基于sigmoid函數的高超聲速飛行器自適應姿態控制

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(北京航天自動控制研究所,北京 100854)

0 引言

高超聲速飛行器一般是指飛行馬赫數大于5的飛行器，由于具備速度快、射程遠的特點，可以實現體系作戰中遠程精確打擊的目的[1]。相比于傳統彈道導彈機動能力弱、易于攔截等特點，由于高超聲速滑翔飛行器兼具飛行跨度大、隱蔽性好、作戰效能高等顯著優勢，使得它存在著巨大的潛在軍用與民用價值，近些年來越來越受到各個軍事強國的重視。

高超聲速飛行器姿態控制系統的主要任務是跟蹤制導律生成的制導角指令信號，起著跟蹤制導指令以及穩定飛行器姿態的作用，對高超聲速飛行器安全再入和完成飛行任務具有重要意義。飛行速度快，飛行包絡大，強耦合、快時變，強不確定性等特點，給控制器的設計帶來了較大的困難與挑戰，因此飛行器控制器設計也是制約高超聲速飛行器發展的重要因素之一[2-4]。

由于再入過程復雜環境和劇烈變化，通常無法獲得精確的模型參數，相關參數存在攝動和不確定性，會引起力矩分配的誤差，使得實際力矩與期望力矩存在偏差，此外，外界的擾動如風干擾等會影響飛行器姿態的響應，因此單純使用線性控制很難達到期望的控制性能。Smith 等[5]將魯棒線性參數調整控制應用到 X-33 的姿態控制中，但設計的增益數目較大、對模型精度要求較高。Hu等[6]基于擴張狀態觀測器設計了高超聲速飛行器模糊自適應控制器，具有良好的抑制干擾效果。自適應控制是依據對象的輸入輸出數據，不斷的辨識模型參數和修正對模型的估計，因而具有不依賴精確數學模型、僅需較少驗前知識等顯著優點。ESO作為自抗擾控制器(active disturbance rejection control, ADRC)的核心，能夠在僅需系統輸出和控制量輸入的條件下，實現對未建模動態和外擾總作用量的準確估計，并實現對其補償，因而具有較強的魯棒性和一定的抵抗干擾能力，在許多復雜的非線性控制問題中獲得成功應用[7-8]。

本文采用非線性動態逆的思想設計主體控制器，基于“時標分離”原理，將飛行器分為快、慢兩個回路設計姿態控制器，以保證閉環系統的全局穩定，利用神經網絡中Sigmoid函數兼具線性與非線性的特征，分別從俯仰、偏航和滾動3個通道構造跟蹤控制律。考慮到再入過程環境擾動以及不確定性的影響，利用ESO對擾動進行估計和補償，可以有效提升控制系統的魯棒性和自適應性。

1 飛行器再入數學模型

為了研究高超聲速飛行器再入飛行過程中姿態控制問題，需要先對其再入飛行過程進行數學建模。由于實際飛行中存在眾多實際工程問題，目前很難完成真實飛行器模型的建立。在確保仿真結果與實際飛行偏差合理的條件下，簡化了飛行器建模的相關信息，在建模過程中有如下假設：

1)建模過程中假設地球為圓球；

2)假定飛行器為剛體，忽略飛行過程中機體的彈性變形；

3)假設機體為面對稱結構，即認為慣性積Ixz=Iyz=0；

4)假設飛行器再入過程中無動力；

5)再入過程采用BTT控制設計，在整個過程中保持側滑角為零度，側力為零。

在航跡坐標系下建立飛行器質心動力學方程，在機體坐標系下建立飛行器再入繞質心旋轉運動學和動力學方程，描述飛行器運動狀態的變量包括速度V、彈道傾角θ、彈道偏角ψs、攻角α、側滑角β、傾側角γS以及角速度ωx、ωy和ωz,運動方程如式(1)所示

(1)

式中，D、L、S分別表示飛行器再入過程中的阻力、升力和側力；m為飛行器質量；Ix、Iy、Iz分別飛行器三軸的主轉動慣量；Ixy為慣量積；Mx、My、Mz分別為滾動力矩、偏航力θ矩和俯仰力矩，具體計算過程參考文獻[9]。

2 飛行器控制器設計

再入飛行器快變、慢變的差異性顯著。由于角度的變化是角速度在一段時間內的積分值，故角速度的變化可以理解為瞬間的，而角度的變化則是時間累積而來的，故基于“時標分離”原理，只要快回路的響應速度為慢回路響應速度的5至10倍，可以將高超聲速飛行器分為快、慢兩個回路，內回路為3個角速度的控制回路，外回路為氣流角控制回路，結構如圖1所示。

圖1 快慢回路結構圖

2.1 神經網絡Sigmoid函數

Sigmoid函數是神經網絡中一類激勵函數，又稱“S型函數”，常被用作神經網絡的閾值函數，具有單調性、光滑性、飽和性等明顯特征[10]，其表達式為：

(2)

從式(2)中可以看出，該函數嚴格單調遞增，且上下界在0～1范圍內，對式(2)引入幅值系數a和指數因子b，并作簡單線性變換，使其閾值為(-0.5a,0.5a)的奇函數，表示為：

(3)

其中:值系數a用于調節Sigmoid函數的幅值，通過改變指數因子b的值可以調節近似線性工作區間的范圍。對式(3)在x=0處進行泰勒展開：

(4)

從式(4)中可以看出，在x=0的鄰域內，Sigmoid函數可以近似為線性函數，且曲線斜率較大，而當x遠離零點，非線性特性占主導部分，但此時曲線相對平滑，斜率較小，圖2給出了在幅值增益a=2時，在不同指數因子b下對應的Sigmoid函數曲線。

圖2 不同指數因子b對應Sigmoid函數曲線

從圖2中可以看出，函數S(x)兼具線性形式和非線性特性形式，符合工程界實踐總結出來的規律——“大偏差小增益，小偏差大增益”，用Sigmoid函數構造控制律時，具有快速、消除顫陣、避免控制量飽和等顯著優點。

2.2 非線性動態逆控制器設計

利用旋轉運動學方程來描述姿態角的變化，該組微分方程狀態變量為α,β,γS，輸入為ωx,ωy,ωz。由于轉動角速度不能直接作為控制量，還需描述轉動角速度的變化。即系統的狀態變量為α,β,γS和ωx,ωy,ωz，控制輸入變量為Mx,My,Mz[11]。這3個力矩可以通過控制飛行器的氣動舵面偏轉實現，具體設計思路如圖3所示。

圖3 動態逆控制系統結構圖

2.2.1 非線性動態逆內環控制器設計

(5)

(6)

2.2.2 非線性動態逆外環控制器設計

將(1)式中飛行器繞質心旋轉運動學方程簡化成：

(7)

其中:

ωc=G-1[υ-f]=

(8)

(9)

2.3 基于ESO的自適應控制器設計

再入過程中參數的攝動和不確定性會引起力矩分配的誤差，使得實際力矩與期望力矩存在偏差，此外，外界的擾動也會影響飛行器姿態的響應。利用ESO不依賴精確模型即可將模型中未建模部分，內部攝動以及擾動觀測出來的特點[12]，設計基于ESO的自適應補償系統，疊加到2.2中設計的非線性動態逆控制器中，以彌補單純使用動態逆對不確定性魯棒性差的問題，基于ESO的自適應控制結構圖如圖4。

圖4 基于ESO的自適應控制結構圖

2.3.1 基于ESO的內環自適應控制器設計

將式(1)中飛行器繞質心旋轉動力學方程表示為：

(10)

飛行器姿態控制輸入與氣動參數矩陣gδ,M有關，取理論氣動參數下gδ,M的標稱值為g0，同理將f分解為標稱值f0和不確定項Δf，式(10)可等效為：

(11)

令U0=g0Mδ，a(t)=Δf+ΔU，即可配置三通道二階擴張狀態觀測器：

e=z1-ωi(i=1,2,3)

(12)

對于式(12)，選擇合適的連續函數g1和g2使得，eg(e)>0，則上式能準確跟蹤系統(11)。本文采用線性關系，取g1(e)=2ηe，g2(e)=η2e，則系統(11)的特征方程為(s+ω)2，對期望信號有較好的跟蹤效果，即z2收斂到a(t)，a(t)即為飛行器內環的總的誤差，由a(t)可以推出內環需要補償的控制力矩Mδ,compensation：

(13)

由此得到控制器輸出的總的控制力矩：

Mδ,C=Mδ-Mδ,compensation

(14)

2.3.2 基于ESO的外環自適應控制器設計

將式(1)中飛行器繞質心旋轉運動學方程表示為

(15)

f項中存在參數不確定；此外，飛行器實際運動中，存在未知外部干擾，未建模動態等，建模取為Δ，將以上不確定性視為不確定項a(t)，因此可將式(15)等效為：

x=f+a(t)+U

(16)

其中:a(t)=Δ，Δ為系統外部干擾，未建模動態等；U=gω，即可配置三通道二階擴張狀態觀測器：

e=z1-x

(17)

式(17)中，e、z1、z2均為三維向量，同理取β1=2η，β2=η2，使系統(17)的特征方程為(s+ω)2，對期望信號能有較好地跟蹤效果，即z2收斂到a(t)，a(t)即為飛行器外環的總的誤差，由a(t)可以推出需要內環需要補償的控制角速度ωcompensation，由3.2.2知矩陣g總是可逆的，故：

ωcompensation=g-1a(t)

(18)

由此得到控制器輸出的總的期望角速度：

ωC=ω-ωcompensation

(19)

3 仿真驗證

3.1 跟蹤階躍指令

若飛行器再入過程中得到30°傾側角和8°攻角的制導角指令，當式(6)和式(9)中控制律分別采用PID控制和Sigmoid函數控制時，圖5為控制器仿真結果。

圖5 攻角傾側角同時階躍氣流角跟蹤曲線

由仿真結果可以看出，攻角、側滑角和傾側角都能夠無靜差的跟蹤指令信號，驗證了設計的非線性動態逆控制器具有較好的控制品質。當采用Sigmoid函數構造控制律時，相比于PID控制時，側滑角跟蹤速度明顯變快、超調減小，攻角和傾側角也有一定的提升，驗證了Sigmoid函數具有良好的控制品質。

3.2 參數拉偏仿真

飛行器質量偏差范圍±1%，氣動偏差范圍±10%，大氣密度偏差范圍±10%，取所有拉偏值的最大正值，在飛行器得到10°傾側角和5°攻角的階躍指令下，拉偏與不拉偏飛行仿真結果如圖6所示，攻角和傾側角跟蹤情況放大情況如圖7所示。

圖6 拉偏情況下動態逆控制氣流角跟蹤曲線

圖7 拉偏條件下僅動態逆控制攻角/傾側角跟蹤曲線放大圖

從圖7可以看出，拉偏情況下單純使用動態逆控制，攻角跟蹤速度變慢、超調增大且穩態誤差明顯變大，側滑角和傾側角抖動明顯。

在加入ESO補償和單純使用動態逆控制的攻角飛行結果對比如圖8所示。

圖8 加ESO補償和僅動態逆控制的攻角響應對比

拉偏條件下加ESO補償的控制器攻角跟蹤速度明顯變快、超調減小且穩態誤差明顯減小，側滑角和傾側角響應也有一定的提升，可知基于ESO的自適應控制器對控制系統性能提升明顯。

圖9 ESO觀測的內外環補償量

在姿態控制過程中，加入氣動數據拉偏、大氣密度拉偏和飛行器參數拉偏主要影響飛行器實際矩，使得飛行器的內環的實際模型與控制器所用模型存在偏差，但這些拉偏對外環模型影響并不大，圖9中基于ESO觀測的內外環各通道補償量也驗證了這一點。

3.3 風干擾仿真

將360°均分為8個方向，每個方向分別加入水平風干擾后，對10°傾側角和5°攻角的階躍指令信號進行跟蹤，仿真結果如圖10所示。

圖10 風干擾條件下氣流角跟蹤對比

仿真結果可以看出，加入基于ESO補償的控制系統具有較好的抵抗風干擾能力。

4 結論

本文研究了基于sigmoid函數的高超聲速飛行器自適應姿態控制方法，首先在給定假設條件下建立了高超聲速飛行器再入數學模型，以改進型Sigmoid函數分通道設計控制律，分內外環設計了高超聲速飛行器動態逆控制器，并在跟蹤階躍指令和參數拉偏條件下進行仿真分析，針對單純使用動態逆控制魯棒性弱的特點，開展基于ESO的自適應控制技術研究，驗證加入ESO補償的控制系統具有較強抗干擾能力。