因數和倍數的多種關系

◎相 輝

一、因數和倍數的關系

【例1】判斷：4是因數，24是倍數是否正確？

【分析與解】

在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。例如24÷4=6，我們就說24是4的倍數，4是24的因數。24÷6=4，所以24是6的倍數，6是24的因數。因數和倍數是相互依存的關系，不能單獨說某個數是因數，或者說某個數是倍數，一定要說清誰是誰的因數，誰是誰的倍數。所以上面的結論是錯誤的。

二、因數的找法

【例2】24的因數有哪些？

【分析與解】

找一個數的因數和倍數可以用一一列舉的方法。為了防止重復和遺漏，找一個數的因數，我們要一對一對地找。例如24的因數有1和24、2和12、3和8、4和6，當兩個因數比較接近，直至相等時，就說明找全了。如果數字比較大時，還可以用短除法一一求出。

一個數因數的個數，還能用它不同質因數的個數加1，然后相乘求出。例如24=23×31，所以24的因數有（3+1）×（1+1）=8（個）。

三、最大公因數與因數的關系

【例3】已知兩個數的最大公因數是6，這兩個數的公因數有哪些？

【分析與解】

由于這兩個數沒有直接告訴，我們可以借助具體數字，先找一找兩個數的最大公因數和它們的因數之間有什么關系？比如30和45，它們的公因數有1、3、5、15，其中最大公因數是15，15的因數有1、3、5、15，也是它們的公因數。從中我們發現兩個數的最大公因數的因數，就是它們的公因數。所以6的因數有1、2、3、6，即這兩個數的公因數為1、2、3、6。

四、最大公因數和最小公倍數與這兩個數的關系

【例4】甲、乙兩個數的最大公因數是10，最小公倍數是120，甲數是30，乙數是多少？

【分析與解】

根據公倍數的意義，我們知道兩個數的最小公倍數是這兩個數公有的因數和各自獨有因數的積，120=10×3×4，10是公因數，3是甲數獨有的因數，4就是乙數獨有的因數，所以乙數是10×4=40。

另外我們仔細分析，還能發現兩個數的乘積就等于兩個數的最大公因數和最小公倍數的積，所以此類題目還可以這樣求出乙數：10×120÷30=40。