運用函數思想，妙解數列難題

曹 燁 （江蘇平潮高級中學）

數列的知識點是高中數學中較為重要的一個部分，它與高中數學中其他方面的知識點連接得十分緊密，尤其是與函數存在著相關性，在分析數列的時候，往往可以從函數的概念、性質和圖像方面來研究數列的一些問題，為高中數列問題插上函數思想的翅膀，往往能夠運用函數的思想來巧妙地解決數學中遇到的一些難題。

一、演繹歸納，探究最值問題

在解決蘇教版高中數學中一些數列問題的時候，運用函數的一些性質和特點等，就可以在解決數列難點問題時，根據函數將復雜的問題轉化為簡單的問題，歸納演繹為進行數學分析和演算中就可以來探究數列的最值問題。

涉及數列最值問題時，我給同學們構思了這樣的教學設計，題目是這樣說的：已知數列{an}，它的通項公式an=n2-5n-8（n∈N+），求an的最小值是多少？同學們在剛剛分析這種類型題目的時候，往往很難將數列與函數問題聯系到一起，因此在講解的過程中首先要給同學們指出的是數列an=n2-5n-8可轉化為二次函數f（x）=x2-5n-8，分析二次函數的圖像和性質可以得到二次函數（fx）=x2-5n-8在區間單調遞減，在區間單調遞增，數列與函數的不同之處在于數列的取值范圍只取正整數，即，這樣就可以通過二次函數巧妙地將數列的最小值求出來了，即（an）min={a2，a3}=-14。通過這道題目的分析，同學們就可以了解到數列與函數的關系，從圖像上來直觀地看，數列就是函數上所分布的一些孤立的點。

二、比較特征，突破單調瓶頸

通過聯想和比較數列與函數的一些特性，就可以將數列的單調性問題轉化為函數的單調性問題，運用這種手段能夠輕松地突破數列在研究單調問題時所遇到的瓶頸問題。函數的性質是同學們在學習數列前早已熟稔于心的數學知識，在學習數列或者做數列的相關練習題的時候，教師不斷地引導同學們將新知識與所學過的知識進行比較和聯想，在舊知識的基礎上不斷地進行對于新知識的引申和發展，就能夠鍛煉同學們的數學思維能力，然后遇到數列中所涉及的關于單調性的難題就可以迎刃而解了。

關于數列單調性問題，我在教學設計中出了這樣的一道題目：已知數列的通項公式an=n2+λn，數列{an}是遞增數列，求實數的取值范圍是什么？在看到這道題目的時候大部分同學的反應是懵著的狀態，在引導學生處理這道題目的時候可以從函數單調性中的對稱軸方面的思路進行解答，也可以在研究單調性后從拐點方面解答。由已知條件{an}為遞增數列，化解式子 an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）=2n+1+λ＞0，因為對于所有的正整數都成立，所以對于λ＞-2n-1這個式子恒成立，只需要得到λ＞（-2n-1）max，然后我請同學們解這個不等式，得到λ＞-3。對于這種題目的解法就是將數列問題轉化函數問題，根據二次函數在上[1，+∞）的單調性問題，然后結合不等式以及解不等式就可以求解出所求的未知數的取值范圍。這樣，利用二次函數的知識就可以巧妙地突破數列單調的瓶頸問題。

三、多元轉化，尋覓周期規律

數列其實就是一種特殊的函數，因此在研究數列問題的時候，比如涉及數列周期問題的時候，教師就可以不斷地引導同學們運用函數的觀點來解決問題，很多函數都是具有周期性的。通過函數的觀點來指導數列，不僅可以幫助學生直觀地認識到在高中數學中所學到的數列的本質問題，還能在解決數學周期問題時借助函數思想和觀點來解決數列問題，這是高考命題中著力立意的主要思想，將數列涉及到周期性的問題進行多元的轉化，就可以尋覓函數周期規律作為切入口解決問題。

在幫助同學們解決數列周期性問題的時候，我將其與函數問題做了相關的多元轉化，其中我幫助同學們設計了這樣一道題目：數列{an}的通項公式，它的前項和n為Sn:，請學生們回答S2014:等于多少？要想解決這道題目的話，需要逐步地引導同學們先將數列問題轉化為函數問題，根據數列的通項公式可以得到函數的解析式，然后可以判斷根據數列轉化的函數屬于三角函數，根據三角函數的周期性，可以得到周期T=4，這樣的話可以得到：S2014:=4×503+1=2013。對于這種類型的題目，我們可以從題目中發現數列的通項能夠轉化為有關的函數，這樣在構造了函數以后，可以根據函數的周期性來解決在數列中遇到的難點問題。教師在解決這類型的題目的時候，可以不斷地引導學生架起數列和函數的橋梁。