考慮剛體運(yùn)動(dòng)與彈體變形耦合效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)建模

陳爾康， 廖欣， 高長(zhǎng)生， 荊武興

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.上海機(jī)電工程研究所, 上海 201109)

0 引言

旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈在飛行過程中繞自身縱軸低速自旋，由此可實(shí)現(xiàn)單通道控制，以簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)，并減小發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏心、質(zhì)量偏心和外形工藝誤差等干擾的影響[1]。但彈體自旋也使得旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的縱軸繞速度矢量作錐形運(yùn)動(dòng)。由于不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)會(huì)降低導(dǎo)彈射程和精度[2]，其穩(wěn)定性得到了眾多專家和學(xué)者的關(guān)注，目前已建立起基于剛體假設(shè)的較完備理論[3]。但為了提高速度、機(jī)動(dòng)性和射程[4]，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈大多數(shù)具備較大的長(zhǎng)徑比和推重比，導(dǎo)致彈體具有較大的彈性，從而引起了彈性變形自由度和剛體運(yùn)動(dòng)自由度之間的耦合(簡(jiǎn)稱剛彈耦合)[5]。文獻(xiàn)[5-6]的研究表明剛彈耦合效應(yīng)對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的軌跡和錐形運(yùn)動(dòng)有較大影響。因此，剛彈耦合效應(yīng)是旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈研究中必須考慮的因素，而傳統(tǒng)的氣動(dòng)彈性[7]和飛行力學(xué)研究并不涉及這類問題。

飛行動(dòng)力學(xué)建模是彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)控制問題研究的基礎(chǔ)[8]。一些學(xué)者在這方面做了初步研究，建立了考慮彈性的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，以考察彈性對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性的影響[9-10]，但未建立完整的飛行動(dòng)力學(xué)模型。事實(shí)上，彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)包括變化幅度較小的彈性變形自由度和變化幅度較大的剛體運(yùn)動(dòng)自由度，因此應(yīng)選擇能準(zhǔn)確描述這兩種運(yùn)動(dòng)自由度的坐標(biāo)系來(lái)完成建模。為研究方便，通常選擇隨導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的體坐標(biāo)系為參考系[11]，常用的主要有平均軸系和準(zhǔn)坐標(biāo)系。平均軸系又稱為蒂塞朗(Tisserand)坐標(biāo)系，導(dǎo)彈相對(duì)于該坐標(biāo)系的線動(dòng)量和角動(dòng)量始終為0，實(shí)現(xiàn)了剛體運(yùn)動(dòng)自由度和彈性變形自由度間的解耦[12-13]。文獻(xiàn)[14]在平均軸系下利用拉格朗日方程推導(dǎo)了彈性飛行器飛行動(dòng)力學(xué)模型，該模型假設(shè)慣量張量不受彈性變形的影響，因此形式較為簡(jiǎn)單，廣泛應(yīng)用于各類彈性飛行器的研究[15-18]。雖然在平均軸系下建模能夠簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)方程，但其定義中的限制條件在真實(shí)情況下很難滿足，而且氣動(dòng)載荷也很難在平均軸系下給出[19]。針對(duì)這些問題，文獻(xiàn)[20]提出在準(zhǔn)坐標(biāo)系下建立動(dòng)力學(xué)模型。該模型中準(zhǔn)坐標(biāo)系的原點(diǎn)始終位于未變形飛行器的質(zhì)心，各坐標(biāo)軸的指向也始終保持不變，因此能較好地描述剛彈耦合。但質(zhì)心不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合會(huì)產(chǎn)生額外的重力矩，并使得該坐標(biāo)系下的平動(dòng)速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度并非真實(shí)值(“準(zhǔn)速度”問題[8])。

針對(duì)上述兩種坐標(biāo)系的不足，文獻(xiàn)[8]提出了一種兼具二者特點(diǎn)的新坐標(biāo)系——瞬態(tài)坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系既能夠正確描述彈性變形對(duì)質(zhì)心位置的影響，又能夠克服準(zhǔn)坐標(biāo)系的“準(zhǔn)速度”問題，因此能更好地體現(xiàn)空氣動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與飛行動(dòng)力學(xué)之間的相互影響。但文獻(xiàn)[8]以非自旋飛行器為對(duì)象，并未考慮旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的特點(diǎn)，也未建立導(dǎo)彈所受力和力矩的計(jì)算模型，難以直接用于彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的研究。因此，本文在瞬態(tài)坐標(biāo)系下利用拉格朗日方程建立了彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)模型。該模型的形式與剛體導(dǎo)彈類似，便于應(yīng)用。最后利用數(shù)值仿真將該模型與其他簡(jiǎn)化模型進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)該模型能夠更好地描述彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)特性。

1 基本假設(shè)與坐標(biāo)系定義

1.1 基本假設(shè)

考慮到實(shí)際情況，為建模方便，做出如下假設(shè)：

1) 不考慮地球的曲率和自轉(zhuǎn)；

2)不考慮彈體的軸向變形，且橫向變形是小量，可用一系列正交模態(tài)描述；

3)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈為軸對(duì)稱體；

4)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈在飛行過程中保持小攻角，并采用準(zhǔn)定常氣動(dòng)力假設(shè)。

1.2 坐標(biāo)系定義

采用如圖1所示的3個(gè)坐標(biāo)系描述彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)，分別定義如下：

1)地面坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，記為I. 坐標(biāo)系原點(diǎn)A位于發(fā)射點(diǎn)。Ax軸在水平面內(nèi)，指向目標(biāo)為正；Ay軸位于鉛垂平面內(nèi)，豎直向上為正；Az軸與Ax軸、Ay軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

2)準(zhǔn)坐標(biāo)系O0x0y0z0，記為B′. 準(zhǔn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O0始終位于未變形導(dǎo)彈的質(zhì)心。O0x0軸與未變形彈體縱軸重合，指向頭部為正；O0y0軸位于未變形導(dǎo)彈縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)并垂直于O0x0軸，指向上方為正；O0z0軸與O0x0軸、O0y0軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。準(zhǔn)坐標(biāo)系用于計(jì)算彈體的彈性變形。

3)瞬態(tài)坐標(biāo)系Obxbybzb，記為B. 坐標(biāo)原點(diǎn)Ob始終位于彈性導(dǎo)彈的質(zhì)心，各坐標(biāo)軸指向始終固定。Obxb軸與未變形彈體的縱軸平行，指向頭部為正；Obyb軸位于未變形導(dǎo)彈縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)并垂直于Obxb軸，指向上方為正；Obzb軸與Obxb軸、Obyb軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。瞬態(tài)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸指向與準(zhǔn)坐標(biāo)系相同，但原點(diǎn)始終位于飛行器的質(zhì)心，從而使得該坐標(biāo)系可以準(zhǔn)確地描述彈性變形對(duì)質(zhì)心位置的影響，并克服“準(zhǔn)速度”問題。

1.3 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

將地面坐標(biāo)系先繞Ay軸轉(zhuǎn)動(dòng)ψ角，再繞Obzb軸或O0z0軸轉(zhuǎn)動(dòng)?角，最后繞Obxb軸轉(zhuǎn)動(dòng)γ角，則兩坐標(biāo)系會(huì)重合。由于瞬態(tài)坐標(biāo)系和準(zhǔn)坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸指向是相同的，地面坐標(biāo)系到瞬態(tài)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣與地面坐標(biāo)系到準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣相同。地面坐標(biāo)系到瞬態(tài)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣L(ψ,?,γ)如(1)式所示：

(1)

2 彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈建模

2.1 彈體變形引起的質(zhì)心改變

彈體的彈性變形可在準(zhǔn)坐標(biāo)系中利用固有振型和模態(tài)坐標(biāo)描述[13]：

(2)

式中：j0和k0分別為準(zhǔn)坐標(biāo)系O0y0軸和O0z0軸的單位向量；Φi(x0)為第i階振型，x0為軸段微元的軸向坐標(biāo)，下文為表示方便將Φi(x0)記為Φi；ηy0,i(t)和ηz0,i(t)分別為O0y0軸和O0z0軸方向上的第i階廣義坐標(biāo)，與瞬態(tài)坐標(biāo)系Obyb軸和Obzb軸方向上的廣義坐標(biāo)相同，下文為表示方便只記為ηyb,i和ηzb,i；n為振動(dòng)模態(tài)的總階數(shù)。

因此軸段微元在準(zhǔn)坐標(biāo)系下的位置矢量為

(3)

式中：i0為準(zhǔn)坐標(biāo)系O0x0軸的單位向量。

由(3)式可計(jì)算準(zhǔn)坐標(biāo)系下導(dǎo)彈質(zhì)心的位置矢量ΔC為

(4)

式中：m為導(dǎo)彈質(zhì)量。

(5)

則(4)式可改寫為

(6)

由此可見，λi可以表征彈性變形引起質(zhì)心改變的大小。

綜上所述，由于準(zhǔn)坐標(biāo)系與瞬態(tài)坐標(biāo)系坐標(biāo)軸指向相同，軸段微元在二者下的位置矢量只相差矢量ΔC：

(7)

2.2 力與力矩

2.2.1 推力與推力矩

由(2)式可知彈體尾部的變形角為

(8)

FT=Tib-TΔτy0jb-TΔτz0kb，

(9)

式中：T為推力大小。而推力作用點(diǎn)的位置矢量RT(t)為

(10)

式中：xcg為導(dǎo)彈質(zhì)心距頭部的距離。

由(9)式和(10)式可計(jì)算推力矩：

MT=RT×FT=MTxbib+MTybjb+MTzbkb=(TΔτy0zT0-TΔτz0yT0)ib+(TzT0+TΔτz0xT0)jb+(-TyT0-TΔτy0xT0)kb，

(11)

式中：MTxb、MTyb和MTzb分別為推力矩在瞬態(tài)坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸上的分量；xT0、yT0和zT0分別為發(fā)動(dòng)機(jī)噴口在準(zhǔn)坐標(biāo)系下的三軸坐標(biāo)。

2.2.2 氣動(dòng)力與氣動(dòng)力矩

在彈性變形影響下，t時(shí)刻軸向位置xb處軸段微元攻角α(xb,t)和側(cè)滑角β(xb,t)的計(jì)算公式如(12)式所示：

(12)

(13)

u、v和w分別為導(dǎo)彈質(zhì)心速度在瞬態(tài)坐標(biāo)系下的3個(gè)分量。

導(dǎo)彈所受氣動(dòng)力和力矩可由軸段微元所受氣動(dòng)載荷積分得到，氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算公式如(14)式所示：

(14)

式中：Cxb為軸向氣動(dòng)力系數(shù)；CNyb和CNzb為側(cè)向氣動(dòng)力系數(shù)；d0(xb)、dA(xb)分別為單位長(zhǎng)度的零升阻力系數(shù)和誘導(dǎo)阻力系數(shù)；n(xb)為單位長(zhǎng)度的側(cè)向氣動(dòng)力導(dǎo)數(shù)。

將(12)式代入(14)式并忽略2階小量，可得氣動(dòng)力系數(shù)的具體表達(dá)式為

(15)

(16)

同理可得氣動(dòng)力矩系數(shù)CMyb和CMzb的表達(dá)式為

(17)

(18)

2.2.3 馬格努斯力矩

與氣動(dòng)力系數(shù)計(jì)算類似，馬格努斯力矩系數(shù)的計(jì)算公式如(19)式所示：

(19)

(20)

lm為單位長(zhǎng)度的馬格努斯力系數(shù)。

2.2.4 廣義力

廣義力可分為沿Obyb軸和Obzb軸兩個(gè)方向：

(21)

式中：Qyb,i和Qzb,i為第i階廣義力的分量；q為動(dòng)壓；S為導(dǎo)彈的特征面積；Fyb,j(t)和Fzb,j(t)為第j個(gè)集中載荷的分量；xj為第j個(gè)集中載荷作用點(diǎn)距導(dǎo)彈頭部的距離；r為集中載荷的數(shù)量；CQyb,i和CQzb,i為廣義力系數(shù)，

(22)

(23)

3 彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)方程

3.1 拉格朗日方程

為簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程，采用廣義坐標(biāo)系下的拉格朗日方程[19-20]建立動(dòng)力學(xué)方程如下：

(24)

(25)

(26)

D為阻尼耗散能。

依次計(jì)算動(dòng)能、勢(shì)能和阻尼耗散能并代入(24)式，即可得到彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程。

3.2 動(dòng)力學(xué)方程的建立

3.2.1 導(dǎo)彈動(dòng)能

如圖2所示，軸段微元在瞬態(tài)坐標(biāo)系下的位置矢量為

R=R0+p.

(27)

對(duì)(27)式等號(hào)兩側(cè)進(jìn)行微分，可得

(28)

由(28)式即可計(jì)算導(dǎo)彈的動(dòng)能K：

(29)

式中：J0為旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈無(wú)彈性變形時(shí)的慣量張量，

(30)

Ixx0、Itt0分別為未變形導(dǎo)彈縱向和橫向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；d為軸段微元在瞬態(tài)坐標(biāo)系下位置矢量的側(cè)向分量；ρ為軸段微元在瞬態(tài)坐標(biāo)系下位置矢量的軸向分量。

將各分量代入(29)式，可得導(dǎo)彈動(dòng)能表達(dá)式：

(31)

式中：ωxb為導(dǎo)彈自旋角速度；σi為與振型有關(guān)的常數(shù)，

(32)

Mi為第i階模態(tài)質(zhì)量，

(33)

(31)式等號(hào)右側(cè)的第1項(xiàng)是旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的平動(dòng)動(dòng)能；第2項(xiàng)～第8項(xiàng)是考慮了質(zhì)量特性變化的導(dǎo)彈轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；第9項(xiàng)～第12項(xiàng)是彈性變形和導(dǎo)彈轉(zhuǎn)動(dòng)耦合產(chǎn)生的動(dòng)能；第13項(xiàng)～第16項(xiàng)是彈性變形引起的動(dòng)能。

3.2.2 導(dǎo)彈勢(shì)能與阻尼耗散能

導(dǎo)彈勢(shì)能U包含重力勢(shì)能Ug和彈性勢(shì)能Ue,

U=Ug+Ue,

(34)

式中：

(35)

Rx、Ry和Rz為質(zhì)心位置矢量在慣性坐標(biāo)系下的3個(gè)分量，g和g分別為引力加速度矢量和引力加速度大??；

(36)

ωi為第i階模態(tài)的固有角頻率。

導(dǎo)彈阻尼耗散能的表達(dá)式為

(37)

式中：μi為第i階模態(tài)的臨界阻尼系數(shù)。

3.2.3 動(dòng)力學(xué)方程

將(31)式、(34)式和(37)式代入(24)式，即可得到動(dòng)力學(xué)方程。根據(jù)(24)式，動(dòng)力學(xué)方程可以分為3組：質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程、繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程和彈性變形動(dòng)力學(xué)方程。其中質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程如(38)式所示：

(38)

繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程如(39)式～(41)式所示：

(39)

(40)

(41)

彈性變形動(dòng)力學(xué)方程如(42)式和(43)式所示：

(42)

(43)

3.3 動(dòng)力學(xué)方程分析

由(38)式可知，由于瞬態(tài)坐標(biāo)系的原點(diǎn)始終位于彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈瞬時(shí)質(zhì)心，建立在該坐標(biāo)系下的質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程與剛體導(dǎo)彈的質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程形式一致，從而給后續(xù)研究帶來(lái)了方便。

由(39)式～(43)式可知，在繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程與彈性變形動(dòng)力學(xué)方程中，剛體運(yùn)動(dòng)自由度與彈性變形自由度相互耦合在一起。而文獻(xiàn)[14]建立的動(dòng)力學(xué)方程忽略了所有耦合項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)了繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程與彈性變形動(dòng)力學(xué)方程間的解耦：繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程只包含剛體運(yùn)動(dòng)自由度，彈性變形動(dòng)力學(xué)方程中只包含彈性變形自由度。這表明建立在瞬態(tài)坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程考慮了彈性變形對(duì)質(zhì)量特性的影響，能夠完整地描述剛彈耦合特性。這是建立在平均軸系和準(zhǔn)坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)模型無(wú)法做到的，因此稱本文建立的模型為慣性耦合完整模型。

事實(shí)上，基于不同假設(shè)對(duì)該模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，即可得到其他文獻(xiàn)使用的模型。

由(5)式可知，λi表征彈性變形對(duì)質(zhì)心位置的影響，σi表征彈性變形與剛體旋轉(zhuǎn)耦合引起的動(dòng)能增量。平均軸系中的建模忽略了這兩種耦合，因此有

(44)

將(44)式代入動(dòng)力學(xué)方程(40)式～(43)式，則繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為

(45)

(46)

而結(jié)構(gòu)變形動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為

(47)

(48)

(45)式～(48)式組成的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型與文獻(xiàn)[6-7]中的動(dòng)力學(xué)模型一致，只保留了一部分耦合項(xiàng)，本文稱為慣性耦合簡(jiǎn)化模型。

進(jìn)一步地，忽略彈性變形對(duì)質(zhì)量特性的影響，可得到與剛體導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型形式一致的彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型，如(49)式～(52)式所示：

(49)

(50)

(51)

(52)

該模型忽略了所有耦合項(xiàng)，因此彈性變形自由度與剛體運(yùn)動(dòng)自由度在形式上是解耦的，二者之間的耦合僅體現(xiàn)在力和力矩的計(jì)算上。本文稱該模型為非慣性耦合模型。

綜上所述，建立在瞬態(tài)坐標(biāo)系下的慣性耦合完整模型考慮了彈性變形對(duì)質(zhì)量特性的影響，能夠全面描述剛彈耦合效應(yīng)。而且慣性耦合完整模型利用微分方程描述彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)，只增加了有限數(shù)量的彈性變形自由度，便于工程應(yīng)用。

4 仿真分析

某旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的前2階固有頻率分別為43 Hz和106 Hz，相應(yīng)的振型如圖3所示，其他參數(shù)如表1所示。

表1 旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈參數(shù)

下面以該旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈為對(duì)象進(jìn)行仿真，分析3.3節(jié)中3種模型的差別。

4.1 慣性耦合完整模型與慣性耦合簡(jiǎn)化模型

分別使用慣性耦合完整模型和慣性耦合簡(jiǎn)化模型進(jìn)行仿真。自旋角速度為263.5 rad/s的仿真結(jié)果如圖4～圖8所示。由圖4～圖8可以看出，此時(shí)完整模型的仿真結(jié)果已經(jīng)開始發(fā)散，而簡(jiǎn)化模型的結(jié)果尚未發(fā)散。此外，簡(jiǎn)化模型和完整模型關(guān)于剛體攻角α0、剛體側(cè)滑角β0和角速度ωyb、ωzb的仿真結(jié)果存在著較明顯的差別，其中角速度的相位一致，差別主要體現(xiàn)在幅值上，而模態(tài)坐標(biāo)ηyb，1、ηzb，1則相差不大。

自旋角速度為160 rad/s的仿真結(jié)果如圖9～圖13所示。由圖9～圖13可以看出，此時(shí)完整模型和簡(jiǎn)化模型仿真結(jié)果之間的差別明顯減小，只有剛體攻角α0、剛體側(cè)滑角β0和角速度ωyb、ωzb間存在一定的差別，模態(tài)坐標(biāo)ηyb，1、ηzb，1的仿真結(jié)果基本一致。

自旋角速度為60 rad/s的仿真結(jié)果如圖14～圖18所示。此時(shí)兩種模型的仿真結(jié)果基本一致。

以上3組仿真結(jié)果表明，在自旋轉(zhuǎn)速較大時(shí)，簡(jiǎn)化模型和完整模型關(guān)于剛體攻角、剛體側(cè)滑角和角速度的仿真結(jié)果存在較明顯的差別，其中角速度的相位一致，差別主要體現(xiàn)在幅值上，而兩種模型關(guān)于模態(tài)坐標(biāo)的結(jié)果則基本一致。表明剛彈耦合效應(yīng)對(duì)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)有一定影響，且這種影響主要體現(xiàn)在角速度的幅值上；在導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)不發(fā)散情況下，兩種模型在彈性變形方面的差別很小，可以忽略。此外，隨著自旋角速度的增加，彈性變形自由度的頻率減小，與(42)式和(43)式的結(jié)果一致。

綜上所述可知，慣性耦合完整模型和慣性耦合簡(jiǎn)化模型之間的差別相對(duì)較小，在彈性變形頻率較大時(shí)甚至可以忽略，而在彈性變形頻率較小時(shí)二者之間差別較大，需要加以考慮。因此在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈自旋轉(zhuǎn)速較小(遠(yuǎn)小于彈性模態(tài)固有頻率)時(shí)，可使用較簡(jiǎn)單的慣性耦合簡(jiǎn)化模型。

4.2 慣性耦合完整模型與無(wú)慣性耦合模型

下面分別使用慣性耦合完整模型和無(wú)慣性耦合模型進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖19～圖23所示。

由圖19、圖20和圖21可知，兩種模型關(guān)于剛體攻角α0、剛體側(cè)滑角β0和角速度ωyb、ωzb的仿真結(jié)果中幅值與相位均存在明顯差別。由圖22和圖23可知關(guān)于彈性變形的仿真結(jié)果基本一致。表明慣性耦合對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈剛體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的影響較大，對(duì)彈性變形的影響則很小。因此對(duì)于彈性較大的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，目前使用較多的平均軸系下的動(dòng)力學(xué)方程不夠準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

為準(zhǔn)確描述彈性變形對(duì)質(zhì)心位置的影響并克服準(zhǔn)坐標(biāo)系下的“準(zhǔn)速度”問題，本文引入了瞬態(tài)坐標(biāo)系，并在該坐標(biāo)系下建立了能夠全面描述剛彈耦合效應(yīng)的彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型。所得主要結(jié)論如下：

1) 慣性耦合完整模型在不同假設(shè)條件下可簡(jiǎn)化為目前使用較多的慣性耦合簡(jiǎn)化模型和無(wú)慣性耦合模型：慣性耦合完整模型忽略彈性變形導(dǎo)致的質(zhì)心改變和剛彈耦合產(chǎn)生的動(dòng)能增量可得到慣性耦合簡(jiǎn)化模型，進(jìn)一步忽略彈性變形對(duì)質(zhì)量特性的影響可得到無(wú)慣性耦合模型。

2)慣性耦合簡(jiǎn)化模型在導(dǎo)彈自旋轉(zhuǎn)速較低時(shí)與慣性耦合完整模型差別較小，在自旋轉(zhuǎn)速較高時(shí)的差別則不可忽略；無(wú)慣性耦合模型所忽略掉的慣性耦合項(xiàng)對(duì)角速度幅值和相位均影響較大，無(wú)法準(zhǔn)確描述彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。

3) 慣性耦合完整模型利用微分方程描述彈性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)，在只增加有限數(shù)量自由度的情況下能夠完整地描述剛彈耦合效應(yīng)，便于工程應(yīng)用。

4)在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈自旋轉(zhuǎn)速較小(遠(yuǎn)小于彈性模態(tài)固有頻率)時(shí)，可使用較簡(jiǎn)單的慣性耦合簡(jiǎn)化模型。但該模型的應(yīng)用仍需經(jīng)過模型的校驗(yàn)、驗(yàn)證和確認(rèn)。