高等數學教學中數學建模意識的培養

哈爾濱金融學院 許 毅

高等數學在整個數學領域中占據著十分重要的地位，它具有嚴謹的邏輯性和廣泛的應用性，是人們在生活、工作和學習中的重要工具。而數學建模的主要意義即為讓學生通過抽象和歸納，將實際問題構建成一個可用數學語言表達的數學模型，從而利用數學知識順利解決，同時在構建模型和解決問題的過程中，也使自身的數學思維及應用能力得到鍛煉和發展。鑒于此，如何有效培養學生的數學建模意識歷來是高數教師積極探索的課題。以下筆者擬結合自身教學實踐，針對高等數學教學中數學建模意識的培養談幾點策略性意見，希望對相關教育工作者有所助益。

一、在概念講解中挖掘數學建模思想

我們知道，無論哪一門學科的知識，概念和定義的形成都建立在對客觀事物或普遍現象的觀察、分析、歸納和提煉的基礎之上，是經過科學論證形成的學科語言表達。高等數學作為一門邏輯性和應用性強的工具學科，這一點體現得尤為明顯，換言之，即其概念和定義都是從客觀存在的特定數量關系或空間形式中抽象出來的數學表達，從本質上說，其本身即蘊含和體現了經典的數學建模思想。因此，我們在進行數學概念或定義的講解時，一定重視挖掘其中的數學建模思想，使學生從本源的角度更好掌握。具體來說，即為借助實際背景或實例，強調從實際問題到抽象概念的形成過程，使學生體會數學建模思想，這不僅有助于其在潛移默化中逐步樹立數學建模意識，也有利于其對概念或定義的理解和掌握。

例如在講授極限的定義時，如只單純灌輸，則不少學生會由于其高度的抽象性而感到空洞，如此既不利于對定義的學習，體會數學建模思想更將無從談起。這種情況下，教師就可合理引入一些實際背景，結合實例進行講授，如我國古人所說的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，其中就含有極限的思想；再如古代數學家劉徽利用“割圓術”求圓的面積，實際上就利用了極限思想；還可以通過一組實驗數據或是坐標曲線上點的變化等實例向學生展示極限定義的形成，并深入挖掘其實質。這樣就不僅能使學生相對容易地掌握定義，更能體會其背后的數學建模思想，從而促進其數學建模意識的培養。

二、在定理學習中示范數學建模方法

高等數學中涉及很多重要的定理及公式，學生應在理解的基礎上掌握其運用角度和應用方法，并能利用其解決一些與之相關的實際問題，這是對學生學習高等數學的基本能力要求之一。而在引用某些定理解決實際問題時，毫無疑問會涉及數學建模，因此，教師在日常教學中進行定理及公式的講授時，應注意選擇一些相關實際問題作為數學建模的載體，并加以詳細而深入的建模示范，從而在學生初始接觸定理和公式時即能觸發對數學建模思想的應用意識和能力。這可以說是培養學生數學建模意識的關鍵環節和有力途徑，是顯著促進學生形成數學建模意識的直接手段。如能長期以這種理論聯系實際的方式對學生加以熏陶，無疑也能使學生在潛移默化中增強數學建模意識和數學應用能力。

例如，一元函數介值定理是高等數學中的重要定理之一，其應用也比較廣泛，在學習此定理時就可以合理引入比較有代表性的實際問題進行建模示范，筆者曾用過有名的所謂“椅子問題”：將一把四條腿的椅子置于一個凹凸不平的平面，椅子的四條腿能否有同時著地的可能？試著作出證明。在示范建模并加以證明的過程中，就使學生對抽象的介值定理有了更深層次的理解，同時體會了數學建模的應用，尤其是如何用數學語言描述實際問題，從而更好地建立模型，另外，也在一定程度提升了對介值定理的應用能力。

三、在大量練習中感悟數學建模的應用

俗話說“實踐出真知”，只有不斷地應用演練，才能促使學生真正樹立起數學建模意識，并切實體會數學建模思想及方法的應用。這方面，數學應用題無疑是最好的練習陣地，它的主要作用便在于提升學生運用所學知識解決實際問題的能力，因此較多涉及建模問題，尤其是突出思想和方法的應用過程。筆者建議，在學習過相關理論知識后，應“趁熱打鐵”，適當選取一些經典的實際應用問題供學生練習和提升，即通過分析、歸納和抽象構建數學模型，而后運用數學知識解決問題。這是培養學生數學建模意識的發展和補充，值得我們高度重視。

比如，與導數相關的實際應用問題有經濟學中的邊際分析、彈性問題、征稅問題模型；與定積分相關的有資金流量的現值和未來值模型，學習曲線模型等；微分方程則涉及馬爾薩人口模型、組織增長模型、再生資源的管理和開發的數學模型等，尤其是利用微方程模型分析一些傳染病中的受感染人數的變化規律，從而探尋如何控制傳染病的蔓延。總之，可用于學習練習數學建模的經典實際應用問題有很多，我們應善于合理選取和重點講解，引導學生增強數學建模能力和解決實際問題的能力，從而獲得更好的進步和發展。

綜上，筆者結合教學實踐，就如何在高等數學教學中培養學生的數學建模意識提出了三點淺顯見解，即在概念講解中挖掘數學建模思想、在定理學習中示范數學建模方法、在大量練習中體會數學建模的應用。當然，培養學生的數學建模意識是一個具有一定深度和廣度的話題，只有在教學實踐中積極探索，深入思考并善于總結，才能找到更多更有效的策略及方法，從此角度講，本文僅為拋磚引玉，尚盼方家指教。