方程遇上絕對(duì)值

◎江蘇省無錫市蠡園中學(xué)八（8）班 黃詩喻

在第2章“有理數(shù)”的學(xué)習(xí)中，我們了解了“絕對(duì)值”的概念與意義.如今，我們學(xué)到了第4章“一元一次方程”.若遇到“方程”與“絕對(duì)值”二者結(jié)合而得的絕對(duì)值方程，又該如何求解呢？

題目呈現(xiàn)解方程： ||x-2+ ||x-3=1.

解法1：分類討論，根據(jù)絕對(duì)值劃分區(qū)間分類求解.

（1）當(dāng)x≤2時(shí)，原方程可化為（2-x）+（3-x）=1，解得x=2.

（2）當(dāng)2＜x≤3時(shí)，原方程可化為（x-2）+（3-x）=1，化簡(jiǎn)得1=1，方程恒成立，即對(duì)于滿足2＜x≤3的任意一個(gè)數(shù)都是方程的解.

（3）當(dāng)x＞3時(shí)，原方程可化為（x-2）+（x-3）=1，解得x=3.由于x=3不在x＞3的范圍內(nèi)，故舍去.

綜上可知，原方程的解為2≤x≤3.

解法2：數(shù)形結(jié)合，利用絕對(duì)值的幾何意義求解.

如圖所示，求解方程的過程，其實(shí)就是在數(shù)軸上尋找到A、B兩點(diǎn)的距離之和等于1的點(diǎn)P.

當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，PA+PB＞1；當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右邊時(shí)，PA+PB＞1；當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間（含端點(diǎn)）時(shí)，PA+PB=1恒成立.故原方程的解為2≤x≤3.

解題心得通過對(duì)上面這個(gè)含絕對(duì)值的方程的求解，我發(fā)現(xiàn)解絕對(duì)值方程的基本方法大致有兩種：（1）去掉絕對(duì)值符號(hào)，將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為常規(guī)方程再求解，要注意檢驗(yàn)；（2）數(shù)形結(jié)合，借助絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行探究，好處是直觀，前提是對(duì)絕對(duì)值的幾何意義理解透徹.

解法1為通法，解法2為技巧性解法，在實(shí)際解題中我們應(yīng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用.

小伙伴們，把前后所學(xué)知識(shí)整合形成較為完整的知識(shí)體系，是不是很有趣啊？只要善于總結(jié)，一定能取得更多的收獲.

教師點(diǎn)評(píng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要善于歸納與反思.如果我們只會(huì)一味地解題而不會(huì)思考，那么無異于入寶山而空返.黃詩喻同學(xué)給我們提供了一個(gè)很好的案例，她將不同章節(jié)的內(nèi)容整合到一起進(jìn)行組合式探究學(xué)習(xí)，由“絕對(duì)值”與“方程”想到“絕對(duì)值方程”，并在求解方程的過程中嘗試一題多解，以加深對(duì)相關(guān)概念的理解，并能對(duì)其意義靈活運(yùn)用.