基于六自由度非線性模型的穩定儲備計算方法

張羽白，崔彥勇，李玉飛，劉寶文，相 梅，楊振聲

（航空工業洪都，江西 南昌，330024）

0 引言

高機動能力是現代戰機的重要特征，而飛機的機動響應能力與穩定性是一對矛盾，在飛機氣動平臺確定后，電傳飛機的穩定性能主要取決于控制律設計。為盡可能提高飛機機動能力，需要在設計階段準確地計算飛控系統的穩定裕度，為控制律設計提供明確的穩定邊界。

其中，穩定儲備是評價飛機和飛控系統穩定性的一個重要指標，表明系統穩定的可靠程度。穩定儲備包括幅值儲備和相位儲備，即系統進入不穩定狀態之前可以增加的相位和增益變化，相位儲備和幅值儲備越大，系統越穩定，GJB 2191中對其有明確指標要求。

在控制律設計階段，穩定儲備理論計算利用線性化小擾動模型和飛行控制系統線性化模型求取系統穩定儲備，但通過后期和鐵鳥試驗得到的穩定儲備對比發現，該方法存在以下問題：采用小擾動模型并線性化的方法，忽略了飛機氣動特性及飛控系統存在的多種復雜非線性，所求取的穩定儲備與實際穩定儲備存在較大偏差，可能導致后期控制律設計反復。

基于以上原因，本文提出一種基于六自由度非線性模型的穩定儲備理論計算方法，通過快速傅里葉變換方法計算飛控系統縱、橫、航向的穩定儲備。

1 六自由度非線性模型下的穩定儲備計算方法

根據快速傅里葉變換建立六自由度非線性模型的穩定儲備計算模型。

1.1 快速傅里葉變換

對于一個周期連續信號f（t）可以通過傅里葉級數將其分解成不同頻率的正余弦函數之和，從頻率的角度對信號進行分析和研究，如式1～6所示。

其中，ω1、T1分別是原周期函數的角頻率和周期。

對這種頻域分析的概念進行拓寬，可以得到時域信號非周期甚至是離散情況下對應的傅里葉變換方法。工程應用一般使用數字計算機進行計算，要求輸入的時域信號和輸出的頻域信號都是離散信號，且輸入的時域信號一般為非周期，這種情況下應采取離散傅里葉變換方法，如公式7～9所示：

通過離散傅里葉變換，可以將離散的時域信號和頻域信號進行相互轉換，同時，輸入輸出信號都是數字信號，這使得該過程可以使用數字計算機進行，拓展了該方法的實用性。

然而，根據式（7）和式（8），整個離散傅里葉變換運算需要4N2次實數乘法和2N（2N-1）次實數加法，計算復雜度為o（N2）。如果直接用定義式計算離散傅里葉變換，隨著信號長度的增加，計算復雜度會急速增加，運算量非常大。

因此，直接計算離散傅里葉變換的方法是行不通的，必須尋找減少運算次數的途徑，由此催生了快速傅里葉變換算法（FFT）。

快速傅里葉變換算法主要有兩大類，即時域抽取法和頻域抽取法，又分別被稱為庫利算法和圖基算法。這兩種算法分別按照時域和頻域的奇偶性對序列進行分解，從而減小了計算復雜度，具體做法本文不做贅述。當序列長度為N=2M時，其計算復雜度為o（Nlog2M）。N越大，快速傅里葉變換相對于原始離散傅里葉變換速度越快，這樣就大大提升了離散傅里葉變換的實用性。

1.2 穩定儲備計算方法

基于六自由度非線性模型的穩定儲備原理圖見圖1和圖2，其中δio為掃頻信號，δz為輸入時域信號，X為輸出時域信號。

穩定儲備計算方法具體步驟如下：

1）在飛機配平狀態下，從作動器模型后加入掃頻信號，選取合適的起始頻率、終止頻率，采樣信號長度為系統開始接收掃頻信號擾動到系統響應穩定的時間長度。

2）根據采集的輸入、輸出時域信號，使用快速傅里葉變換將其變換為頻域信號；將輸出信號對應的頻域信號除以輸入信號對應的頻域信號，即可得到系統本身的頻域特性曲線，這些頻域信號值都是復數，可以方便地求出幅值和相位。頻域信號對應的頻率值根據式10求取。

圖1 縱向穩定儲備計算原理圖

圖2 橫、航向穩定儲備計算原理圖

其中，N=100，表示時域信號采樣頻率，L表示采樣計算得到的頻域信號總數，例如，當采樣時間為10s時，L=1001；系數6.28是將頻率單位由HZ轉換為rad/s，以便與試驗結果進行比較。得到頻域信號幅值、相位和對應頻率以后，即可繪制伯德圖求取穩定儲備。

2 六自由度Simulink模型穩定儲備仿真計算

以縱向穩定儲備求取為例，搭建六自由度非線性模型，掃頻模塊位于作動器后，如圖3所示。

按照2節所述方法步驟，繪制伯德圖如圖4所示：

圖3 縱向掃頻模塊示意圖

圖4 起飛0km、0.2M非線性穩定儲備伯德圖

通過伯德圖，可以計算出系統的幅值穩定儲備和相位穩定儲備。如圖4，在幅值頻率特性圖中可以算出穿越0db頻率為2.82rad/s，根據相位頻率特性圖可知該頻率下對應的相角為-104.22°，系統相位儲備GM=-104.22°-（-180°）=75.78°；同理，根據相位頻率特性圖可以計算出系統相位-180°時對應的頻率為19.37rad/s，對應的系統幅值穩定儲備PM=18.50db。這樣就得到了表征系統穩定程度所需的穩定儲備所有參數。

3 結果對比分析

將基于六自由度非線性模型穩定儲備計算方法得到的計算結果與小擾動方法、鐵鳥臺試驗方法得到的結果進行對比分析。

以某型飛機為原型，搭建六自由度非線性仿真模型，選取合適狀態點，按照第2節所述方法步驟進行仿真計算縱向穩定儲備，對應構型對應狀態點的鐵鳥穩定儲備試驗結果和小擾動模型仿真計算結果對比見表1。

表1 三軸穩定儲備對比

從表1可以看出，通過六自由度非線性模型穩定儲備計算方法計算出來的縱向穩定儲備，相對于原有的小擾動模型計算方法，更接近真實鐵鳥試驗結果，但還存在一定差異。

分析認為，誤差存在的原因可能是真實鐵鳥環境各環節的時延和相位滯后相對于理想仿真模型更大，導致在真實鐵鳥試驗得到的伯德圖中，系統幅值響應與理想六自由度模型一致，穿越頻率相同，而系統相位下降相對更快，穿越頻率對應的相位距離-180°更近，因此相位儲備更小；同理，真實鐵鳥試驗系統相位更快到達-180°，導致相角-180°處頻率更小，從而幅值儲備也更小；也有可能是鐵鳥試驗和非線性仿真方法不同掃頻方法造成的，有待進一步研究。

4 結語

本文以某型飛機為原型機，運用快速傅里葉變換方法在六自由度非線性模型中進行飛機穩定儲備計算。通過仿真結果對比分析，驗證了非線性模型穩定儲備計算方法在縱、橫、航向穩定儲備求取上的準確性，總體上優于原有的小擾動模型穩定儲備計算方法，能夠減少控制律設計的迭代次數，提高工作效率。