一節求數列通項公式公開課的設計與思考

阮建 肖愛玲

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）28-0135-01

數列是高中數學知識體系中非常重要的內容，也是高考重點考察的考點之一.數列作為一類特殊的函數，是刻畫實際問題的重要數學模型，有著非常廣泛的應用.高中主要研究等差數列和等比數列這兩種數列模型.數列這一部分內容對學生的思維能力、邏輯推理能力、運算能力等多個方面都有所考察，還培養了學生觀察、分析、類比、歸納、猜想等能力.數列不但是高中數學重要的基礎知識，同時也是未來進一步學習高等數學的重要基礎內容.本節課是一節數列的復習課，介紹了求數列通項公式的七個類型題.

1.定義法

（1）已知a1=3，an+1=an+2，求an.（2）已知a1=2，an+1=13an，求an.

兩個題目分別考察了等差數列的概念和等比數列的概念，這是最簡單的形式，學生很容易就能得到答案.雖然這兩個題目簡單，可是它們會經常出現，特別是在大題的部分和證明題當中，如果想不到進一步變形，就無法完成題目.

2.已知Sn表達式，求an

（1）已知Sn=n2-1，求an.（2）已知Sn=n2-3n，求an.

雖然是常見題型，但是有一個問題需要注意，在求Sn-1的時候，注意項數n的取值范圍是n≥2.當n=1的時候要判斷a1是否滿足條件.如果不滿足，就要寫成分段函數的形式，如果滿足就合二為一.這部分內容學生直接解決，用時大約3分鐘，教師總結一下即可.

3.已知Sn和an之間的關系，求an

（1）數列{an}滿足Sn=2an+1，求an.（2）數列{an}滿足Sn=13（an-1），求an

這種類型題是高考重點考察對象之一，所以在教學的時候，要讓學生多觀察，找到這個問題的特點，會把表達式中的n都換為n-1，然后做差.由于這個題型比較重要，平時訓練的比較多，學生能夠快速的完成這兩個題目，也不用花費太多的時間.

4.累加法

（1）已知a1=1，an+1=an+2n+1，求an.（2）已知a1=12，an+1=an+1n2+n，求an.

如果已知an+1=an+f（n），若f（n）可以求和，則可用累加法.在分析第一個問題時，利用累加法之后，學生觀察發現右側是一個等差數列求和問題，沒有解題思路的同學頓時感覺柳暗花明，豁然開朗.第二個問題設置了1n2+n，觀察之后發現1n2+n=1n（n+1）=1n-1n+1，轉化為裂項求和的問題.

5.累乘法

（1）a1=1，an+1=nn+1an，求an.（2）a1=3，an+1=3n-13n+2an，求an.

前面已經練習了累加法，這兩個題目學生很容易就想到利用累乘法.難度相對就降低了，學生也能自己總結出題目的規律.當題目中已知an+1=an·f（n），若f（n）可以求積，則可用累乘法.這里用時大約6分鐘.

6.待定系數法構造新數列{an+λ}（適用于an+1=p·an+q）

（1）若a1=1，an+1=2an+1，求an.（2）已知a1=1，an+1=23an+1，求an.

引導學生觀察遞推公式的結構特征，與之前學過的遞推公式比較，記住這類題型的特點.適用于an+1=p·an+q.采用的方法是構造一個新的數列，{an}既不是等差數列，也不是等比數列，轉化后的{an+λ}是一個等比數列.這里應用了轉化的數學思想.這兩個題目難度有所增加，我選擇先講解一個題，然后再讓學生練習第二個題，需要10分鐘左右.

7.構造新數列

（1）已知a1=2，an=2an-1+2n，求an.（2）已知a1=2，an=3an-1+2n，求an.

第七種題型難度有所增加，大部分學生會感覺沒有思路，無從下手.第一個問題由教師板書展示，其實問題的難點在于如何處理2n，通過對等式兩邊同時除以2n，把第七種題型轉化為第六種題型.教師要讓學生觀察這種類型題的特點，它和第六種題型有什么異同點.學生很快能總結出an+1=p·an+qn.第二個小題由學生自主完成.這部分內容需要13分鐘左右.

本節課共設置了七個問題.從七個不同的角度出發，讓學生加深對數列的概念、數列通項公式an以及前n項和Sn的理解，會利用Sn和an之間的關系解決相關問題.并掌握公式法、累加法、累乘法、裂項求和法、待定系數法、構造新數列等解題方法.七個問題由淺入深，由易到難，學生很容易就突破難點，能夠體會不同題型之間的特點和差異，并掌握七個類型題.