高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題技巧探究

江蘇省鄭集高級中學(xué) 許 敏

數(shù)學(xué)作為高中階段教學(xué)中的重要學(xué)科，在學(xué)生的學(xué)習(xí)和考試中有著十分重要的位置。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的實踐能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。而數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中難度跨度大、思想方法多并且知識綜合性強的重要內(nèi)容，在解題的過程中，需要運用函數(shù)和方程思想，又需要根據(jù)實際題目借助分類討論和化歸思想，要求學(xué)生掌握相應(yīng)的解題技巧和思路。因此，在高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解題中，應(yīng)促進學(xué)生不斷總結(jié)和積累，掌握相應(yīng)的解題技巧。

一、充分理解數(shù)列基本概念，實現(xiàn)問題的解答

數(shù)列是按照一定次序排列的數(shù)字，是一種特殊的函數(shù)。在數(shù)列問題的解題過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)記憶和理解數(shù)列的基本概念，合理利用通項公式，從而實現(xiàn)問題的快速解答。在教學(xué)中，我們教師要把握數(shù)列問題教學(xué)的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生充分領(lǐng)會數(shù)列的基本概念，從而奠定數(shù)列學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。事實上，只要學(xué)生充分領(lǐng)會數(shù)列的基本含義，掌握基礎(chǔ)的問題，就能夠進一步鞏固學(xué)生的數(shù)列基礎(chǔ)知識，為更深層次問題的解答奠定基礎(chǔ)。

在等差數(shù)列的教學(xué)中，教師可以這樣開始課堂教學(xué)：第一屆現(xiàn)代奧運會是1896年在希臘的雅典舉行的，之后每四年舉行一次，如果因故不能舉行，屆數(shù)照算。同學(xué)們請嘗試著寫出舉行奧運會的年份構(gòu)成的數(shù)列的通項公式。2008年北京奧運會是第幾屆？在2050年有奧運會舉行嗎？這是教師引導(dǎo)學(xué)生思考等差數(shù)列的概念：一個數(shù)列如果從第二項開始，每一項和其前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列稱之為等差數(shù)列。讓學(xué)生根據(jù)題目找出首項、常數(shù)、總數(shù)、第n項和前n項和這五個變量之間的關(guān)系以及變化的規(guī)律。此題的首項是1896，常數(shù)是4，學(xué)生根據(jù)相應(yīng)的關(guān)系，可以得出數(shù)列的通項公式是an=1896+4（n-1）=1892+4n（n∈N+）。之后進行相應(yīng)的計算得出，2008年北京奧運會是29屆，1892+4n=2050沒有整數(shù)解，說明在2050年沒有奧運會舉行。

在此種類型的例題中，掌握五個自變量中的其中三個，能夠很自然地得出另外兩個。因此，在數(shù)列問題解答的過程中，深刻地理解數(shù)列基本概念，靈活地運用通項公式和前n項和公式，透徹地理解變量之間的關(guān)系，能夠快速地解答此類數(shù)列問題。因此，我們教師在教學(xué)數(shù)學(xué)問題時，既要引導(dǎo)學(xué)生充分把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，更要通過設(shè)計契合學(xué)生概念認(rèn)知的習(xí)題，夯實學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，為學(xué)生深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、結(jié)合數(shù)學(xué)數(shù)列的性質(zhì)，促進數(shù)列問題的解答

高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題的解答中，多數(shù)題目是考查學(xué)生對數(shù)列性質(zhì)的理解和掌握，借助變化多樣、多層次的例題，考查學(xué)生對數(shù)列性質(zhì)的掌握水平。因此，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)列性質(zhì)進行分析和總結(jié)，深入掌握數(shù)列性質(zhì)，有效解答多樣化的數(shù)列問題。在實際解題中應(yīng)當(dāng)以數(shù)列性質(zhì)的掌握作為基礎(chǔ)，綜合利用數(shù)列知識，提高解題效率。

如：已知等差數(shù)列{an}中，a1+a6=12，a4=7，求a9的值。在解題的過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)：“同學(xué)們，在等差數(shù)列中，如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。那么這個題目我們應(yīng)該怎么去解答呢？通過進一步的引導(dǎo)，1+6=3+4，因此a1+a6=a3+a4，所以a3+a4=12，由此得出a3=5，根據(jù)題目可以得出等差數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，得出相應(yīng)的通項公式，進一步求解得出a9=17。在此種類型例題的解答過程中，主要是考查學(xué)生對等差數(shù)列性質(zhì)的掌握和理解情況，教師在教學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生深刻地分析和理解數(shù)列性質(zhì)，并且明確其推導(dǎo)的過程，加深對數(shù)列性質(zhì)的理解。如果學(xué)生不能夠理解和掌握數(shù)列性質(zhì)，依靠死記硬背和機械記憶，在解題的過程中就難以靈活運用。

數(shù)學(xué)教學(xué)重在領(lǐng)會問題的本質(zhì)，把握知識的精髓，掌握不同或相近知識之間的差異。等比和等差數(shù)列有很多種性質(zhì)，性質(zhì)之間存在一定的聯(lián)系，同時也存在一定的差異，學(xué)生應(yīng)當(dāng)深入學(xué)習(xí)，全面掌握，并且能夠在解題中靈活運用，能夠降低數(shù)列問題的解題難度，提高學(xué)生的解題效率和精確度。

三、利用分組求和法，求解數(shù)列前n項和

在數(shù)列問題的解答過程中，求解前n項和是一種常見的問題，利用錯位相減法求和時，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列的規(guī)律，如果數(shù)列不是等差數(shù)列和等比數(shù)列，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列的各項是否能夠進行拆分，拆分出來的不同部分是否能夠組合成新的等差數(shù)列或者等比數(shù)列，如果可以，就可以利用分組求和的方式進行解決。通過將復(fù)雜的數(shù)列各項進行簡單化解，更加有利于數(shù)列的求和，幫助學(xué)生快速地解答問題。

方法對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重傳授給學(xué)生科學(xué)恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ@樣才能讓學(xué)習(xí)事半功倍。在此種類型題目的解答過程中，最重要的環(huán)節(jié)是拆分，引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列并且合理拆分，使得拆分的部分能夠符合等比和等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)，靈活地掌握拆分方式，同時在拆解的過程中不能夠局限于簡單的拆解，有時可能會進行二次拆解。

總之，數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點知識內(nèi)容，加強數(shù)列知識的學(xué)習(xí)能夠促進學(xué)生邏輯思維的發(fā)展，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。在數(shù)列問題解答的過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握數(shù)列的基本概念和性質(zhì)，并且對數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等靈活使用，采取靈活多變的解題方式，降低數(shù)列問題解答的難度，提高解題的速度和質(zhì)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。