n=9時，=0；當n＞9時，故當n=8或9時，的值最大。

如此，該試題主要考查數列的基本性質，特別是等差中項和等比中項，學生可以采用配方法和函數的單調性來求數列的最值，從而高效解答試題。題目是無限的，而方法是有限的，教師要通過科學引導來啟發學生開展針對性的專題訓練，讓學生在訓練中提升專題復習的效果，達成由此及彼、舉一反三的效果。

三、采用通用數列解題技巧，幫助學生快速求解試題

隨著對高中數學數列知識的深入學習，學生可以發現最普遍和形式最多的試題是對通用解題方法和技巧的考查，這就需要重點訓練采用通用解題方法技巧處理試題，使其能夠快速求解試題。由于高中數學數列試題的性質比較獨特，學生在解題過程中的思維模式應當始終保持活躍，把特殊的數列進行合理拆分或合并，真正找到解題的突破點，之后根據題意靈活采用錯位相減法、分組求和法、疊乘法、倒數法、倒序相加法等。

例如：在數列{an}中，a=1，且點（an，an+1）（n∈N＊）在函數f（x）=x+2的圖像上。（1）求數列{an}的通項公式。（2）在數列{an}中抽取出第2，4，6，8……2n項，形成新的數列{bn}，那么數列{bn}的通項公式及前n項和Sn分別是什么？解析：（1）因為點（an，an+1）在函數f（x）=x+2的圖像上，所以an+1=an+2，即an+1-an=2，故數列{an}是一個等差數列，其中首項a1=1，公差d=2，則an=1+（n-1）×2=2n-1。（2）根據題意可得 bn=a2n=4n-1，Sn=b1+b2+b3+…+bn=n（2n+1）。

上述案例，學生把數列中的每一項分成多項，再將數列的項進行重新組合，使其轉化成等差數列或等比數列，之后采用等差數列或等比數列求和公式進行求解，快速求出答案。在此，我們可以發現方法的重要性和必要性，在這個環節，我們教師需要啟發學生對方法與思想進行積累與對比，在有效的、針對性的訓練中提升學生對方法與思想的領悟深度，并逐漸轉化為學生自身的素養。

在高中數學數列試題解題實踐中，教師需要根據學生在解題中遇到的實際情況或困惑進行深入解析，幫助他們不斷完善和優化解題方法及技巧，使其牢固掌握基礎數列公式，靈活運用數列性質，指導學生掌握多個通用的解題方法及技巧，全力提高他們的數列解題水平。