近五年國內外數學影視作品中的數學探析＊

龔 暉，萬安華

（中山大學 數學學院，廣東 廣州 510275）

數學之樹，經過數千年的不斷成長，如今已枝繁葉茂、花團錦簇。奧妙無窮的數學理論、浩如煙海的數學書籍、神秘傳奇的數學人物，衍生了多樣的數學文化作品，比如數學影視作品。如今越來越多的具有數學專業性的紀錄片和電影被拍攝出來，它們不僅展現了數學和數學家們更加真實的面貌，也提供給了觀眾一條更有趣的了解數學的途徑。

近五年涌現了很多優秀的數學影視作品，比如傳記電影《知無涯者》講述了印度傳奇數學家拉馬努金如璀璨流星的一生；傳記電影《模仿游戲》聚焦于圖靈在布萊切利園解密“英格瑪”協助盟軍獲得二戰勝利的故事；紀錄片《大海撈針：張益唐與孿生素數猜想》介紹了當代華人數學家張益唐在孿生素數研究方面取得的突破性進展。這三位數學家已廣為人知，不再贅述。

本文選取了近五年出現的四部優秀數學理論紀錄片，并對影片中的數學理論做了一些深入的挖掘，旨在給非數學專業的觀影者一些專業的數學指導和給數學專業的人一些觀影建議。

1 數學與數學理論的魅力

1.1 《邏輯的樂趣》中的數學

1.1.1 邏輯的發展史

1.1.1.1 亞里士多德與三段論

邏輯的歷史可以追溯到2500年前的古希臘時期，亞里士多德創造了第一個正式的邏輯規則——三段論。

1.1.1.2 道奇森與批判思維

19世紀，數學家查爾斯·道奇森改變了只有哲學家鉆研邏輯的現狀，他為邏輯游戲和數理邏輯著書，是普及邏輯推理和批判思維的第一人。

1.1.1.3 布爾代數和布爾邏輯

1847年，喬治·布爾出版了關于邏輯的里程碑式的專著《邏輯的數學分析》，這本書搭起了邏輯與代數之間的橋梁。1854年，更為完善的邏輯書籍《思維的規則》被出版，布爾在書中創立了布爾代數和布爾邏輯，這本書也因此成為了他最著名的著作。

1.1.1.4 弗雷格與新邏輯量詞

德國數學家戈特洛布·弗雷格證明了邏輯能夠勝任對確定性的研究。19世紀末，他提出了新邏輯量詞，打開了邏輯學的新篇章。

1.1.1.5 羅素與悖論

英國哲學家伯特蘭·羅素花了9年時間寫出了具有里程碑意義的《Principia Mathematica》，在書中，他提出了關于集合的著名悖論，并論證了他的論點：數學和邏輯是一致的。

1.1.1.6 哥德爾與數學邏輯系統的有限性

哥德爾通過研究羅素的著作得出結論：任何邏輯系統不是非矛盾的就是完整的，但它不能同時具備兩種屬性。他發現了羅素著作中的矛盾，那就是不完全性，并證明了所有數學邏輯系統都是有局限的。

1.1.1.7 圖靈與邏輯的實用性

圖靈提出了“圖靈機”和“有些問題是不可計算的”的觀點，無意間開啟了一個全新的更注重實踐的邏輯革命，成功地把邏輯與現代世界連接了起來。

1.1.2 邏輯的潛能

邏輯在數學理論上的發展似乎已到盡頭，但卻成為了計算機的根基，在所有工程科學中獲得了意義重大的成就；邏輯不僅掀起了數字革命，也是我們用來分類、檢索、獲取網絡信息的工具，幾乎所有復雜的系統都會用到它；邏輯推理能力也是人工智能機器應該具備的基礎和重要的能力。

1.2 《現代生活的秘密規則：算法》中的算法

1.2.1 最大公約數算法

已知的最古老的算法，是古希臘數學家歐幾里得提出的求最大公約數的算法——歐幾里得算法，拓展歐幾里得算法則在公鑰密碼學中有著廣泛的應用。

1.2.2 排序算法

除了冒泡排序算法和歸并排序算法這兩種經典算法之外，世界上還有20多種排序算法，比如選擇排序、插入排序、希爾排序、快速排序、堆排序等。它們有不同的時間復雜度、空間復雜度和穩定性，各有優缺點。

1.2.3 網頁排名算法

網頁排名算法的思想在于一個頁面的重要性取決于鏈接過來的其他頁面的重要性；此算法還適用于其他領域的圖形或者網絡，它現在常用于文獻計量學、社會和信息網絡分析以及量化研究者的科學影響。

1.2.4 人臉識別算法

人臉識別算法在日常生活中被廣泛應用，比如拍照時的面部識別、監控布控公共場所、公安照片搜索系統、門禁出入、身份識別等等。該算法還需要攻克光照、姿態、遮擋、年齡、樣本缺乏、海量數據等難題，有很大的進步空間。

1.2.5 延遲接受算法

1962年，美國數學家David Gale和Lloyd Shapley發明了一種可以得到穩定匹配方案的策略，人們稱之為蓋爾-沙普利算法，也稱為延遲接受算法。該算法應用非常廣泛，比如網站交友匹配、解決擇校問題、醫學問題等等；改進的蓋爾-沙普利算法還被應用到價格起作用的市場中，比如拍賣。

1.2.6 啟發式算法

面對像旅行推銷員這類難題時，人們雖然還沒能找到有效的算法得到最優解，但能夠通過啟發式算法找到盡可能接近最優解的解決方案。啟發式算法以仿自然體算法為主，主要有仿動物，比如蟻群算法；仿植物，比如模擬植物生長算法；仿人類，比如神經網絡；其他，比如模擬退火法。

1.2.7 機器學習

機器學習是一門多領域交叉學科，是人工智能的核心。它有著非常廣泛的應用，比如數據挖掘、計算機視覺、搜索引擎、圖像識別、語音和手寫識別等。

1.3 《CHAOS》中的理論淺析

1.3.1 混沌

混沌，是指確定性動力學系統因對初值極度敏感而表現出的不可預測的、類似隨機的不規則運動。混沌現象在現實生活中無處不在，具有不確定、不可重復和不可預測的特性。

1.3.2 混沌性

1.3.2.1 洛倫茲吸引子

美國氣象學家洛倫茲發現混沌存在于自己提出的大氣模型中，但也發現這些隨機軌線最終會穩定到形如蝴蝶翅膀的奇異吸引子上。這個奇異吸引子被發現，意味著混沌具有某種有序性。

1.3.2.2 馬蹄鐵

斯梅爾提出了抽象的馬蹄鐵，蹄鐵中的軌跡對于初始條件高度敏感，但蹄鐵的整體結構穩定。混沌性，即單個軌跡的不穩定性和整體結構的穩定性，兩者并存。

1.3.2.3 紙條模型

柏曼、古根海墨和和威廉斯提出了簡單的數學模型——紙條模型，來理解洛倫茨吸引子內部的動力系統如何運作；其后，數學家塔克則給出了關于兩者有關聯的嚴謹證明。

1.3.2.4 洛倫茲理論

除了蝴蝶效應，洛倫茲還提出，微小的變化不會改變天氣事件發生的概率，只能改變這些事件所發生的順序。科學家們猜測天氣氣象的混沌和統計數值的穩定性兩種現象共存。因此，人們不再嘗試預測未來某一天的準確的大氣狀態，轉而尋找某種概率，因為比如平均值、概率等統計數值可能不敏感于初始條件。

1.3.2.5 混沌理論的應用

混沌理論，尤其是蝴蝶效應，通常用于天氣、股票市場等在一定時段難以預測的比較復雜的系統中；混沌理論在經濟學、語音研究領域也開始被應用；近幾年來，英、日等國科學家還在開發用混沌信號隱藏機密信息的信號傳輸方法。

1.4 《數學大迷思》中的數學哲思

1.4.1 自然中的數學

數學與自然之間存在著深刻又神秘難懂的聯系，比如，斐波拉契數列常常出現在植物里；常數π出現在任何有波紋的模型中；分子中的原子比和行星公轉自轉比都對應著簡單的數學比率等。數學似乎在自然界中無處不在，真實存在的事物本身就有數學特質嗎？

1.4.2 抽象思維中的數學

伽利略從自由落體運動中得到了數學規律；牛頓得到了存在于星球間相互關聯的數學定律——萬有引力定律……科學家們建立了數學公式，成功地描述和解釋了很多現象，很像是人們自己組建了理解世界的語言——數學。因此，數學來自于人類的大腦嗎？

1.4.3 數學的正確性

數學的正確性保證了數學預測的準確性。約200年前，人們利用數學預測發現了海王星；麥克斯韋建立的電磁理論預測了電磁波的存在；上帝粒子也被預測存在。數學在揭示宇宙奧秘時有著不可思議的精確性，那么數學理論是毋庸置疑地正確嗎？

1.4.4 數學的局限性

數學模型在物理領域已是大放異彩，但在其他領域，比如天氣預測、大腦中神經元互動的方式、心理學的很大一部分、生物學的很多問題等，還包括像生物學系統、經濟學系統這些復雜的動力系統，都很難對其建立精準的數學模型。

1.4.5 數學的近似用法

在現實世界里，精確數學往往要讓步于近似數學。因為人們對實用的部分更感興趣，所以，會稍微犧牲數學的精確性，采用取巧的簡潔方法——作近似，忽略掉一些項從而使方程更簡單。工程師們往往要犧牲一部分數學的精確性，以便使得數學在實際生活中更加好用，使得數學像是我們自己制造的一個不完美的工具。數學到底是被發現還是被發明，至今沒有明確的答案。

2 結論

本文側重于補全和理清影視作品中關于數學理論的內容，揭示了紀錄片中出現的數學知識和介紹了數學理論的應用，比如梳理了邏輯發展的歷史和應用、現代生活中最常用的算法、對混沌理論做出了淺顯的解釋等。將數學影視資源適當、有效地融入到數學的學習和教學中，對于提高學習興趣和推進教學效果來說都是一個有意義的舉措。